Teoria Scienza delle costruzioni

Deformazioni Elementari:

Eungazione n

ε_n = Δ_AB - Δ_n / Δ_AB consiste nella variazione di lunghezza di una fibra materiale per unità di lunghezza.

Δ_AB = Δ_sn

ε_n = lim_B→A Δ_n-Δ_sn / Δ_sn = d_sn / ds_n

Ricordo che ε_n >0 → allungamento

<0 → accorciamento

Scorrimento Angolare

γ_nt = π/2 - θ_nt consiste nella variazione dell'angolo compreso tra due fibre materiali, mutualmente ortogonali fra loro (1).

γ_nt = lim_B→A (π/2 - θ_nt) = π/2 - ∫nt

θ_nt = π/2 → γ_nt < 0 → allontanano

γ_nt = 0

< π/2 → γ_nt > 0 → avvicinano

Abbiamo quindi 6 componenti della deformazione → 3ε e 3γ.

Le componenti della deformazione sono quindi 6.

Elongazione

Elongazione Media

ε_x = Δx' - Δx / Δx

ε_y = Δy' - Δy / Δy

ε_z = Δz' - Δz / Δz

Elongazione Puntuare

ε_x = lim_B→A Δx' - Δx / Δx = d x' - dx / dx

ε_y = lim_B→A Δy' - Δy / Δy = d y' - dy / dy

ε_z = lim_B→A Δz' - Δz / Δz = d z' - dz / dz

→ SCORRIMENTO ANGOLARE:

SCORRIMENTO ANGOLARE PUNTUALE

γ_xy = ^π/₂ - Θ_xy

γ_yz = ^π/₂ - Θ_yz

γ_xz = ^π/₂ - Θ_xz

SCORRIMENTO ANGOLARE MEDIO

γ_xy = lim_C'⟶A (^π/₂ - Θ_xy) = ^π/₂γ_xy

γ_yz = lim_C'⟶A (^π/₂ - Θ_yz) = ^π/₂ - Θ_yz

γ_xz = lim_C'⟶A (^π/₂ - Θ_xz) = ^π/₂ - Θ_xz

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI INFINITESIME:

• corpo continuo e omogeneo
• deformazioni e spostamenti infinitesimi
• funzione u(x) spostamento continua e invertibile

u_B = u_A + du

u(x + dx) = u(x) + du = u(x) + ^∂u(x)/_∂x . dx + ^∂u(x)/_∂y . dy + ^∂u(x)/_∂z . dz = u_B

du =

1. du_x
2. du_y
3. du_z

1. ^∂u(x)/_∂x
2. ^∂u(x)/_∂y
3. ^∂u(x)/_∂z

1. dx
2. dy
3. dz

du =

1. ^∂u_x/_∂x
2. ^∂u_x/_∂y
3. ^∂u_x/_∂z
4. ^∂u_y/_∂x
5. ^∂u_y/_∂y
6. ^∂u_y/_∂z
7. ^∂u_z/_∂x
8. ^∂u_z/_∂y
9. ^∂u_z/_∂z

1. dx
2. dy
3. dz

F = GRADIENTE DELLO SPOSTAMENTO

F = S + E

• S = MATRICE SIMMETRICA
• E = MATRICE ESIMMETRICA

Tensione secondo Cauchy

Partiamo dalle ipotesi di definizione della tensione, in cui bisogna fare riferimento all'equazione cardinale della statica. Analizziamo F e M.

Il corpo è in equilibrio se:

• ΣF_R = 0
• ΣM_R = 0

Cauchy definisce la tensione come:

• lim _ΔA→0 ΔF_R / ΔA = σ_n(x)
• lim _Δt→0 Δm_t / ΔA = 0

La rappresentazione cartesiana di tali tensioni è così raffigurata:

σ_n(x) = σ_nn(x) + σ_nt(x) = σ_nn(x)·n + σ_nt(x)·t

Tensioni elementari

dA_x, dA_y, dA_z = aree infinitesime

Dimostrazione teorema di Cauchy

Partiamo dal tetraedro di Cauchy e ricordiamo che

σ_n(x) = σ_n̄(x)·n

Inoltre il tensore della tensione è così:

σ(x) = [σ_x σ_y σ_z]

Teorema dei lavori virtuali:

Il lavoro virtuale è il prodotto tra quantità cinematiche (λ) e quantità statiche (χ).

Cinematica

• ∫_V û(x) Σ(x) in V
• û(x) in S_u

Statica

• D^Tσ^*(x) + λ^*(x) = 0 in V
• σ_n^*(x) = σ^*(x) · n = P_n^*(x) in S_f
• σ_n⁺(x) = σ_c(x) · n = v_n⁺(x) in S_u

La mia Th base L_ext = L_int

• L_ext = ∫_∂BF P_n^*(x) · û(x) ds + ∫_dSu v_n⁺(x) · û(x) ds + ∫_V χ^*(x) · û(x) dV
• L_int = ∫_V σ_n^*(x) · Ê(x) dV

L'eguagliamento ottiene la mia tesi tuttavia ricordo dalle ttp che P_n^* + v_n^* = F_n^* = σ_n^* ◦

Quindi:

L_ext = ∫_S Ê^* · û dδ + ∫_V χ^* · û dV

(σ_c · nx + τ_xy · ny + τ_xz · nz) û_x + (τ_yx · nx + σ_y · ny + τ_yz · nz) û_y +

+ (τ_zx · nx + τ_zy · ny + σ_z · nz) û_z =

→ (σ_x · û_x + τ_yx · û_y + τ_yz · û_z) û_z + (τ_xy · û_x + σ_yz · û_y + τ_xy · û_z) · n_y

⋅ τ_xx · û_x + τ_yx · û_y + τ_xx · û_z = 0

→ Subdiviso in 3 diversi integrali:

1. ≡ σ_x · û_x + τ_y · û_y + τ_x · û_z(x) dx ds =
2. ∫_∂V(∂¿)/(∂x) + σx*(∂ß)/(∂x) + τx*(∂u)/(∂x) + τex±(∂đ)/(∂x) + τzx±(∂g)/(2x) dV = 0

Legge di Hooke

Per questa dimostrazione partiamo dalle Hp:

• corpo isotropo e omogeneo
• comportamento elastico-lineare

TH: σ(x) = E · ε(x)

Da parte del legame costitutivo, in quanto vera statica e cinematico, vogliamo un collegamento lineare tra σ ed ε.

• σ(x) = E · ε(x) → legame diretto
• ε(x) = F · σ(x) → legame indiretto

F = E^-1

Partiamo da un corpo caratterizzato da una tensione σ_x alla quale corrisponderà:

ε_x = σ_x / E

• σ_x → ε_x = σ_x / E
• σ_y → ε_y = σ_y / E
• σ_z → ε_z = σ_z / E

Questa condizione vale per qualunque σ

ε_x = ε_z = -ν ε_y = -ν σ_y / E

ε_x = ε_y = -ν 2ε_z = -ν σ_z / E

ε(x) = F · σ(x)

Deformazione primaria

Deformazione secondaria dipendente dal coeff. di Poisson