Tutte le possibili domande di teoria con le rispettive risposte del corso di Solidi

LEMMA DI CAUCHY :

SIA DATO UN CILINDRO DI ALTEZZA h E RAGGIO DI BASE r

SIA _A^sup> t_i = T(x) ⋅ n ; VETTORE DELLE TENSIONI DI CAUCHY

SE HO EQUILIBRIO ⇒ VALE LA RELAZIONE t_n = t·n

Dim. COSTRUISCO IL CILINDRO

- SCRIVO EQ. EQUILIBRIO FORZE

t_n dA + t_c·n dA + 2π r t_r ds dθ = 0

t_n dA + t_c·n dA = 0

SE SCHIACCIO CILINDRO: lim_h→0 (t_n dA + 2π r t_r ds) = 0

THM DI CAUCHY - POISSON + FORMULA DI CAUCHY

SIA β UN CORPO IN EQUILIBRIO SOTTO LE FORZE DI MASSA E SUPERFICIE. E SIA P UN PUNTO INTERNO A β

SE SONO NOTE LE TENSIONI IN P LUNGO 3 PIANI ORTOGONALI (i-j-k)

È POSSIBILE CONOSCERE LA TENSIONE t_n, LUNGO UN QUALSIASI ALTRO PIANO DI NORMALE n, TRAMITE LA RELAZIONE:

t_n = T ⋅ n

Dim.

• COSTRUISCO IL TETRAEDRO DI CENTRO P, CON NORMALI (i-j-k-_n)
• IMPONGO EQUILIBRIO SUL TETRAEDRO
• t_e dA_e + t_z dA_z + t_s dA_s + t_n dA_n + b dv = 0
• UTILIZZO LEMMA DI CAUCHY: - t_d dA_d + t_da dA_z + t_s dA_s + t_n dA_n = 0

INTRODUCO TENSORE DI CAUCHY

T = [t_s, t_z, t_s] =

t_n = n₁ t₁ + n₂ t₂ + n₃ t₃

[ T = [σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ ] = σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃ ] ; n = [ n₁ n₂ n₃ ]

FORMULE DELL'EQUILIBRIO INDEFINITO NEL CONTINUO DI CAUCHY

SIA t_n: VETTORE TENSIONE DI CAUCHY IN DIREZIONE n

SIA β UN CORPO IN EQUILIBRIO SOTTO LE FORZE DI MASSA E SUPERFICIE

SCRIVO EQ. FORZE F_o = ∫ t_n dA + ∫ b dv = 0

USO THM DIVERGENZA:

F_o = ∫ (δtⁱ_j/δx^j + b) dv = 0

⇒ δtⁱ_j/δx_j + b = 0

SCRIVO EQUILIBRIO H.O.M.: H_o=∫_ΔΘ x_λ n_Θ dA + ∫_Θ x_λ bdV = 0 Uso thm divergenza : ∫_ΔΘ(x_λ n_j t_j ) dA = ∫_Θ x_λ b dv =∫_Θ ( ∂(x_λ t_j)/∂x_l ) dv = ∫_Θ ( ∂x_λ/∂x_j I_T x ∂t_j/∂x_j ) dV=> ∫_Θ(ε_lj x_λ t_i + x_λ b)_λ dv =∫_Θ(ε_l=j x_λ t_j x_λ b)_v dv = 0 => g_l=g_o = 0

EQUAZIONE DI EQUILIBRIO AL CONTORNO : t_n = f dove preso un elemento infinitesimo 'da' sulla superficie di un solido esso subira' tensioni interne (t_nda) bilanciato da forze di superficie

dim : ∫ f.da+t_n n_da = 0 => x lemme cauchy t_n = n・t_n n→(-t_n+f)dA=0 → t_n = f

DIHOSTRARE EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBAI0 DEL CONTINUU0 DI CRAUCHY CON LE CONDIZIONI AL CONTORNO ( RISPETTO LE TENSIONI) gro p.i

dato un equ. indefinito di equilibria o di cauchy e diostro la simkieta di T tachiale la

exequazione o 0 1

bi b_x + b

∂t_i/x_j + b= 0 (1)

e_ij x t_j = 0 , dove t_ji=st_j => e_ij x (st_ij ey i = st_j e_i x ei + s_T e_i x e_j = (s_Tj-st₍₎ 川

> T T T

(1) ∂t_i/x_j + b = 0 < = ∂^o x_j & {0⇒ ∂o^{_)/ per problemi rispetto all'eq&gue}

CONDITIONS AL CONTORNO

CONDIZIONI AL CONTORNO

{

{ σ₁₁ n₁ + σ₁₂ n₂ + σ₁₃ n₃ = f₁

σ₂₁ n₁ + σ₂₂ n₂ + σ₂₃ n₃ = f₂

σ₃₁ n₁ + σ₃₂ n₂ + σ₃₃ n₃ = f₃

}

σ = | σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ |

    | σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃ |

    | σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃ |

ε = | ε₁₁ ε₁₂ ε₁₃ |

    | ε₂₁ ε₂₂ ε₂₃ |

    | ε₃₁ ε₃₂ ε₃₃ |

( σ_sy σ_sk ) = [ L_4x4 0 ] ( ε_sy )

                                        0 L_2x2   ε_sk

→ 13 COSTANTI ELASTICHE   (10-(L_4x4) 3-(L_2x2))

+ DESCRIVERE SIGNIFICATO MECCANICO COSTANTI ELASTICHE

IN CASO DI ISOTROPIA ELASTICA (PROPRIETÀ ELASTICHE NON VARIANO CON CAMBI DI DIREZIONE)

