Trasmissione dei segnali digitali - Segnalazioni binarie e spaziatura ottima in frequenza per BFSK

DOMANDA 18 – Segnalazioni binarie e BFSK

Una segnalazione è binaria per M = 2. Il ricevitore si limita a decidere quale

dei due rami sia più grande senza fare formalmente l’operazione di arg max su

M rami separati: "Z

# #

"Z T

T E

E 1 2

1 ∗

∗ −

− r (t)s

Re (t) dt .

r (t)s

Re (t) dt ≷ 2

1 e

e 2 2

2 0

0

Possiamo unificare l’espressione raccogliendo i termini sotto un unico integrale:

(Z )

T E − E

1

∗ 1 2

−

r (t) [s (t) s (t)] dt

Re = Σ.

≷

1 2

e 2

2

0

Ponendo la variabile di decisione R:

(Z )

T ∗

−

R = Re r (t) [s (t) s (t)] dt ,

1 2

e

0

la regola di decisione si semplifica in: 1

R Σ.

≷

2

In questo modo, possiamo implementare il ricevitore ottimo utilizzando un solo

correlatore invece di due. T

R

×

r̃(t) Re{·} +

· dt Decisione

0

∗ −Σ

−

[s (t) s (t)]

1 2

Con il ricevitore a minima distanza otteniamo che gli errori sono meno frequenti

tanto più i due segnali utili s (t) e s (t) sono distanti nello spazio dei segnali.

1 2

Calcoliamo la distanza quadratica:

T T

Z Z

2 ∗

2 2

|s − |s |s − {s

(t) s (t)| dt = (t)| + (t)| 2 Re (t)s (t)} dt

1 2 1 2 1 2

0 0 p E E }.

E E − } E E − Re{ρ

= + 2 Re{S = + 2

1 2 1,2 1 2 1 2 1,2

Sotto l’ipotesi che s (t) e s (t) siano segnali equipotenza (e quindi equienergetici,

1 2

E E E):

= =

1 2 T

Z 2

|s − − })

(t) s (t)| dt = 2E (1 Re{ρ .

1 2 1,2

0

Quindi, per allontanare il più possibile i segnali (massimizzare la distanza),

}

dobbiamo rendere il coefficiente di correlazione reale Re{ρ il più piccolo (o

1,2

negativo) possibile. 46

Modulazione di Frequenza Binaria (BFSK)

Una tecnica fondamentale per ottenere segnali a bassa correlazione consiste

nell’utilizzare due frequenze portanti diverse. Trasmettiamo impulsi a radio-

frequenza: ad esempio, per il bit “0” trasmettiamo a frequenza f e per il bit

1

“1” trasmettiamo a frequenza f . Consideriamo le forme d’onda nell’intervallo

2

[0, T ]: (

cos (2πf t) , 0 < t < T,

1

s (t) =

1 0, altrove,

(

cos (2πf t) , 0 < t < T,

2

s (t) =

2 0, altrove.

Rappresentiamo i segnali nel dominio complesso in passabasso rispetto a una

f +f

frequenza intermedia f = . Le due frequenze traslate risulteranno sim-

1 2

0 2 ∆f

± −

metriche rispetto allo zero di una quantità pari a (dove ∆f = f 2

2

f ):

1

∆f

∆f

−j2π t

s (t) = e ,

=⇒ S (f ) = δ f +

2

1 1

e 2

∆f

∆f