2. Operare con elementi di C luoghi di punti

Operazioni complesse

Somma

In generale la forma più efficiente per effettuare una somma è quella cartesiana o algebrica.

Prodotto ed elevamento a potenze intere

In generale la forma più efficiente per effettuare queste operazioni è quella esponenziale.

Es: z = (2 - 2√3i)

ω = z⁴

c = z = 4 (4, il 4 : √3, −π/3) = 4 (cos 5π/3 + isin 5π/3)

1 x 1 √4 x 4, √3 . √4 = 4 + 4√3 = 4

b = c, a = - i√3

Arg (z) = 5π/3

ω = (2, - 2√3 i)⁴ = ((4 e^−i5π/3)⁴ = 4⁴ cisⁱ⁵ 4 = 4⁴ cis 2π⁰

20π/3 > 2 π -> non va bene

Riduzione dell'argomento

Reggioniamo su Arg(ω):

Per definizione 0 ≤ Arg(ω) < 2π

Quindi, dobbiamo calcolare Arg(ω) togliendo i multipli di 2π.

20π/3 = 18π/3 + 2π/3

9 • 2π/3 + 2π/3 = 3•2π + 2π/3

Arg(ω) = 2/3 π

Per capire: Da 20π/3 togliamo i multipli di: 2π

Calcolo di k/m

In generale: Quasi sempre più facile raggiungere da ricordare a memoria delle formule, ma per i migliori.

Trasformare k/m in n•2π + ak/m π = n•2π + a π

k, n, a, ε N

ω = cn = n•2π + a = kn = Numero intero: k / 2m = [^k/_2m]

a = resto intero della divisione

Un altro esempio

ES: z = (2 - 2√3i)

z = 4(¹/₂ - ^√3/₂ i) = 4(cos ^5π/₃ + isin ^5π/₃)

b/c = -3√3

Arg(z) = ^5π/₃

ω = (2 - 2√3 i)⁴ = (4 e^{i 5π/₃})⁴ = 4⁴ c^{i 20π/₃}

^20π/₃ > 2π → non va bene

Riduzione dell'argomento (continuazione)

Riduciamo su Arg(ω):

Per definizione: 0 ≤ Arg(ω) < 2π

Quindi, dobbiamo calcolare Arg(ω) tagliando i multipli: α 2π

^20π/₃ = ^18π/₃ + ^2π/₃   → ^{9 · 2π}/₃ + ¹/₃π = 3 · 2π + ²/₃π

Arg(ω) = ²/₃π

Per capire: Da ^20π/₃ togliamo i multipli: α 2π

Trasformare k/m in n•2π + α

In generale quasi sempre più facile raggiungere da ricordare memoria: Delle formule, non per i maghi.

Trasformare k/m in n · 2π + α k/m = n · 2π + α

k, n, α ∈ ℕ

Quindi 2πn + α = k

n = Numero intero di: k/2π = [k/2π]

α = resto intero della divisione

Esempio di trasformazione

ES.: n = ²⁰/_(2·3) = 3

a = 20 - (2·3)·3 = 2

²⁰/₃ = 3·2πi + ²/₃π

Operazioni su z

ES.: Trasforma nel modo che ritieni più opportuno il seguente numero z: in modo che svolgere la operazioni:

z = -4 + i

ω = √² e^i3/₄π

x = cos(-^π/₃) - i sin(^π/₃)

x/ωz + ωc = n - 1z/z 2ωx(x - ω)3

Esercizio

^{z3 x}/_{ω - ¹}ω = 2 · iz = 1.1 · e^3/₄πi

=> z³ = e^{-3/₂πi 9/₄π = 8/₄π + 1/₄π = 2π + 1/₄π}

Calcolo di z³

z³ = e¹/_{2/2 - ⁴}= ²/_√2 e^{iπ/₄, 2i}

^√2/₂= √^>/_e^iπ/4