Teoria Simulazione e prototipazione Virtuale (SPV)

DIGITAL GEOMETRIC REPRESENTAZION - DGR

DGR is how CAD stores and processes the geometries that need to be modeled.

Visualization: How the geometry is visible on the screen.

Representation: How the geometry is stored in the kernel.

Types of CAD 3D Representation:

1. Wireframe Representation: Representation of solids with edges. This has low computational effort but lacks information about area and volume, and is ambiguous.
2. Surfaces Representation: This type of representation can be approximated (mesh, voxel) or analytical.
• Polygonal Representation: Curves and surfaces are approximated by polygons, usually triangles, called mesh. The approximation represents curves with lines, causing an error quantified by the chordal error, which is the maximum error between the true shape and the approximation.

poligono della mesh. Si può ridurre tale errore aumentando il numero di poligoni ma a scapito di uno sforzo computazionale maggiore ottimale è adottare una distribuzione variabile di poligoni con un numero maggiore nelle zone di cui si vogliono avere maggiori dettagli. (il formato STL utilizza tale rappresentazione).

ANALYTICAL REPRESENTATION Utilizza funzioni matematiche per rappresentare curve e superfici Bezier, Hermite, B-spline

SOLID REPRESENTATION Un solido deve essere chiuso (le superfici di contorno devono essere chiuse), finito (dimensioni spaziali finite) e omogeneo (stessa dimensionalità spaziale non devono avere bordi o facce pendenti)....Con questa rappresentazione si hanno geometrie univocamente definite ed è possibile conoscere masse e volumi.

VOXEL REPRESENTATION È una rappresentazione approssimata in cui lo spazio viene diviso in celle volumetriche (voxels corrispondente 3D dei pixel 2D)

ogni voxel contiene dei dati come densità e colore. I voxel sono caratterizzati da: - forma: forme differenti possono rappresentare meglio alcune geometrie - dimensione: la dimensione dei voxel può variare - distribuzione: una distribuzione non regolare è utile per rappresentare dettagli con maggiore accuratezza e con un dispendio computazionale minore Capace di rappresentare oggetti multimateriali con un determinato gradiente ma necessita di una distribuzione fitta di voxel per oggetti tondeggianti. CSG - CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY Rappresentazione di solidi tramite operazioni booleane (unione, differenza, intersezione) tra geometrie elementari. La struttura dei dati è ad albero. Si definisce blank body l'oggetto che subisce la trasformazione e tool body l'oggetto che esegue la trasformazione e in seguito scompare (nei tool body rientrano le open shell che sono superfici aperte che si estendono oltre il blank body e sono usate come un semispazio). È una rappresentazione

intuitiva e compatta ma non sono molte le funzioni di model-lazione e la modifica è complicata.

Open shell

B - REP SOLID REPRESENTATION

Con questa rappresentazione i solidi sono ottenuti con connessioni matematiche delle superfici = i volumi sono considerati come superfici chiuse (gli elementi della topologia, cioè come le superfici sono connesse, sono le facce delimitate dagli spigoli a loro volta delimitati dai vertici).

Questa rappresentazione rispetta la legge di Eulero sulla validità topologica:

- per poliedri convessi senza fori: (F) - (E) + (V) = 2 + (G) - (A)

per poliedri con fori: (F) - (E) + (V) = 2 + (G) - (A) + (H) - (B)

A differenza della CSG le superfici di contorno sono esplicitamente definite ed è possibile rappresentare superfici free-form ma la modellazione e la struttura dati è più complessa.

NON CONVENTIONAL REPRESENTATION

Rappresentazione utile per geometrie non euclidee come territori, fluidi e piante.

PROCEDURAL

MODELING - Le geometrie sono calcolate con leggi fisiche e matematiche come i frattali, che consentono di rappresentare oggetti della natura come piante che hanno un carattere irregolare ma una certa somiglianza fra di loro e geometrie che si ripetono a diverse scale di grandezza (utilizzata per geometrie difficili da modellare con tecniche standard di modellazione).

MODELLAZIONE PHYSIC-BASED - Simula il comportamento statico e dinamico usando leggi fisiche.

SPRING NETWORKS - Utilizzata nella modellazione di corpi non rigidi costituiti da punti materiali connessi elasticamente fra di loro (es. abiti) sforzo computazionale elevato.

FREE FORM CURVES

• Cerchio osculatore: cerchio passante per un punto P (e il suo intorno) di una curva il centro giace sulla normale della curva in corrispondenza del punto P.
• Curvatura: reciproco del raggio del cerchio osculatore.
• Curvature combs - Porcupine spines: consentono di visualizzare la curvatura. Le spine hanno la stessa direzione della curvatura.

normale ma verso opposto e la loro lunghezza è pari alla curvatura

Se le curvature combs hanno la stessa lunghezza significa che la curvatura è costante, mentre l'aumento della curvatura è detta accelerazione se le curvature combs incrociano la curva si parla di inflessione.

RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DI CURVE 3D

Per rappresentare le curve in maniera univoca si possono usare tre forme:

1. FORMA ESPLICITA

Per questa rappresentazione sono necessarie 2 funzioni in una variabile indipendente: y = f(x); z = g(x)

Con questa forma non è possibile rappresentare curve chiuse problema risolto dalla forma implicita

2. FORMA IMPLICITA ( )=0, ,

In questa forma le curve sono ottenute come intersezione di 2 superfici: ( )=0, ,

3. FORMA PARAMETRICA

In questa forma ogni coordinata dei punti della curva è funzione di una variabile indipendente non geometrica: u è definita in un intervallo chiuso

= ( )= ( )

È la forma più usata nei CAD

perché è possibile rappresentare curve chiuse limitate nello spazio (inquanto il parametro è chiuso in un dominio), è facile da implementare e consente di gestire facilmente la continuità delle curve.

La forma parametrica utilizza delle funzioni polinomiali nella variabile u il cui grado ne determina la complessità geometrica della curva, quindi, anche lo sforzo computazionale. Un maggiore grado della funzione polinomiale consente di avere un maggiore controllo sulla forma della curva: una curva di ordine n può cambiare direzione n – 1 volte. È possibile combinare più curve di grado non elevato così da avere comunque la forma desiderata ma con meno dispendio computazionale.

CONTINUITÀ TRA SEGMENTI DI CURVE

Il modo in cui due segmenti di curve sono connesse fra di loro è detto G continuity (se la curva è parametrica si dice C continuity). La continuità di una curva

impatta sull'estetica di una superficie.

POSITION CONTINUITY = G0

Due segmenti di curva che si toccano in un punto.

TANGENCY CONTINUITY = G1

Due segmenti di curva che si toccano in un punto e hanno la tangente in quel punto con la stessa direzione.

CURVATURE CONTINUITY = G2

Due segmenti di curvatura con stesso valore di curvatura nel punto di contatto (oltre ad essere G1).

ACCELERATION OF CURVATURE CONTINUITY = G3

Due segmenti di curva con lo stesso valore della derivata della curvatura nel punto di contatto (oltre ad essere G2).

TORSIONAL ACCELERATION CONTINUITY = G4

Due segmenti di curva con stessa accelerazione torsionale nel punto di contatto (oltre a essere G3).

TIPI DI CURVE PARAMETRICHE POLINOMIALI 2D

HERMITE CURVES Sono curve parametriche polinomiali di 3° ordine (cubiche) definite da 4 input: geometrici: 2 punti estremi di passaggio e 2 vettori tangenti alle estremità. Maggiore è il modulo del vettore tangente, più la curva

seguirà la direzione dello stesso. Sono curve facili e intuitive da utilizzare ma non è possibile avere un controllo sulla curvatura.

BEZIERS L'ordine di queste curve è definito dal numero dei control points: n-1. I CP formano un poligono che approssima la curva che si vuole ottenere. La curva di Bezier passa per i punti estremi del poligono approssimato e i segmenti d'estremità sono tangenti alla curva in questi punti. La curva di Bezier contiene sempre il guscio convesso del poligono approssimato. Tra i limiti di questa curva troviamo che i CP passano solo per i punti estremi; per avere maggiore controllo è necessario avere più CP ma ciò ne aumenta l'ordine della curva, infine modificando un'area le altre ne sono influenzate (global editing).

SPLINE Sono usate per creare curve continue minimizzando il quadrato della curvatura (o minimizzando l'energia elastica). Sono curve composte da segmenti di curve.

con continuità G2 di basso ordine, i punti di contatto dei segmenti della curva sono detti "knots". Gli input geometrici sono i punti d'interpolazione e le due tangenti nei punti estremi. Tra i limiti di questa curva troviamo che punti non equidistanti possono portare a oscillazioni non volute e modificando un'area altre ne sono influenzate (global editing). TUTTE le precedenti (compresa questa) curve hanno come limite comune l'impossibilità del local editing. Le B-spline risolvono questo problema, muovendo un CP vengono influenzati solo i segmenti di curva adiacenti. Le B-spline hanno sempre una continuità di tipo G2 e l'ordine è indipendente dal numero di CP. È possibile sia l'interpolazione (come le spline) che l'approssimazione usando i CP (come le Bezier). TUTTE le precedenti (compresa questa) curve hanno come limite comune l'impossibilità di rappresentare.Le sezioni coniche come cerchi, ellissi e iperboli possono essere rappresentate utilizzando i seguenti tag HTML: - Cerchi: - Ellissi: - Iperboli: Le NURBS (NON UNIFORM RATIONAL B-SPLINE) sono un'estensione delle B-spline e possono essere rappresentate utilizzando il tag . Le superfici di ingegneria, come le curve, possono essere descritte da equazioni parametriche. In particolare, possono essere rappresentate utilizzando 3 equazioni in 2 parametri indipendenti definiti in un dominio. Queste equazioni possono essere rappresentate utilizzando il tag . Le isolinee, che sono utilizzate per una rappresentazione semplificata e per controllare le superfici, possono essere ottenute fissando un parametro e variando l'altro. Queste isolinee possono essere rappresentate utilizzando il tag . Le superfici rigate (ruled surfaces) sono ottenute spazzando una retta in movimento su una superficie. Queste superfici possono essere rappresentate utilizzando il tag .