8 Taylor e MacLaurin

Approssimazione polinomiale

Se una funzione è derivabile in un punto, allora è possibile approssimarla con una polinomiale tangente al grafico della funzione stessa in quel punto. L'approssimazione è del primo ordine, cioè la funzione è sufficientemente regolare per essere derivabile. In generale, è possibile approssimare una funzione nel suo intorno di un punto con un polinomio di grado maggiore utilizzando lo sviluppo di Taylor.

Teorema: polinomio di Taylor

Se una funzione è derivabile b volte in un punto, allora esiste un polinomio di grado b che approssima la funzione intorno a quel punto. Questa approssimazione è data dal polinomio di Taylor.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, consideriamo la funzione derivabile e gli sviluppi di Taylor. Se approssimiamo una funzione in un punto specifico, la possiamo esprimere come una sommatoria di termini derivati fino all'ordine desiderato.

Corollario

Se un polinomio è derivabile, allora esiste uno sviluppo di Taylor anche per esso, che può essere esteso per gradi successivi, mantenendo la derivabilità della funzione.

Proprietà degli sviluppi

Gli sviluppi di Taylor hanno proprietà importanti che consentono di approssimare le funzioni con polinomi, fornendo una rappresentazione più semplice delle funzioni complesse per un calcolo più immediato.

Teorema: formula di Taylor con il resto secondo Peano

Se una funzione è derivabile fino a un certo ordine, allora si può scrivere uno sviluppo di Taylor con un termine di resto che rappresenta l'errore dell'approssimazione. Questa formula permette di quantificare l'accuratezza dell'approssimazione polinomiale.