Trasformata di Laplace

(APLACE

TRASFORMATA Tempe

DI inventio

/ comprom

[x(t)](s)E/tr)

= 2

1) et

/

x = Pete

+

) + 02

Stat ) +(5

X(s) 2dt

- -

= -

=

+

1) I

t(s - X(d)

e =

= -

- S 1

s 1 -

- . ↳

1 s S

# 1

- > >

- 0

↓

De(1 0)

converge 2

+

a + dominio di

,

& Tresformazione

s

ax(t) at

- 0

[0 +

ax ,

j

= at)"

!" Be

) at2 L

((x(tllz - ca Norma

= -

8

+

-at ED

STE

& S

e ca

- FNITO

=

2

La O +

a)

t(s

8-

+ t( l

) +

)

2[x(t))(x + -

- dt e

= = -S

- Q

+

S + a a

·

1x (s)/I 2

- DT

La NATURA

LA

PRESERVA

LAPACE

TRUSFORMATA DI !!!

DEUD TASFORAZIONE

DEF : tzo

definite matti

almeno

(t) continue

per a

X ,

D

indichiero seminette

la

regolore ,

con

,

eventralemente definite

degene ,

"

&

Se D dt

Ex co

- # (Def

X(x)

2[x(t)](s) =

Se 40 FX(d)

D + =

+

FUNZIONE Y(t)H(t)

2) GRDINO

A #

(wit Step-function Herioide

o

, t

& >

Vo(t) (1)

H

= =

. to

I H

I -

⑳ +

est

+

. *

= dt

(4)(x

[u

2 -

1 =

X(s) = . 1

I

Kse(0 0)

D = +

,

+ -

. O

+

17)

(41

LEE 2 :

. (t) (t) sin(wt)

sint

1) #

* x =

X = 2πm

w = >

T

/ es *

x(s) (wt) dec

= To st

+

-Estrim(wt) ) Cute

+ cor

= to

SF cor (wt) -S

2) a

-Q in(wt

= - mo

I

E I

= -

I

X(s) =

I

I + I

=

=

= - -

Y

I(5 W

- = FDX() = W2

8 +

l

x(s) = S 1

+ RAMPA UNITARED

2)x(t) f(t)

ax"(t) bx'(t) cx(t)

t +

1 + =

= g(t)

7 *

↳

filt) fu(t)

L

) +

test

X(s) ot #So

= dell'integrle

dominio

non converge

sco

se linTegrele

o

+ So

St &

+ stdt

-

e I

+

= .

- -

S O

- st +

- l

1 e

- - ~ O

st Lipubole quadrale

equilatera

O Ox

d)

(0

D +

= ,

3 - +

I PROPRIETA LINEARITA

DI

by(t)] (die M

+R

2[af(t) (a in

b) relari

+ ,

a2[f(t)] b2[g(t)]

+ seDfNDg

i) PROPRIETS TRASLAZIONE

DI

Se >4 asX(s)

a))(x)

2(x(t a)u(t e

=

-

- ↓ ↓

A > So

function

Step

1 --- Unitaria

D

a b/X(x)

3) ii2(X'(t))

C (s) cX(s)

+

X

- ↓

CI

x(t)e- =P

" de

+ + st

St ! -

x(t)a (tedt

S

+ =

= x(0)

C P

O I

. =

.

-m x'(o)

Col Q

B =

x(s) .

2[x(t))(s)

x(0) 3X(x)

+

= =

-

i) [ x"(t))(s)

2

0xx(t)

+ es at

- +

0

+

x'(t)est 5) tdt x(0)

x(t)e

+ = -

- O +

8t x(t)e- -

8 )

+

SX(t)e 2 dt

S

+ +

- O

Is

C .