OTTENGO LA LEGGE COSTITUTIVA TRA T ED E PER UN MATERIALE ELOI

DEFINISCO W = σ:δε= 1/2 ( λ(TrE)² + μTr(E²) )

       T= λ(TrE) + 2μE

             COSTANTI ELASTICHE DI LAMÉ

RICAVO DA QUI LE LEGGI DI HOOKE

LE LEGGI DI HOOKE GOVERNANO I COMPORTAMENTI DEI MATERIALI ELOI METTENDO IN RELAZIONE

LE DEFORMAZIONI IN FUNZIONI DELLE TENSIONI

| ε₁₁ =   |   1    -ν    -ν | | σ₁₁ |  

| ε₂₂ =   |  -ν       1    -ν | | σ₂₂ |  

| ε₃₃ =   |  -ν    -ν       1 | | σ₃₃ |

                ↓ LEGGI DI HOOKE

            | γ₁₂ = τ₁₂  | 

            | γ₂₃ = τ₂₃  | 

            | γ₃₁ = τ₃₁  | 

dove   G = E_/2(1+ν)      MODULO DI TAGLIO /

                                  MODULO DI ELASTICITÀ TANGENZIALE

I materiali si possono deformare anche x cause non meccaniche → PROCESSI TERMICI → producono DEFORMAZIONI

TERMOELASTICITÀ

I MATERIALI POSSONO DEFORMARSI NON SOLO PER CAUSE MECCANICHE MA ANCHE PER EFFETTI

TERMICI (INFATTI VARIANDO TEMPERATURA DEL MATERIALE SI POSSONO OTTENERE DEFORMAZIONI

TERMICHE GOVERNATE DA UN COEFF. DI DILATAZIONE TERMICA SECONDO LA RELAZIONE

         ε_θ = α ΔT

NEI MATERIALI ELOI POSSO ESAMINARE QUESTO STATO DI DEFORMAZIONE TERMICO TRAMITE IL

TENSORE   E_θ =  |  αΔT   0       0    |

                                     |   0    αΔT       0    |

                                     |   0        0    αΔT  |

OSS. POICHÉ IL MATERIALE È ISOTROPO TUTTE E 3 LE DIREZIONI SUBISCONO LA STESSA DILATAZIONE

QUINDI GLI SCORRIMENTI SONO NULLI

LA TEORIA TERMOELASTICA CONTA 2 CONTRIBUTI DI DEFORMAZ.: ELASTICO E TERMICO

ε = ε_EL + ε_θ ;   σ = L(ε - ε_θ)

LE EQUAZIONI AL CONTORNO PER IL PROBLEMA TERMOELASTICO PRENDONO IL NOME DI EQ. DI NAVIER 

IN FORMA TERMICA

| C_ijhkb_i = 0 ,        σ_ij n_j = t_j |

Dimostrare la formula che fornisce l'elongazione di una fibra e lo scorrimento angolare tra 2 fibre in funzione del tensore della deformazione infinitesima e del versore della fibra

• Come si formula il problema delle deformazioni principali?
• Su quale HP si fonda la teoria della deformazione infinitesima?
• Perché le direzioni principali di deformazione sono ortogonali?

1) Elongazione:

ε_n = n^T E n

Parto dal tensore di Cauchy Green, scrivendolo in funz. di ε, H dove H = ε H

C = F^T F = (I + H)^T (I + H) = I + H^T + H^T H + H + I = I + ε H^T + ε H + ε² H^T H

Parto da elongazione come f(c_g) → f(h)

⇒ ε_n = √n^T c n - 1 = √n^T [I + ε(H_i + H_j) + ε² Hⁱ H^j] n - 1

Sviluppo in serie di Taylor e ottengo:

ε_n = ¹/₂ n^T (εH+εH_i) n + o(ε²) = n^T (H_i + H_j) n = ∂Γ^T E n

H = εH

ε_n = n^T E n

• Ho introdotto un tensore definito come la parte simmetrica di Hchiamato tensore della deformaz. infinitesima E = ^{H + HT}/₂
• n = versore della fibra

2) Scorrimento Angolare

γ_mn = 2m^T E n

sin γ_mn = cos θ_mn = ^{mT c n}/_{√m^T m n^T n} = ^{mT c n}/_{(1+εm)(1+εn)} = ^{mT (I+ε(H_i+H_j) + ε2 H_i H_j)}/_{(1+εm)(1+εn)}

= m^T n m^T ε(H_i+H_j) n + o(ε²)

Stretch ⇒ δ_mn = m^T (H_i+H_j) = 2m^T E n

dove m, n sono versori ⊥ tra loro

• Il problema della deformaz. infinitesima si fonda sull'HP che lo spostamento relativo tra 2 estremi della fibra risulti molto + piccolo della lunghezza della stessa

  H_ij = ε H_ij

  Ho messo a fattor comune l'ordine di grandezza delle componenti della matrice e per tale HP esso risulta molto piccolo.

Problema delle deformaz. principali:

• Tra tutte le fibre centrate nel punto P, voglio ottenere le 3 fibre rispettivamente collineari con gli assi ε₁, ε₂, ε₃: fibre speciali

ε₁ = ε₁ e₁ e₁^T = [100] E₁₁ E₁₂ E₁₃ E₁₁

E₂₁ E₂₂ E₂₃

E₃₁ E₃₂ E₃₃

E₁₁

Analogamente E₁₂ = E₂₃ = E₃₃