Water Resources Engineering - Idrologia e propagazione delle correnti superficiali

STABILE);

• ➔

= 1 = 0:

se si ha il modello dell’onda cinematica, per cui l’onda si propaga verso

ℎ

valle ma senza attenuazione, ovvero si ha il modello puramente advettivo, per cui non

calano né il livello né la portata (STABILITA’ NEUTRALE);

• ➔

> 1 < 0:

se l’onda di piena si propaga a valle ma incrementando le perturbazioni,

ℎ

ovvero si ha il modello dell’onda pulsante (“roll waves”), per cui si ha un aumento del

livello e della portata (se abbiamo una superficie pendente in cui scorre acqua mentre

sta piovendo, le onde che si sviluppano sono pulsanti) (CORRENTE INSTABILE).

<

> =

Monte Valle Monte Valle Monte Valle

1 2

1 2 1 2

CORRENTE STABILE: STABILITA’ NEUTRALE: CORRENTE INSTABILE:

➔ ➔ ➔

< > = = > <

= 0

[si deve avere affinché quanto detto qua sopra sia vero

per certo]

Prima abbiamo detto che, secondo Marchi, il numero di Vedernikov può essere scritto come:

152

Cerchiamo di capire come mai. Essendo che abbiamo considerato:

si ha che può essere scritto come:

Per cui, inserendo questo valore in , si dimostra quanto detto:

Numero di Vedernikov:

Finora abbiamo visto l’interpretazione di Marchi del numero di Vedernikov, ovvero:

Numero di Vedernikov secondo Marchi È la GMS

Una differente interpretazione del numero di Vedernikov è offerta da Chow, che lo definisce

come: Numero di Vedernikov secondo Chow

dove:

•

per il termine si ha: Da Chézy

Dalla GMS

153

Questo valore salta fuori

•

per il termine si ha: dal confronto tra la GMS e

= ∙

l’assunzione

•

per il numero di Froud si ha:

Perché le onde pulsanti (“roll waves”) tendiamo

ad averle sui pavimenti stradali piuttosto che

nei canali? Perché le pavimentazioni stradali

➔

= 1

sono a sezione larga, quindi si ha che

> 1, ovvero una corrente instabile che può

portare alla formazione delle onde pulsanti.

Cerchiamo di capire come mai è valida questa relazione.

Sappiamo che:

=∙

= + 2 (: perimetro bagnato)

∙

= =

+ 2

2

= ∙ =

Condizione di canale stretto ( piccolo):

da cui possiam dire che: ➔

→ 0

quando la frazione tenderà a 1, per

➔

1 − 1 = 0

cui si avrà corretto.

∙ 2 1

=1−∙ = 1− ∙ = 1−

− 2 + 1

2 Condizione di canale largo ( grande):

➔

→ ∞

quando la frazione tenderà a 0, per

➔

1 − 0 = 1

cui si ha corretto.

154

Riassunto sui modelli:

Riassumendo, i modelli visti finora sono:

• Dynamic wave model (De Saint venant Equation): tiene conto sia delle condizioni di valle

➔

che di monte ed il modello matematico è iperbolico dà luogo alle propagazioni sia verso

valle che verso monte;

• Diffusion wave model with inertial effects (Vedernikov): può tener conto o meno delle

condizioni di valle a seconda di come è definito il modello matematico, che è parabolico. La

propagazione avviene SOLO verso valle;

• Diffusion wave model (Hayami);

• Kinematic wave model: NON può tener conto delle condizioni al contorno di valle. La

propagazione avviene SOLO verso valle.

Se stiamo simulando una piena e questa dipende in modo significativo dalle condizioni di valle,

➔

allora il kinematic wave model non è il modello adatto si applica il modello diffusivo. La stessa

cosa vale per le fognature.

Tra il modello dell'onda diffusiva ed il modello dell'onda completa (dinamica) ne aggiungiamo un

altro, ovvero il diffusion wave model with inertial effects: parte dalle equazioni complete ma arriva

ad una formulazione parabolica.

[La velocità aumenta man mano che andiamo verso valle]

Vediamo nel seguito 3 differenti modi di trattare il kinematic wave model:

• kinematic wave model with characteristics method;

• kinematic wave model with finite difference method (linear explicit);

• kinematic wave model with finite difference method (implicit non – linear).

155

Modello dell’onda cinematica con il metodo delle caratteristiche (“Kinematic wave

model with characteristics method”):

Abbiamo visto che il metodo delle caratteristiche può essere impiegato per il modello dell’onda

dinamica, che è iperbolico, così come anche quello cinematico. Il modello diffusivo, invece, è

parabolico, per cui NON esiste il metodo delle caratteristiche.

