Teoria orale Metodi matematici per l'ingegneria

OLOMORFIA E CONDIZIONI DI CAUCHY-RIEMANN

La funzione f=f(z) è oloforma in z₀ = x₀ + jy₀ ≤ f=f(x,y) è differenziabile almeno in (x₀, y₀) e soddisfa la CONDIZIONE DI CAUCHY-RIEMANN

∂f/∂x (x₀, y₀) = 1/j ∂f/∂y (x₀, y₀)

Differenziabile

〈> Derivabile parzialmente rispetto ad entrambe le variabili e derivato con

df = df(x₀, y₀) (Δx, Δy) = ∂f/∂x (x₀, y₀) Δx + ∂f/∂y (x₀, y₀) Δy

IL DIFFERENZIALE TOTALE, risulta:

Δf = df + o (Δz) per Δz = (Δx + jΔy) → 0, cioè

lim Δf - df / Δz = 0

Δz→0

Condizione di Cauchy-Riemann

Hp: f derivabile/determinata da o detti e valori reali e immaginari

Δz = Δx → f(z₀ + Δz) - f(z₀) = f(x₀ + Δx, y₀) - f(x₀, y₀) = f' (z₀)

Δz = jΔy → f(z₀ + Δz) - f(z₀) = ∫f(x₀, y₀ + Δy) - f(x₀, y₀) = f' (z₀)

f_x (x₀, y₀) = f' (z₀) = 1/j f_y (x₀, y₀)

Differenziabilità

Hp: f è derivabile , esprimilo Δz = Δx + jΔy e vale la condizione di Cauchy-Riemann

TROVO: esprimere il differenziale totale come

df = fx (x₀, y₀) Δx + fy (x₀, y₀) Δy = f_x (x₀, y₀) Δx + 1/j f_y (x₀, y₀) jΔy

= f_x (x₀, y₀) Δx + f_x (x₀, y₀) Δy = f_x (x₀, y₀) (Δx + jΔy) = f_x (x₀, y₀) Δz

= lim Δf - df / Δz = f_x (x₀, y₀) Δx - f_x (x₀, y₀) = 0

Δz→0 Δx=Δz

Δz→0 Δx=Δz

Olochofia

Hp: vale la diff. e Cauchy-Riemann

Per cui la DIFFERENZIABILITÀ

lim Δf = fx (x₀, y₀) + lim Δf - df = fx (x₀, y₀) + 0

Δz→0 Δz Δz→0 Δz

⇒ le rapporto incrementale converge, cioè f è oloforma in z₀.

TEOREMA DI CAUCHY

Se f è olomorfa nel dominio D, risulta

∫_F f(z)dz = 0

dimo.

Hp: valgono le condizioni di Cauchy-Riemann => f(z) dz = f dx + f_y dy,

è una forma differenziale chiusa => f_y=f_x

Ricordando le formule di Gauss

∫∫(x dx + y dy)=∫∫(-X_y + Y_x) dxdy=0

dove F = F_U[-Γ_n], con orientata positiva se

considera come positivo il contorno esterno e come negativo i

contorni interni.

dimostrare xdx + ydy è una forma differenziale chiusa

TESI:

∫_F f(z)dz = ∫_F (f dx + if_y dy) = ∫_D ((f_y+if_x)dxdy)=0

PRIMA FORMULA DI CAUCHY

Se f è olomorfa in D, per ogni punto z₀ interno al dominio

risulta:

f(z₀) = 1/(2πi) ∫_F (f(z) dz / z - z₀)

dimo. La funzione F_Dp→f(z) è olomorfa in D-{z₀}

se, o < ρ < dist (z₀,F) z - z₀ cerchio chiuso di centro z₀ e raggio ρ

è contenuto interiormente a D, chiamiamo D_p il dominio

ottenuto privando D dei punti interni al cerchio

Essendo f olomorfa in D_p possiamo applicare il teorema

di Cauchy, dove Γ_ρ indica la circonferenza di

centro z₀ e raggio ρ (percorsa in senso orario)

=>

∫_Fdp f(z) dz = ∫_F f(z) dz - ∫_Γρ f(z) dz / z - z₀

cauchy

=>

∫_F f(z) dz - ∫_Γρ f(z) dz / z - z₀

non dipende da c_ostante => per calcolare il valore

passiamo al limite per ρ->0

Spazio di Lebesgue L²(a,b)

Norma: ‖x‖₂ = ( ∫ |x(t)|² dt )^1/2

Prodotto Scalore in L²(a,b)

(x,y) = ∫ x(t)y(t)dt

Energia di x

‖x‖₂² = (x,x) = ∫ |x(t)|² dt

Ortogonalità: (x,y) = 0

Sistema Ortonormale se S ⊂ L²(a,b)

