8 Sviluppi di Taylor e applicazioni

10 - Sviluppi di Taylor e applicazioni

Richiami: Calcolo Differenzialef continua in x₀Retta Tangente in (x₀, f(x₀))o(x-x₀), x → x₀

Gli Sviluppi di Taylor consentono uno opportuna apertura perstudiare il comportamento locale di f(x) congradi di precisione crescenti:

Sviluppo = riscrittura di f / approssimare di fIpotesi = f derivabile n volte e con derivate continueLocale = x₀ ∈ ℝGradi = ordine in funzione composta

Utilità = Calcolo di limiti;Studio locale

SVILUPPI DI TAYLOR in x₀

• Sviluppo di grado 0 in x₀

Hp: f ∈ C°(I(x₀))

lim_{n → x0} f(x) = f(x₀) ⇒ f(x) - f(x₀) = o(1), x → x₀

f(x) = f(x₀) + o(1), x → x₀

T_f,x0(x) Polinomio di Taylordi grado 0 = f(x₀)

Per capire: Si sta approssimando f con una costante y = f(x₀)

y₀

x₀ x

y = f(x) ≅ T_f,x0(x)

Es: f(x) = e^3/2*x ln (cos³x + 4)x₀ = π

Il comportamento di f in I(π) è equivalente a:f (x) = ln (2)

10 - Sviluppi di Taylor e applicazioni

Richiami: Calcolo Differenzialef continua in x_oReta Tangente in (x_o,f(x_o))o(x-x_o) x→x_o

Gli Sviluppi Di Taylor consentono sotto opportune ipotesi Di Studiare il comportamento locale Di f(x) con gradi Di precisione crescenti:

• Sviluppo: riscrittura Di f / approssimare f
• Hipotesi: f derivabile n volte e con derivate continue
• Locale: x_o in R
• Gradi: ordine non funzioni composte

Utilita: Calcolo Di Limiti: Studio locale

Sviluppi Di Taylor in x_o

• Sviluppo di grado 0 in x_o

H_p: f e C⁰(I(x_o))

limx→x_of(x) = f(x_o) ⇒ f(x) - f(x_o) = o(1), x→x_o

f(x) = f(x_o) + o(1), x→x_o

P_f,0(x) = di grado 0in x_o

= f(x_o)

Per capire = Si sta approssimando f con una costante

y = f(x_o)

Es: f(x) = e^2x ln(cos²x + 4) x_o = π

Il comportamento Di f in I(π) e equivalente a:

f(π) = ln(2)

f(x) = ln(2) + o(1), x → π

oss: T_f(x) = Polinomio = funzione nella variabile x

OSSERVAZIONE FONDAMENTALE:

• CONSIDERAZIONI
• VALIDE
• PER QUALSIASI
• ORDINE DELLO
• SVILUPPO

SVILUPPO VS POLINOMIO DI TAYLOR

• T_f(x) + o piccolo
• infinito funzioni:

• T_f(x)
• scritture esatte
• funzioni

oss: lo sviluppo (2) di f è accurato solo in un intorno opportuno di: x₀

Premessa per proseguire: Per ottenere uno sviluppo più accurato ⟹ servono hp in più

• SVILUPPO DI GRADO 1 in x₀

Hp: f derivabile in x₀

lim_x→x₀ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) = f'(x₀)

Richiami: 1^a FORMULA DELL'INCREMENTO FINITO

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀) + o(x - x₀), x → x₀

Polinomio di Taylor di grado 1 in x₀ = T_f,x₀,1

= f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀)

oss: T_f,x₀,1(x) = T_f,x₀(x) + f'(x₀)(x - x₀)

= retta Tg di T_f in (x₀, f(x₀)) = t(x)

Per capirlo: Si GA approssimando f con la retta Tg

y = T_f,x₀,1(x) = t(x)

es: f(x) = e^x² + ln (x² * cos x) + e^x x₀ = 0

x₀ ε dom f f ε C⁰(I(0,1))

x_o ∈ domf   f ∈ Cⁿ(I(o1))

⇒ f(o) = 1

f'(x) = 2x e^x2 + ^{2x - sin x}/_{x² + cos x} + e^x

f'(o) = 2⋅o + o + 1

⇒ fⁿ(x) = 1+ 1 ⋅ (x - o) + o (x) , x→o

oss; Allontanandosi da x_o ⇔ l'errore che si ha

nell'approssimare f può aumentare

errore in x: e(x) = | f(x) - T_f,xo,1(x) |

e(c) = | f(c) - T_f,c(c) |

= | f(c) - ( f(c_o) + f'(c_o)(c-x_o) ) |

≤ | f(c_o) - f(x_o) | + | f'(x_o)(c-x_o) |

Sviluppo di Taylor di ordine 2 in x_o.

Hp: f' derivabile in x_o

f(x) = f(x_o) + f'(x