-1 52(s)]

[x(0) 3X(0) a

↳ +

-

(as 2(f(t)]()

c)X(s)

bs

+ =

+

TASFORATO

PolNOMIO (42 20)

2Ez 3 :

.

i) ER

MODULACIONE : a

2(eatx(t)](x)

+ Bat + 2)x(tt

t(s

0x(t)dt ) -

- -

n

= ↓

X(s a) So a

>

- +

ii) t:

Per

Moltiplicazione

2[tx(t)](s) X(s) > So

-

=

[

x'( d

x (test

= -

X(s)

0(x(t))dt

+ +

x(ttdt

-( = - =

2(tx(t)](x)

- -

iii) T

POTENZE :

DI

2[t "h(t)](x

2[t)(x = ↓ 2[h(t))(x) 1

= -

I

(1)"

= ! 320

n

= ,

gate

i) T

DIVISIONE PER :

](x

+

2/ +

↳ x(s) d L

net

Es O

Et

: -

Part

+ + +0

-

t

) e = - 1

him =

t 0

>

-

)

02 +

+

S Gint] Ye

(s)ds ancigs

ds .

=

= =

US DEL'INTEGRALE

TRASFORMATA :

22. D

x(e)de](x) = 03

mex460 .

Ru fireto

120 ,

=

f

g(t) x(e)deFog(t) x(t) g(0) 0

= =

= , +

g(t)

(PP)

t(g(t)e st

-St g(td

-

1

dt +

- S

O

1) 2e -

g(t)) Stx(t

est

# +

- e

[ese e

s de

x(t)

1)

liv -

+

0

-

l >

- -

<

=

g(l) 0 x(r)de

= M) edE N

-x(t)dt =

=

00)

(50

LEE 4 : Problema

. Carchy

di

8g(t) *

Xi(t) Xu(t) forzente

filt) fult) Termine Ingred

(Xi(t) seguale in

-

↳

x(t) f(t)

E X"(t) + =

X(0)

X(0) 0 =

= 2)

h(t)

S(t) 2(

corlt)

f(t) +

= -

-

,

, A

D Teceps) 1-

/impulsi

S/t) Dinac wel

Delta di

- D

b

integrere

pro 0

si a

non distributioni

delle

integrere Teoria

la

pio

si per

Pg(t)e-

+ "

! - 1

dt e =

=

2[6(t)](s)

+ 3

)

2[X(t)(x) - X(x)

x(t)

-

=

· =

2[X"(t))(x sX(s)

x'(0) 3X(0) +

= - -

· - -

vele

O

Vele I

C

C I .

.

.

. l'equazione

Ricosteisso Trasforo

e 1)

62X(s) X(s) xX(s)(s 1 TRASFORMATIONE

+

1

+ =

+

= 2

X(s) X(s)

SOLZONE

= x(t) .

TRASFORMATA

+ - · 2 =

-

NTITRASFORMAZIONE

*

querd si

non

0x(xe'ds

+

0 X(t) Tebelle

le

normo

2 + = Traformazione

di

Jojosecut

&

1 (t)

X(s) x(t)

= =

82 1

+

sin3 Direc

Delta di

lim 1 =

=

E

E 0

>

-

2)2[cou(t)](x) S

= S +1

82X'(s) x(s) - Pol

# =

+ .

s 1

+

X(s) Trosfort

=, FDGluzione

FD e

st

n =

I

MOLTIPLICAZIONE PER (4) 2

(t 1 2(t -

=

x

= . (S2 1)2

+

S

X(s) = 2)2

(2 +

E2[trint] (b)

2 = u

(t)

+

At

(t) =

x

-

3) HeavySIDE

Puntione

UNITarlo De

Gradino unitarie

function

step 2))()

2(t

2[h(t) -

- LINEARITA

PROPMETA DI ES

-

1

2)](x) Es

2(h(t

2[h(t)](x) -

=

-

-

TABLUE d

S2X(s) X(s) 1 Polinon

e Eq

- .

+ = .

