1. Proposizioni Logiche

Analisi matematica I - 30/09/19

Proposizione logica

Un enunciato al quale si può sempre associare un valore di verità (V = vero, F = falso). Le proposizioni vengono indicate con lettere minuscole.

Es. 1: p: 2 è un numero primo
q: 7 è un numero dispari

Predicato

Un enunciato matematico che dipende da una o più variabili (non è né vero né falso finché non fisso il valore di queste variabili).

Es. 9(x): x³ - x² ∈ ℕ
9(1) = 0 ∉ ℕ = proposizione logica vera
9(3) = 27 - 9 = 9/2 ∉ ℕ = Falso

Connettivi logici

Negazione

¬p (non p) → ¬p è vera se p è falsa e viceversa.
Es. ¬p: 7 non è un numero primo

Congiunzione

p ∧ q (p et q) → La congiunzione è vera solo quando entrambe sono vere, altrimenti è falsa.

Disgiunzione

p ∨ q (p oppure q) → Essa è falsa solo quando entrambe sono false.

Implica

p ⇒ q → Essa è falsa solo se vado da vero a falso, le altre tutte vere.

Doppia implicazione

(p = 2020) ⇒ (2020 > 2020) = 2020 V
1) p ∨ q equivale a ￢p ￢q

2) p ⇒ q equivale a ￢q ⇒ ￢p
Controesempio: p = T, q = F

3) p ∨ q equivale a ￢(p ∧ q) ⇒ ￢p

Dimostrazione per assurdo

n ∈ ℕ: p(n) ≡ n ￢ pari, q(n) ≡ pari
n² ≡ pari
p(n) ≡ q(n)
n pari, cioè n = 2k, k ∈ ℕ
n² = 4k² = 2(2k²) = 2h, h ∈ ℕ