Ortonormale <=> x = y

Sorgozionale Sortournormals

Generalità sui segnali

Segnale, funzione di variabile reale

x: t∈ℝ⟶x(t)∈ℂ

Traslato del segnale x(t) se t⟶x(t-t₀)

Ritardato δ_t0 se t₀ > 0

Anticipato α_t0 se t₀ < 0

Riflesso nel tempo se t⟶x(-t)

Riscalato se t⟶x(t)

Finestra: π(t) = u(t+t₀) - u(t-t₀)

Finestra Triangolare

Λ(t) = π * π(t) = ∫ π(s)π(t-s)ds

Λ(t) = ∫ π(s)π(s-t)ds

Λ(t) = { 0 se -1 < t < 1

1-t 0 < t < 1

RESIDUO: Sia z₀∈ᄅ e f olomofa in un intorno di z₀ escluso al più z₀ ⇒

R[z₀] = R₁[z₀] = R[₂][z₀] = ¹/_2πi ∫γ f(z)dz = c_-1

∫ R[0] = ¹/_2πi ∫γ f(z)dz = c_-1 ← (→ coeff dello sviluppo di Laurent intorno a)

IL TEOREMA DEI RESIDUO

Se f è olomofa nel dominio regolare D, escluso un numero finito di punti interni z₁...z_m

⇒ ∫γ f(z) dz = 2πi ∑ R[z₁] + ... + R[z_m]

dim. Sia δ > 0 un modo che i cerchi chiusi di raggio δ e centri z_i

siano disgiunti e contenuti internamente a D. Considero M = D' ottenuto privando D dei punti interni a tali cerchi, in modo che f sia olomofa in D'

∫_FD f(z) dz = ∫_FD/_{-(γ1 ∪ γ2)} ∫_{f(z)dz - ∫γ₁ f(z) dz -} ∫_γₙf(z)dz

+∫_FD ^2π/_R[z2] ^2π/_R[zn]

IL TEOREMA DEI RESIDUI

Se f è olomofa in D, escluso un numero finito di punti z_i

⇒ R[z₁] + ... + R[z_m] = 0

dim. sia D un cerchio di centro o e raggio maggiore del

max {|z₁|, ..., |z_m|} in modo che z_i siano interni

→ x IL TEOREMA DEI RESIDUI

∫γ f(z) dz = 2πi∑ R[z₂] + ... + R[z_m]

+∫_FD

è sufficiente osservare che :

∫_FD f(z) dz = -2πi R[∞]

Calcolo dei residui nei poli

f(z) = c_-1 + O(z)

_z-z0(↔) parte olomofa

⇒ ^lim_z→z0 (z-z_o) f(z) = lim (c_-1 + (z-z_o) O(z)) = c_-1 + O

z→z₀

TRASFORMATA DELLA CONVOLUZIONE

Se x, y ∈ L¹(R) => F{x⨁y} = F{x} · F{y}

dim. ∀ ω ∈ R

∫ e^-iωt(∫_-∞^+∞ x(t) y(t-τ) dτ) =

= ∫_-∞^+∞ (∫_-∞^+∞ x(τ) e^-iωτ dτ · y(t-τ) dτ = (e^{-iω x(t)}) · (e^{-iω y(t)})

F{x⨁ y} = ∫ e^-iωt x⨁ y(t) dt = (∫ e^{-iω x(t)}) · (∫ e^{iω y(t)} dt)

= ∫ x(t) e^-iωt dt · ∫ y(t) e^-iωt dt = F{x} · F{y}

I FORMULA FONDAMENTALE

Se x ∈ L¹(R), se t→x(t) ∈ L⁴(R) => F[x] ∈ C⁴(R) e

x'(ω) = F[(-iω)x(t)x(t)]

=∫_-∞^+∞ x(t) e^-iωt dt =

= ∫_-∞^+∞ x(t) d/dω e^-iωt dt =

=∫_-∞^+∞ jtx(t) e^-iωt dω ...

II FORMULA FONDAMENTALE

Se x è assolutamente continua e x,x'∈ L¹(R)

=> F{x'(t)} = jωF{x(t)}

FUNZIONI A DE CRESCENZA RAPIDA

S(R) classe delle funzioni di Schwartz o della f. a decresc. rapida

f a decrescenza rapida se con tutte le derivate è infinitesima

di ordine infinitamente grande

= lim_x→±∞ e^{mx (k)}(t) = 0

-> ogni f di classe C^∞(IR) nulla fuori un intervallo limitato

S(R) ⊂ L¹(R)

Teo affermazione di Fourier F; ₣₁→₁ biunivoca

Antitrasformazione F^-1 = ₣₁→₁