Vettori (proprietà e operazioni)

VETTORI

grandezze scalari vettoriali

Vettore e caratteri ztandard:

• modulo
• direzione
• verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante.

CAMPI VETTORIALI

Regione di spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è dunque l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

CAMPI UNIFORMI

I campi in cui i vettori (pur diversi) si mantengono inalterati nel tempo: CAMPI STAZIONARI.

SOMMA DI VETTORI

c̅ = a̅ + b̅

PROPRIETA' DEI VETTORI

1. Prodotto vettore per scalare

m = 1 → b̅ = b̅ᵒ

m = -1 → b̅ = -b̅

2. Proprietà commutativa: a̅ + b̅ = b̅ + a̅
3. Proprietà associativa: (a̅ + b̅) + c̅ = a̅ + (b̅ + c̅)

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE

Δr̅ = Δx̅ + Δy̅

vettori componenti

• Δx̅ = Δx · ȋ̂x
• Δy̅ = Δy · ȋ̂y

componenti versori unitari

Δr̅ = Δx·ȋ̂ + Δy·ȋ̂y

modulo

direzione e verso

Δr = √(Δx² + Δy²)

ϴ = arctan(Δy/Δx)

Vettori

• grandezze
  • Scalari
  • Vettoriali

Vettore e caratteri ztandard:

• modulo
• direzione
• verso

I vettori sono applicati in un punto; il punto di applicazione è rilevante

CAMPI VETTORIALI

Regione di spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; campo vettoriale è l'insieme di tali vettori.

I campi in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono equipollenti.

CAMPI UNIFORMI

I campi in cui i vettori (pur diversi) si mantengono invariati nel tempo.

CAMPI STAZIONARI

SOMMA DI VETTORI

d = a + b

PROPRIETÀ DEI VETTORI

1. prodotto vettore per scalare

• m a = a b = m b

2. proprietà commutativa

• a + b = b + a

3. proprietà associativa

• (a + b) + c = a + (b + c)

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE

x = a + b

ΔR = √(Δx² + Δy²)

• modulo
• direzione e verso

Versori

Modulo unitario

notazioni:

• _{x y z}
• _{x y z}

SOMMA IN COORDINATE CARTESIANE

_a = _xx + _yy

_b = bx_x + by_y

_a + _b = (ox + bx)_x + (oy + by)_y

PRODOTTO FRA VETTORI

prodotto scalare:

_a ⋅ _b = ab cos θ

è uno scalare

_a⋅_b = ox_x + oy_y ⋅ (bx_x + by_y)

= oxb_x ⋅ _x + oxby_x ⋅ _y + oybx_y ⋅ _x + oyby_y ⋅ _y

1 0 0

0 1 0

vettori i j

oxbx + oyby

PROPRIETA':

• commutativa _a ⋅ _b = _b ⋅ _a = ab cos θ
• _a ⋅ _b = 0 _a ⊥ _b

_b ⋅ _e = |_b| |_e| cos θ = 0

• distributiva: _a (⋅ _b + _c) = _a ⋅ _b + _a ⋅ _c

teorema del coseno (del coseno)

_c = _a + _b

c² = ( ( ) + ( ))

= a² + b² + 2ab cos θ

prodotto vettoriale

_a × _b = ab sin θ

area del parallelogrammo

PROPRIETA':

• non commutativa _a × _b = - _b × _a
• se il risultato è nullo: se uno dei due vettori è nullo o anche se i vettori sono paralleli
• distributiva: _a × (_b + _c) = _a × _b + _a × _c
• NO associativa: _a × (_b × _c) ≠ (_a × _b) × _c

_a

_b

_c

(_a × _b) × _c = _a

_a × (_b × _c) = 0

{

• u_x x u_x = 0
• u_x x u_y = u_z

}

Il prodotto vettoriale è definito dal determinante

a ∙ ḃ = a b_N

a × ḃ = a × (b_x+ b_N) = a × b_x ; a × b_N = a × b_N

Momento di un vettore rispetto ad un polo

M_o = OP x F

|M_o| = |OP||F|sinθ

Proprietà (dipendono da quelle del prodotto vettoriale):

• M_o è ortogonale al piano individuato da OP F
• Se OP = 0 o F = 0 M_o = 0
• If OP and F are parallel:

Se θ = 0 allora OP x F = 0

Consider a different pole O′:

OP = OO′ + O′P

Thus: M_o' = O′P x F + OO′ x F = M_o + OO′ x F

M_o' = M_o if OO′ and F are parallel

Derivata di un vettore

limΔt → 0 b(t + Δt) − b(t) / Δt

• La derivata di un vettore è un vettore
• La derivata di un vettore in generale non è parallela al vettore

l'indendendiaten: |

• Se Δx and Δy det (a non variato nel tempo)

If b non variato nel tempo)

Derivata di un versore

• Un versore può compiere solo rotazioni

limΔt → 0 Δb / Δt = e(sinΔθ)

d/dt (a x b) = d/dt a x b + a x d/dt b

l è arco