Per il metodo dell’onda cinematica avevamo il seguente sistema di equazioni:

che, se messe assieme, ci forniscono la seguente equazione:

Confrontandola col differenziale totale: = 0

Condizione al contorno superiore, quindi per

0 :

lungo T che va da a qui abbiamo un valore

noto di che corrisponde all’INFLOW hydrograph.

)

dove è funzione di (e quindi anche di ed è data

dall’equazione della linea caratteristica:

mentre l’equazione di compatibilità è data da: È importante ricordare e

Dove rimane costante. sottolineare che questa linea

Ogni sezione con una portata di scarico nota (“a given flow

che individua l’angolo è

VERTICALE e NON ortogonale

discharge”) ed una fase nota ("a given stage") si muove con una alla linea caratteristica.

).

celerità che NON è costante con (e quindi anche con

Dunque, qui la linea caratteristica è una retta perché l'osservatore

viaggia con una velocità della portata che è COSTANTE: lungo ogni punto della retta, è lo

stesso. 156

= /, =

Essendo che per la linea caratteristica abbiamo isolando e ponendo e

integrando, si ottiene:

∫ = ∫

0 0

= ,

Se allora si ottiene:

Ci dice a che istante

troviamo la stessa portata

nella sezione S. , =

Le linee NON hanno tutte la stessa pendenza. Questo perché, per valori costanti di si ha

,

ma al variare di varia anche .

Se l'onda viaggia molto velocemente, tenderà a infinito, ovvero si deve avere un angolo di 90°

➔

(la tangente di 90° tende, infatti, a infinito) la linea caratteristica tenderà ad essere orizzontale.

= 0

Questo vuol dire che osserviamo una portata alla sezione e la stessa portata la

=

osserviamo anche alla sezione (è una condizione ideale, impossibile nella realtà). Se

diminuisce, invece, la linea caratteristica tenderà ad essere verticale. In altre parole:

• ➔

,

se aumenta allora aumenta anche l’inclinazione della retta caratteristica

diminuisce;

• ➔

→ ∞

se la retta caratteristica tende ad essere orizzontale;

• ➔

→

se la retta caratteristica tende ad essere verticale.

Numericamente, quando risolviamo l’equazione dell’onda cinematica secondo il metodo delle

caratteristiche, l’onda in ingresso rappresentata dall’idrogramma a sinistra nell’immagine

seguente si trasforma nell’onda in uscita rappresentata dall’idrogramma a destra.

157

3

6000

Questa portata in ingresso corrisponde a ; la si riporta qui, dove viaggia costante lungo la caratteristica fino ad essere riportata qui,

3

6000

dove vale, ovviamente, ancora , che corrisponde alla portata in uscita. Questo è consistente con il metodo matematico dell’onda

➔

cinematica (quindi, generalmente, NON è consistente con la fisica dei processi ma SOLO con la matematica) secondo il modello

= ).

matematico, quindi, NON c’è onda di piena (perché abbiamo detto che

Perché l’idrogramma di OUTFLOW si è deformato rispetto a quello di INFLOW? Perché la cresta

dell’onda viaggia più velocemente rispetto alla parte più bassa dell’onda, ovvero varia (le

velocità sono variabili). Infatti, è una funzione di non lineare, per cui si passa da una retta ad

una curva che non è una retta.

Se poi l’onda più alta viaggia più velocemente di quella più bassa, c’è il rischio che le linee

caratterisitche corrispondenti si vadano ad incrociare, come si vede nel disegno sottostante: in

questo caso, si ha il fenomento del frangimento (o “shock”).

Lo shock lo si ha quando il picco viaggia molto più velocemente rispetto agli altri punti: si ha che

➔

→ ∞

se la retta caratteristica del picco tende ad essere orizzontale, mentre le

altre avranno una propria inclinazione, col risultato che andranno a scontrarsi fra loro.

158

Modello dell’onda cinematica con il metodo delle differenze finite (“Kinematic

wave model with finite difference method”) – SCHEMA ESPLICITO LINEARE:

− 0

Si parte innanzitutto dal grafico (piano orario) e si divide il tratto da a in intervalli distanti

∆. ∙ ∆ ( + 1) ∙ ∆.

tra loro di una quantità Il generico intervallo ha estremi e In maniera

0 , ∙ ∆ ( + 1) ∙

analoga si divide il tratto da a dove gli estremi del generico intervallo sono e

∆. Si discretizza poi il dominio dello spazio e del tempo con una griglia (si tirano delle linee

ortogonali agli assi e in corrispondenza di ogni intervallo, ottenendo una griglia): il quadrato

che individuiamo per il generico intervallo in esame corrisponde all’elemental computational cell.

Quello che vogliamo è

trovare il valore di in

ogni nodo della griglia.

All’inizio, i valori di sono noti

come condizione iniziale, ed i

punti che ci rappresentano la

condizione iniziale sono quelli

che stanno sull’asse delle ascisse,<