Termodinamica applicata - Teoria

A

La variazione della quantità di moto è uguale all’effetto GAS

della forza di pressione, dell’attrito e della gravità. Le

cose qui si complicano perché ho una miscela con fasi LIQUIDO

che si muovono a velocità diverse fra di loro. A



Per quanto riguarda le componenti di gravità, non è così

facile come prima, perché dipende dalla densità della Figura 12. Elemento di condotto per deflusso a fasi separate.

miscela che è funzione ora del grado di vuoto. Se non

conosco questo, non riesco a calcolare questo termine.

Per quanto riguarda il termine di

accelerazione dipende dal titolo e

dal grado di vuoto. Dunque senza

non posso calcolare questi due

parametri.

Per quanto riguarda il termine di

attrito, non sappiamo come fare:

non esiste un’equivalente del

diagramma di Moody. La soluzione

che si è trovata è quella di trovare

un parametro che assomigli. In

questo caso io so calcolare

solamente la perdita di carico per

attrito monofase. Devo trovare un

metodo o un coefficiente che mi dice quanto maggiore è la perdita di carico bifase rispetto a quella monofase

equivalente. sono introdotti dunque dei MOLTIPLICATORI DI ATTRITO BIFASE.

I termini con f a pedice sono le componenti per attrito.

Definisco:

• Moltiplicatore di attrito bifase della fase liquida che scorre da sola

dp

( ) ℎ ℎ

f

dz



L2 = =

dp ℎ

( ) L

dz

Questa quantità posso determinarla perché se ho una certa portata m, la portata della fase liquida è

= (1 − )

Calcolo poi, con Moody o le formule, a calcolare le perdite di carico quando la fase liquida scorre da sola.

Poi faccio una misura con la portata bifase che ho, e confronto i due termini. Calcolo così,

sperimentalmente il valore del parametro. Ripeto questo procedimento per n misure e cerco di definire

un modello che unisce i risultati. Non è un valore fisso.

• Moltiplicatore di attrito bifase della fase liquida che scorre da sola

dp

( ) f

dz



G2 = dp

( ) G

dz

La portata della fase gassosa è =

Il procedimento è analogo a sopra. 

Questi approcci possono essere problematici: quando il titolo tende a 1, tende a 0 e quindi tende a

L2



infinito. Quando il titolo tende a 0, tende a 0 e quindi tende a infinito. Definiti così, ammettono quindi

G2

valori non validi. È stato definito un riferimento alternativo: il MOLTIPLICATORE DI ATTRITO RIFERITO ALLA FASE

LIQUIDA ma che scorre con la portata totale con le proprietà del liquido.

dp

( )

f

dz



L02 = =

dp ℎ à

( ) f L0

dz ,

La indico con L0 per indicare che la portata considerata è uguale alla portata totale È una portata di

.

riferimento, non effettiva. =

Analogamente posso definire il MOLTIPLICATORE DI ATTRITO RIFERITO ALLA FASE GASSOSA come:

dp

( ) f

dz



G02 = dp

( ) f G0

dz ,

Con =

Il problema ora è quello di calcolare i moltiplicatori. Ci sono una serie di modelli per calcolare il grado di vuoto e

i moltiplicatori.

Non esiste un modello sul grado di vuoto assolutamente corretto. Alcuni vanno meglio di altri, ma esistono

moltissimi modelli diversi per la stima.

Per quanto riguarda la stima delle perdite di carico, abbiamo:

CORRELAZIONI DI LOCKHART – MARTINELLI - Correlazioni di Lockhart-Martinelli per i moltiplicatori di attrito:

Sono state sviluppate con miscele acqua-aria. X è il 2

X = [(dp/dz)f] / [(dp/dz)f]

L G

parametro di Martinelli. Le formule dipendono dalla 

L2 2

= 1 + C/X + 1/X

costante C, la quale dipende dal tipo di fasi. Calcolo il

numero di Reynolds di fase liquida e gassosa, definisco 

G2 2

= 1 + C X + X

come sono le due fasi (tt, vt, tv, vv) e definisco così il C = 20 (tt) Fase liquida turbolenta - Fase gassosa turbolenta

valore di C. v sta per ‘viscoso’/laminare. Se tutte e due le C = 12 (vt) Fase liquida laminare - Fase gassosa turbolenta

fasi sono turbolente, tendenzialmente la perdita di carico

è maggiore. C = 10 (tv) Fase liquida turbolenta - Fase gassosa laminare

C = 5 (vv) Fase liquida laminare - Fase gassosa laminare

100  

Ltt Gtt

 

Lvt Gtv

 

Ltv Gvt

 

Lvv Gvv

 10

1

0.01 0.1 1 10 100

Parametro di Martinelli

Figura 12. Correlazioni grafiche di Lockhart e Martinelli per i moltiplicatori di attrito

Se tutte e due le fasi sono turbolente, tendenzialmente la perdita di carico è maggiore.

La correlazione in realtà era originariamente solo grafica: è un andamento doppio logaritmico. Le formule sono

state trovate successivamente per regressione lineare. È un modello molto buono per i sistemi a vapore d’acqua.

