Vettori e operazioni vettoriali

Lezione del 02/03/2022

Vettori:

Quasi tutte le grandezze con cui abbiamo a che fare sono grandezze vettoriali.

Faremo:

• Cinematica
• Dinamica di punti materiali
• Dinamica di sistemi di punti materiali, cioè quando abbiamo corpi estesi oppure un insieme di punti materiali che interagiscono tra loro o che sono soggetti ad alcune forze, si può definire il concetto di sistema di punti materiali.

Si tratta di un sistema che in qualche modo è a sé stante, che subisce delle forze dall'esterno e reagisce a queste forze.

Tutto ciò si basa sull'uso dei vettori.

Un vettore lo possiamo vedere come una freccia e abbiamo 3 caratteristiche principali:

• Punto di applicazione del vettore che è posto all'estremità della freccia
• Verso, sarebbe la punta
• Modulo, la lunghezza del vettore

Oltre a queste abbiamo la direzione.

Un vettore è una parte di una retta e quella sarà la direzione del vettore.

Il modo in cui percorriamo questa retta è il verso.

Se vado dal punto di applicazione in questo modo il verso sarà così:

Potrei avere sulla stessa direzione un vettore con verso opposto

La retta direzione è la stessa, ma abbiamo cambiato verso

Retta/direzione uguale, ma verso opposto

Modulo

Si può esprimere così || ≡ (oppure come scritto a destra)

Sistema di riferimento in cui questo vettore viene identificato

Ci sono diversi modi per esprimere questo vettore quando lo riferiamo ad un sistema di riferimento

Se definiamo un sistema di assi cartesiani x,y, il vettore potrà essere identificato nel diagramma cartesiano tramite le sue componenti

Come si trovano le componenti di un vettore

Si potrebbe trovare un vettore tramite le sue componenti, oppure avendo già il vettore si possono trovare le componenti per via grafica

Si va alla punta del vettore e da lì si traccia un segmento perpendicolare all'asse di cui vogliamo conoscere la componente

Ho identificato in maniera univoca il vettore in un sistema di assi cartesiani

❶ L'asse o il vettore corrispondente è uscente dal piano

_P2 x ^b  = vettore uscente

^b  x _P2 = vettore entrante

Sistema cacciavite:

Il cacciavite avanza in senso orario.

Se volessi fare _P2 x ^b  e quindi volessi portare ^b  su _P2 bizzando un cacciavite, ruoterò in senso orario, b ruoterebbe su _P2 e il cacciavite tenderebbe ad entrare nella lavagna.Il verso del cacciavite mi dà il vettore risultante (il cacciavite entra nella lavagna), se faccio ^b  x _P2 invece il cacciavite è uscente.

Se avessimo vettori che stanno nel piano e quindi che hanno solo x e y come componenti:

î (_{yo xb} - _zo ^ya  b) - ĵ (_{xo za} b - _zo ^xa  b) + k (_{xa yb} - _yo ^xb )

( Il risultante del prodotto sarà lungo z)

Se ^r  è il braccio della forza e ^F  è la forza stessa, il vettore momento della forza sarà uscente.

Dovremmo traslare il vettore ^r  nello stesso punto di applicazione del vettore ^F .

Quindi ^r  ⨯ ^F  ed il vettore momento della forza sarà uscente dalla lavagna.

( Il momento di una forza ci fa ruotare un oggetto )

Momento uscente: L'oggetto ruoterà in senso antiorario.

Momento entrante: L'oggetto ruoterà in senso orario.

Momenti opposti: Il verso complessivo derivato dalla somma dei due vettori. Quello che prevale ci darà la rotazione.

Questo accade perché se vedessimo il prodotto scalare come componente di b lungo a, se

metto il vettore a 90°, la componente sarà lunga e, essendo perpendicolare non ha

componenti lungo a.

Prodotto vettoriale: |a| x |b| = |a|*|b|*sinθ

L'orme primo nel caso del momento di una forza, se ho due vettori r e f il prodotto vettoriale

è massimo quando l'angolo è 90°.

(Cerco di traslare il vettore r', dato che è un angolo retto)

Prodotto vettoriale di due vettori paralleli è 0