Teoria Scienza delle costruzioni - parte 1

Scienza delle costruzioni

Strutture a telaio

Telaio: costituito da aste aventi diversa dimensione, hanno comportamenti strutturali che raccolgono le peso e lo trasferiscono alle altre aste.

Travi: hanno geometria cilindrica allungata la sezioneè costante per tutta la lunghezza.

Linea media: linea che congiunge i baricentri del solido.

Geometria delle aree

Momento statico

S_z = ∫_A y · dA [E³]

S_y = ∫_A z · dA [E³]

(distanza dall'asse, elemento d'area)

Quando entrambi i momenti statici saranno nulli è perché siamo nel baricentro.

Baricentro

^{ζ_G = S_y/AY_G = S_z/A}

Il baricentro è definito a partire dal momento statico.

Se la sezione è simmetrica il baricentro si trova sull'asse di simmetria.

Se y è l'asse di simmetria il baricentro èsu quest'asse.

Momento di inerzia

È un momento del secondo ordine = area × distanza²

I_z = ∫_A y² dA > 0 [E⁴]

I_y = ∫_A z² dA > 0 [E⁴]

I_xy = ∫_A y z dA [ε⁴] momento di ineria misto o centrifugo.

positivo negativo nullo = assi principali di inerzia

Assi Principali di Inerzia

Si definiscono assi principali di inerzia

• le coppie di assi ortogonali per i quali risulta nullo il momento centrifugo

I momenti di inerzia rispetto a tali assi si definiscono momenti principali di inerzia.

Travi ad asse rettilineo

Se la sezione è simmetrica un asse è quello principale di inerzia.

La trave può essere semplificata rappresentandolo solo con l’asse rettilineo.

Ci sono diverse forze che agiscono sulla trave:

1. Forze di volume = du
2. Forze di superficie = ds

Risultante = somma di tutte le forze che agiscono

Forze di volume

∫_A F_x dx dA = dx ∫_A F_xdA = dx ρ(x)

∫_A F_y dy dA = dy ∫_A F_ydA = dy q(x)

Forza di volume lungo x [N/m^l] Forza di volume lungo y [N/m^l]

(A) Piccoli spostamenti

δ = nuβ ≅ tgβ

1 - cosg ≅ g²/2

Se β è molto piccolo l'arco BB₁ è assimilabile alla retta BB₁.

(B) Ipotesi di corpi rigidi

Se il corpo è rigido il lavoro delle forze esterne è nulla per ogni spostamento ammissibile.

I vincoli costringono alcuni spostamenti a essere nulli.

Analisi cinematica

Dovere di individuare gli spostamenti ammissibili in un sistema del corpo rigido

• δx = δx^A traduzione di A
• δy = δy^A traduzione di A
• P generico punto viene traslato (P^I) e poi ruotato (P^II)

Centro di istantanea rotazione

In ogni moto rigido piano esiste sempre un punto che rimane fisso (Φ)

• se R_xa = 0 → se R_xa ≠ 0 è il centro di istantanea rotazione

Momento (Dove sono le fibre tese?)

- la sezione uc è quella maggiormente sollecitata.

Non è detto che dove c'è il carico concentrato ci sia massima sollecitazione.

Perché ho una più una sollecitazione uc?

Quando ho una forza concentrata questa è la situazione.

Azioni interne - equazioni indefinite di equilibrio

asta equilibrio tra reazioni vincolari e carichi.

Devo garantire l'equilibrio in entrambe le sezioni.

Funzione dx

anche su qb dovranno essere uguali.

quando dx -> 0 le quantità coincidere con il loro valore in Q.

quando

• dx -> 0
• dT -> 0
• dN -> 0

Anche per questa porzione devo garantire l'equilibrio.

Deformazione termica

Considero il tratto di trave dx compreso tra 2 sezioni e vi applico una variazione di temperatura ΔT tra esterno e interno ΔT_ξ > ΔT_i.

Sullo spessore del solido la distribuzione di temperatura è lineare.Posso determinare ΔT_ξ che agisce nel baricentro G.

Allo stesso modo posso considerare la variazione di lunghezza lungo tutte le fibre che resti parallelo all'asse: questa variazione è dipendente da una variabile detta coefficiente di dilatazione termica. (Limite di muniraioc -1)

(Calcolo di granulate &10^-5 – 10^-6 m²)

A un profilo di temperatura spasso una profilo di lunghezza.Nella sezione dx aggiungo la deformazione termica.

Nel baricentro G subisce una deformazione assiale di: α ΔT_ξ derivata della variazione di temperatura (allungamento).

- Le fibre esterne si allungano di più di quelle interne.

Deformazione termica assiale

^du/_dx – α ΔT_ξ = η ξ(x) – (variazione di tipo termico di lunghezza delle fibre)

Curvatura termica

^dϕ/_dx = ( α (^{ΔT_ξ – ΔT_i})/_R = χ t(x)

^du/_dx – α ΔT_i α Δt_ξ dx = α dx ( ΔT_ξ – ΔT_i )

di integrale diventa:

∫₀^{e d}⁄_dx (N*u)u dx - ∫₀^e dN* ⁄_dx u dx = N*u|₀^e + ∫₀^e ρ(x)u(x) dx =

= N_e * u_e - N_o * u_o + ∫₀^eρ(x)u(x) dx = 4*η_eu + h_o*u_o

+ ∫₀^e ρ(x)u(x) dx

∫₀^e N*(x)m dx = η_o * u_e + h_o*u_o + ∫₀^e ρ(x)u(x)dx

in e:

N_e* = η_e*

N_o* = η_o * (azione assiale negativa perche' di comp.)

i termini del seguando unilimbo sono tutti termuni che dipendono dagli postortamenti m(×) presenti nelle espressioni ne dile:

2) ∫₀^e M_*(x) ×_c dx

∫₀^e m*(x) φ_p dx = [e]^e M* φ_p dx

M_* ∴ φ - (^d ⁄_dy ⁄ ^d⁄_dx)

= ∂- ⁄∂ 0 ∫₀^e (m *φ) dx - ∫₀^e d^dy dx =

∫₀^{e d} ⁄_dx(m *φ) dx - ∫₀^e dy^* φ dx =

∂^dm⁄∂_dx = - Τ*(x)

= m*φ|_e + ∫₀^e T* φ dx = M_e* φ_e- m_o*∂_o + ∫₀^e Υ*∂dx

= w_e* φ_e + w_o* ∂_o + ∫₀^e T* φ dx

M_e* = w_e*

m_o* = - W_o*  

∫₀^e M_*(x) ×_c dx = w_e* φ_e + w_o* ∂_o + ∫₀^e T*Υ dx

∫₀^e T*(x)t(x)dx - ∫₀^e Τ^*dv dx - ∫₀^e T* φ dx