Termodinamica

Statica dei Fluidi

• I fluidi vengono studiati come sistemi di moltissimi punti materiali
• Si possono distinguere due tipi di forze che agiscono su un fluido
  1. Forze di volume = forze di interazione a distanza (es. forza peso)
  2. Forze di superficie = forze che agiscono attraverso la superficie del fluido

pressione (Pa)

sforzo di taglio (Pa)

p = lim (FL / S) → δ (dFL / dS)

W = 1 Kg / m² Pascal (Pa)

• Gli sforzi di taglio sono nulli se:
  • Il fluido è in condizione statica
  • Il fluido non è viscoso (valida in condizioni sia statica che dinamica)

Teorema di Isotropia della Pressione

• Dato un punto all'interno di un fluido la pressione non dipende dall'orientazione della superficie scelta

Dimostrazione

Considero un fluido in equilibrio all'interno di un volumetto

α

dimensioni → 0

• Le forze di volume sono trascurabili perché:
  • Per e.g. molto più piccole di e²dS
• (i) Essendo in caso statico non vi sono forze di taglio.

IV) Le pressioni nelle facce sono

p_x = F_x / S_x

p_y = F_y / S_y

p = F / S

V)

p_x = t / s_x

p_y = P cosα / S cosα

→ p_x = p_y = p

la pressione non dipende dell'orientamento della superficie

RELAZIONE TRA FORZE DI VOLUME E FORZE STATI DI SUPERFICIE

I)

Consideriamo un fluido pesante (soggetto a forza peso) in condizioni statiche di equilibrio

forze di pressione laterale

II) Le forze applicate al volumento dV sono:

la forza peso

d(m_z) = ρ dV(- g ^z) = - ρ g A_z

dV

Le forze di pressione esercitate lungo la superficie laterale hanno risultante nulla per simmetria.

Le forze di pressione sulla superficie inferiore

F_P,SINF = ρ(z) A_z

≠ ρ = F / A

• casi notevoli
1. pressione esterna costante

P_est

P_est = _Vf ∫ dV = P_est (V_f - V_i)

2. espansione libera nel vuoto

P_est = 0 → L = 0

3. trasformazioni quasi statiche

P_est ≈ P_int→ L - ∫ P_int dV

ideale ≈ nobile

DETERMINAZIONE DELLA LEGGE DI STATO DEI GAS

• per studiare sperimentalmente le leggi di stato, tengo fisso il valore di una coordinata ne lascio variare una seconda e osservo come cambia la terza
1. fisso T, lascio variare V, leggo p

p = const

V

legge di Boyle

2. fisso V, osservo p

p = const . T

legge di Gay-Lussac

3. fissiamo p

V = const . T

legge di Charles

• per unire le tre leggi in una considero di portare una certa quantità di gas da (p_o, V_o, T_o) a (p, V, T)

aumento la pressione (p, V, T)

aumento la temperatura (p_o, V_o, T)

- in una trasformazione ciclica t = ₀ ΔU = 0 → W_c = Q

- in un ciclo il lavoro scambiato e il calore scambiato sono uguali

- Q_c + Q_e = ΔU - il principio vale anche per le trasformazioni indipendenti

ESPERIMENTO DI JOULE (I)

1) recipiente 1 = pieno di gas mentre il recipiente 2 è vuoto e la valvola è chiusa 2) viene aperta la valvola → espansione libera del gas nel recipiente 2 → Q_c = 0

3) osserviamo che non varia la temperatura del bagno d'acqua

- da questo esperimento posso concludere che: Q = 0, ΔT = 0

- applicando il primo principio Q = W_c - ΔU → ΔU = 0 - U deve essere funzione delle coordinate termodinamiche - U = f(p V, T) = f(V, T) → due coordinate indipendenti

- nella trasformazione (esperimento di Joule II) V è cambiato (= raddoppiato) ΔU = ΔU(V, T) = 0 → T = cost

- allora ΔU non dipende da V e concludo che per un gas l'energia interna dipende solo da T U = U(T)

- consideriamo ora una trasformazione isocora (volume costante), si vede che anche per gas ideale Q = c_v • m • ΔT volume costante

- in realtà per gas si preferisce riferirsi al numero di moli n anziché alla massa

Q = c_v^m • n_m • ΔT = Q = c_v • n • ΔT massa molare     allora mole         volume costante

• Introduzione delle piogge du minetto (macchine termiche):

rendimento _n = _L/_Qass = (|Q_ass| - |Q_ced|) / |Q_ass| = |L| / |Q_ass| = 1 - (|Q_ced| / |Q_ass|) η ≤ 1

• macchine frigorifere

• coefficiente di prestazione o efficienza: ω = |Q_ass| / |Q_ced|

ω = L / |Q_ced| @₁ = |Q_ass| / (|Q_ass| ^₊ |Q_ced|)

= ω + 1

• In una macchina termica, l'interazione con l'ambiente è modellizzata come interazione del sistema con termostati

• Supponiamo di avere una macchina termica costituita da un gas ideale che compie un ciclo di trasformazioni quasi statiche

• può avere Q ₌ >, > lavorando con un solo termostato? _«

• possono essere trasformazioni iso-terme alla temperatura T₀ del termostato _Q

• trasformazioni adiabatiche _^➄

non posso avere un ciclo con un _^solo termostato

_^Θ

Ciclo di Carnot

V_{B =} isoterma a T₁ , P_A n R T₁ ln V_B Q_{AB = V}^A

C _{- =} adabatica _{Qac =} , V_{C =} C_v (T_1-T₂)

_{≤ 0}

BC CD = isoterma di T_2-R T₂ ln V_P P ₊ or Q ₌ V_C>0

DA ₌ adabatica _{QDA =} L_{gn A}V C_V(T₁ - T₃)_> 0

Il sistema acquisisce calore dal termostato a temperatura T₂ e cede calore al termostato a temperatura T₁.

|Q_ass| = Q_ab

|Q_ced| = |Q_A-3|

• doppia definizione di rendimento

η = ^Q_Ass/_Qtot = 1±^Q₁/_QAss1 + ^Q₂/_QAss2 = 1 ± ^Q₁/_Q2

per macchina tra due termostati

• dal teorema di Carnot

η = 1 - ^Q₁/_Q2 = 1 - ^T₁/_T2 allora ^{Q₁ + Q₂}/_T2 ( = in caso reversibile )

Q₁xQ₂ ∗

cos ^Q₁/_T1

• alcune conseguenze del teorema di Carnot
• si può sfruttare una macchina di Carnot per misurare la temperatura T_x di un sistema (termostato) ignoto, facendo lavorare la macchina con un termostato di riferimento T_o, e misurando il calore scambiato

T_x = - T_oQ₂/^Q₁

• questa tecnica può essere usata come definizione operativa della temperatura con le vantaggi che non fa affidamento su un sistema fisico specifico [tutte le macchine di Carnot hanno lo stesso η]

temperatura termodinamica assoluta

• si può dimostrare a partire dal teorema di Carnot e del teorema di Clausius che per una macchina termica qualsiasi che lavora tra neth (infiniti) termostati

η_µ = ^T_MIN/_TMAX

• Teorema di Clausius
• se in un ciclo termodinamico che lavora tra n i termostati, in cui il termostato i-esimo è a temperatura T₁, viene scambiata una quantità di calore Q_i vale: ∑ _i=1^N Q_i / T_i = 0