Trasmissione dei segnali digitali - Dimostrazione dell'ottimalità dell'impulso gaussiano e dimostrazione del criterio di Nyquist

DOMANDA 21

Per dimostrare l’ottimalità dell’impulso definiamo due problemi:

1. Riduzione congiunta di banda e durata, cerco un impulso p(t) che rende

minimo il prodotto tra T B (tempo e banda efficace). Fisso la banda

e e

efficace a tutta la banda disponibile 2B o equivalentemente il T = T .

e

2. Posso valutare che l’impulso eccede la banda e devo minimizzare l’interfe-

renza fuori.

Definisco le: +∞

Z 1

2

2 2

|p(t)|

t

=

T dt

e E

p

−∞

non viene inf. anche se l’impulso è infinito.

+∞

Z 1

2 2

2 |P

B = (f )| df

f

e E

p

−∞

Vorrei un impulso che in freq. sia quasi finito nella banda, però anche in tempo

sia quasi finito nella durata. Cerco un segnale che le soddisfi entrambe, quindi

il minimo prodotto T B .

e e 1 2

|p(t)|

E

p

è una densità di probabilità e quindi se p(t) è reale e positivo la media della

densità: Z 1 2

|p(t)|

t dt = 0.

E

p

Stesso discorso per le frequenze. Il segnale ottimo è:

s 2

E t

−

p 2

p(t) = e 4T

e

p 2

2πT

e

impulso gaussiano.

Z Z

1 1

2 2 2

2 2 2 |p(t)| · |P

T B = t dt f (f )| df

e e E E

p p

Z Z

1 2 2 2 2

|p(t)| · |P

t dt f (f )| df.

= 2

E p

Metto j2πf : Z Z

1 2 2 2

|p(t)| · |

t dt ṗ(t)| dt.

= 2 2

E

4π p

Derivata ṗ(t). Disuguaglianza di Parseval (Cauchy-Schwarz):

53 2

Z

1

≥ .

t p(t) ṗ(t) dt

2 2

E

4π p

Prodotto scalare fra due impulsi. Integro per parti:

Z

Z +∞

2

− p(t) [p(t) + t ṗ(t)] dt.

t p(t) ṗ(t) dt = t p(t) −∞

Per cui decresce (il primo termine si annulla a zero):

Z Z

2

− −

= p (t) dt t p(t) ṗ(t) dt.

Z

−E −

= t p(t) ṗ(t) dt.

p

Pertanto: E

Z Z p

−E −

2 t p(t) ṗ(t) dt = =⇒ t p(t) ṗ(t) dt = .

p 2

Quindi: s 2

E

1 p

−

≥

T B

e e 2 2

E

4π 2

p

s r

2

E 1

1 1

p

≥ = = .

2 2 2

E

4π 4 16π 4π

p

I segnali che minimizzano il prodotto sono quelli in cui vale:

t p(t) = K ṗ(t).

g(t)

Se p(t) è l’impulso gaussiano e :

g(t) g(t)

t e = K ġ(t)e .

t

ġ(t) = K

2

t

=⇒ g(t) = + C.

2K

K negativo per essere un segnale di energia: 2

t

C