MODELLO DI MARTINELLI e NELSON

1000 1.01 bar

6.89 bar

100

LO 34.4 bar

2

 68.9 bar

10 103 bar

138 bar

172 bar

207 bar

1 0 20 40 60 80 100

Titolo

Figura 13. Correlazioni grafiche di Martinelli e Nelson per i moltiplicatori di attrito

Visualizziamo il moltiplicatore di attrito riferito alla portata totale con le proprietà del liquido, in funzione del

titolo. Per il vapore è simile. Una scala è lineare, l’altra è logaritmica. 207 bar sono vicini ai 220 di pressione

critica. In questo grafico, i moltiplicatori hanno valori finiti, al contrario del modello di prima. Tanto più cala la

pressione, tanto più aumentano le perdite di carico di un deflusso bifase rispetto alle perdite di carico di un

deflusso monofase equivalente. Per questo c’è solo il metodo grafico, non sono state sviluppate formule.

EQUAZIONE DI FRIEDEL - Correlazione di Friedel per il moltiplicatore di attrito

Considerato il migliore modello per il calcolo delle

perdite di carico. Aveva a disposizione una banca dati  = E + (3.23 F H ) / ( Fr We )

0.045 0.035

2

LO

molto grande relativa alle perdite di carico. È un

modello costruito in modo statistico, di best-fitting. È E= (1-x) + x ( f )/( f )

2 2 L G0 G L0

costruito con gruppi adimensionali, in modo che la

deviazione fra il valore calcolato dal modello e il valore F= x (1-x)

0.78 0.224

sperimentale sia minimizzato. I gruppi adimensionali

sono quelli per cui i dati avevano più 1(

H= ( / ) / ) (1- / )

0.9 0.19 0.7

sensitività/sensibilità. L G G L G L

I gruppi E, F, H sono costruiti ad hoc. E è un misto di 

Fr= m / (g d )

2 m

titolo e perdite di carico. F dipende solo dal titolo. H

dipende da viscosità e densità. )

We= (m d) / (

2 m

I termini 0.78/0.2214/ecc sono tutti valori ricavati per    

= ( ) / [x + (1-x) ]

best-fitting. m L G L G

Sono parametri ricavati tramite calcole combinatorio.

Ci sono poi due gruppi che hanno un significato fisico:

• Fr numero di Frud

→

È il rapporto fra le forze di inerzia e quella di gravità.

• We numero di Weber

→

È il rapporto fra le forze di inerzia e quelle della tensione superficiale, che agisce sul menisco di

separazione.

L’ultima equazione invece è relativa alla DENSITA’ MEDIA OMOGENEA.

È un modello valido sia per tubi orizzontali che verticali.

Per quanto riguarda invece la stima del grado di vuoto, abbiamo:

MODELLO DI LOCKHART e MARTINELLI - Correlazione di Lockhart e Martinelli per il grado di vuoto

è correlato al moltiplicatore di attrito della fase

 

= 1 - 1/

liquida nel caso turbolento-turbolento (C=20). Ltt

 Ltt2 tt2

= 1 + 20/X +1/X

tt

MODELLO DI NELSON e MARTINELLI

È presente solo la versione grafica. Si osserva che alla pressione critica (3200 psi = 222 bar), il titolo è

perfettamente corrispondente con il grado di vuoto perché

=

Al ridursi della pressione, cambia totalmente. Basta

una piccola variazione del titolo, a bassa pressione,

per avere un valore molto alto del grado di vuoto.

MODELLO DI ROHUANI - Equazione di Rohuani per il grado di vuoto

Anche in questo caso sono formule

trovate per best-fitting, tramite misure   C  

= (x ) / [x + (1-x) + ( u ) / M]

L O L G L G gj

sperimentali.  

È il meno peggio per la stima del grado di L2 2 1/2

=1 + 0.2(1 - x)[(g d ) / M ] > 0.1

vuoto. C

O

Sul PP sono presenti dei grafici che

confrontano le stime del modello di  →

= 0 0

Friedel con le misure sperimentali, per

quanto riguarda le perdite di carico, e  

L2 1/4

u = 1.18(1 - x)[ g ( - ) / ]

una tabella con tutti i modelli esistenti gj L G

per la stima del grado di vuoto.

LEZIONE 3 07/10/2024

CONDENSAZIONE

È quel processo in cui un vapore viene trasformato nel suo liquido. Un vapore è una sostanza allo stato gassoso

al di sotto della sua temperatura critica. Un gas al di sopra della temperatura critica è un gas permanente. Noi ci

interessiamo di condensazione attorno alla temperatura ambiente, quindi abbiamo sempre a che fare con

vapore.

La condensazione può essere:

• OMOGENEA o A NEBBIA

Quando ho solo una specie chimica. Si ha un equilibrio di gas e liquido. La nebbia fisicamente è una

distribuzione di vapor d’acqua con goccioline di liquido di acqua. È una miscela bifase sulla quale

continua il processo di condensazione. È un meccanismo interessante nella meteorologia ma che non

viene utilizzato negli scambiatori. Il vapore deve trovarsi in uno stato meta-stabile: prima di condensare,

deve sotto-raffreddarsi. Per definizione, in equilibrio, il vapore non può essere sotto-raffreddato: o è

saturo o è surriscaldato.

• A CONTATTO DIRETTO

Ho una specie sotto forma di vapore e inietto del liquido sotto-raffreddato della stessa specie: è ovvio

che il vapore condensa. Si utilizza negli impianti chimici. È poco utilizz