S

-

x(s) Soluzione

1 Trasforate

= - - -

s(s 2)

+ ES

- I

1

X(s) e

= - 1)

c) f(62

s(82 +

+ -

-

(f) Xz(b)

X1

1 bs c

a +

+

=

1)

s(5 32 1

+

+ bs

as 1

Cs

+ =

a +

+

b

E 4 b

a 1

0

+ = = -

P

=

④Ed F W(t)-coelt)

f

Xe(s) -

= t

X(t) corlt)

1 -

= #2

ES

-

Ess x2(t)

xe(s) e 2(t 2)

t en(t

-

= co(t )

= - - + -

1

+

s A

t co() cos(t

E 3)

D

> = + -

-

2)]h(t

E

Xe(t) cs(t 2)

1 t

+

= -

- DX1(t)

E

< = cat

(45 07)

LEz 5 :

. Carchy

Problema di

1 del °

2 ORDINE

corkt)

4X(t)

X"(t)

E =

+ MTL

x'(0) 1

x(0) Trosformazione

di

metodo

=

0

= , Laplace

di

+ 0x(t)e -

2(X(t)(x ) X(s)

dt

= = Ipp

0x"(t)e

+

2(x"(t))(x) .

) S2X(s)

x'(0) SX(0)

= ED

de

- +

- -

m

C .

diffrenzial

Ordinary Equation

2 P

ODE Eg

>

- .

. Equation

polinomial 2[cor(et)](s)

32X(s) 4X(s)

FD +

1 + =

- d

S L

4)

X(s)() puesezione

1

+ =

- 22 5th

S

S 4 w

s +

+ + =

=

X(s)( 2) + 2

+ = T (t)

Tap

x(s) : x(t)

-

62 sin(2t)

2 >&

sin(t)

Win >

-

-

= th -

Xz(t)

[2(x(t)])

x(t))(x)

[t 1

. = .

-

sin2t

x(t) = = 2 simkt

It i

(i) · x(t)

1 =

>

= -

T

+sin(t) 1sin(t)

4 Sowz

+

X(t) = .

-

2 etsint

E 5 x(t)

x"(t) 2X'(t) + =

+ (MTL)

10)

(0) N Col

0 0

=

x = ,

x x

- 2[etsint](s)

X(s) 5X(x)

2SX(s)

+ + = e

I

3)

X(s)/s 2) +

+ = 1) s

(S 1 28

+ + 2

+

+ 2

I

1 x(t)

=>

X(s) = 2)"(6

(32 5)

2)

+ +

2) +

+

SEMPLICI

FRAH L

b d

as + c +

t -

- D

s 3

25 +

+

52 2

25 +

+ 2)

b)(8

(as d)(c2 1

(

3)

+ =

+

2) 23

+ + +

+ +

+ CALCOLI

I

Fare

↑ =

c

a + +

b 2(a b d

)

d d

0

2

2a +

+

+ + =

+ = -

2d

26 D

2

5a + =

+

+

56 2d 5b 2d

1

1

+ =

= -

calcoli

fara

b i

-

4d =

=

E +

a c 0

= 0

a c =

=

2

59 0

+ =

1 -

E - 5

28 +

S +

26 2

+

+ 1

I ↓

2

5( ·

1/3 .

- 2)

1) 4

1

( + +

+ + W 2

=

62 - e tsin(t)

t (t)

- 1

sint

E x

e =

- 6

149 37) (MI)

6

2Ez :

. 3y(t)

5x(t)

x'(t) E X(0)

4 0

+

-

= =

y(0) 1

=

2y(t)

4x(t)

(t)

y +

= -

x(0) SX(s)

+ 5X(s) 3y(s)

3 =

- - +

y(0) 4x(x) 2y(s)

sy(x

+ +

= -

-

E 3y(b)

SX(s) 5X(s)

+ = 4X(s)

Sy(s) 2y(x)

1 + - =

- -

3)

X(s)/s

E y(s)

+ =

2)

y(s)(s 4X(x) 1

+

= = -

SoST 3

- -

+3)( 2) 4X(x) 3

x(s) 1 ·

+

- -

=

X(s)(s 5)( 2) 12X(s)

+ 3

+

- -

=

X(s)(c 12) 3

+

10

5) 26 =

+

+ - -

2)

x(s)/s 35 3

+ + +

=

3

X(s) =

= +

>

-

(s 1)(8 2)

+

+ bs b

+ 2a +

as + 3

=

E

1) b

1 E

b 0 3

- a = -

+ =

at a 3

=

3

3

X(s) = - 8 2

s + +