Teoria Grammel

FINÌ

tra i

Flangia soggetta a essione torica N BULLONI

Quando si applica il carico di serraggio Vs indotto

dalla coppia di serraggio sui bulloni le ange subiscono

una rotazione pari a alpha facendo perno sulla guarnizione,

ovvero sono soggette a essione torica.

Si parla di essione torica e non torsione torica perché

tutte le sezioni ruotano della stessa quantità attorno

all’asse della angia.

La angia è rappresentabile geometricamente da un anello

chiuso sul quale non si ha torsione torica ma essione

perché non c’è una rotazione relativa tra le sezioni che e

la compongono! p

h

RICORDO: Za

Mtm

Per calcolare il numero di bulloni su una angia: La

D M V

n = +4

b 40 Vs

Momento distribuito per unità di lunghezza, è legato alla lunghezza l

della circonferenza su cui è distribuito:

· ¸ Ome MA

n ¢ V ¢ l N ¢ mm µ e

s 0mF

m = ! n

¼ ¢ D mm

N

• l = braccio

• Dmf = diametro medio angia

• Dmb = diametro medio bullonatura

• Dmg = diametro medio guarnizione

• Dmef = diametro medio esterno angia

Teoria del grammel ( essione torica)

Consideriamo una trave ad anello soggetta a un momento per unità di lunghezza (m), ovvero soggetta

a essione torica. Se valgono le seguenti ipotesi:

• Trave: sezione compatta vicino al baricentro (D<<lunghezza trave)

• Trave a sezione generica

• Il materiale che compone la trave deve essere:

Elastico lineare: vale la legge di Hooke

◦ Omogeneo: ogni sua parte ha le medesime proprietà siche indipendentemente dalla posizione

◦ Isotropo: tutte le proprietà del materiale non dipendono dalla direzione

◦

• Per piccole deformazioni e spostamenti la geometria non varia

m m

· ¸ · ¸

N ¢ mm N ¢ mm

mm mm

att

I Mie ale

µ

e È re si lo

o

t Main

DS

µ e

e y

Le sezioni hanno forma quadrata/rettangolare con uno spigolo tagliato.

Nella sezione di sinistra: in rosso ho evidenziato il sistema di riferimento preso in considerazione

mentre in blu le azioni interne.

Consideriamo una sezione a una distanza ΔS(ascissa curvilinea) dalla faccia di sinistra e facciamola

ruotare, rispetto all’asse della trave a semi anello, no a quando non combacia con la sezione di taglio

destra. Studiamo quali azioni internet si annullano e quali no in funzione del carico esterno applicato:

Considerazioni di equilibrio e congruenza:

• ΣMt=0: Mt=0 non esiste momento torcente perché tutte le sezioni sono sottoposte a m=costante e

ruotano della stessa quantità. Non c’è rotazione relativa(torsione) tra facce di sezione diverse

• ΣFt=0: 2N=0 —> N=0 non c’è azione assiale

• ΣFn=0: 2Tn=0 —> Tn=0

• ΣFb=0: Tb-Tb=0—> Tb=0 non ci sono forze esterne che possano equilibrarla perciò, se non fosse 0,

la forza andrebbe a generare una coppia che fa ruotare la trave ad anello

Calcolo Mn e Mb:

T.at at

m te Stiamo guardando la trave a semi anello dal sopra

it quindi Mb è perpendicolare al foglio!

a R= raggio del centro di rotazione della sezione

Maa M= azione interna =Mn

R

to A

t M

M Ma

M

Essendo la sezione simmetrica la risultante verticale di m della parte di sinistra è uguale ad opposta

Mb=0,

alla risultante verticale di m della parte destra, quindi non vi è un’azione interna verticale, ovvero

Mn≠0.

ma solo orizzontale: Z ¼

Equilibrio in direzione orizzontale: 2M = m ¢ sin° ¢ Rd°

0 Z ¼

2M = mR sin°d° = 2mR

0

) M = mR = M = costante ) mR = costante

n

· ¸

N ¢ mm

[N ¢ mm] = ¢ [mm]

mm

Il momento Mn, in questo caso in ette le bre superiori e comprime quelle inferiori.

R, M,

Se provassi a considerare un diverso raggio a parità di il ) ¢ R

M = m (R ) ¢ R = m (R

i i E E

m*R

rapporto resta costante. P

m (R ) = (R ¡ R )

m

Il momento distribuito per unità di lunghezza è riferito alla E i

i 2¼Ri

circonferenza per la quale viene calcolato. P

m (R ) = (R ¡ R )

E E i

2¼R E

σ?

Quanto valgono gli sforzi Osservando varie rotture si nota che avvengono

G

nel baricentro perché le bre più corte risultano

più caricate.

T Risolvo il problema traslando la posizione del centro di

C(CIR)

rotazione della sezione all’intradosso(verso sx).

m P C, β

Sia un generico punto a distanza ρ da l’angolo

ma CP α

tra il segmento e la direzione x e l’angolo di

rotazione del segmento:

a m

p

3

Coo 0

an CP = CP = ½ ! raggio vettore

G P = (½ ¢ cos ¯; ½ ¢ sin¯) = (x ; y )

P P

r’<r 2πr’ > 2πr la bra si accorcia perché soggetta a sforzi di

2 a σ

compressione tangenziali/circonferenziali perpendicolari al

si

Re

• µ piano della sezione.

i µ

Valutiamo la deformazione circonferenzale:

¢ 0

2¼r ¡ 2¼r r ¡ r L’unica deformazione presente è la variazione di lunghezza

" = = )

µ della circonferenza!

2¼r r

r = R + ½ ¢ cos ¯ = R + x

0

r = R + ½ ¢ cos (® + ¯) = R + ½ ¢ cos ® ¢ cos ¯ ¡ ½ ¢ sin® ¢ sin¯ = R + x ¢ cos ® ¡ y ¢ sin ®

R + x ¢ cos ® ¡ y ¢ sin® ¡ (R + x) x (cos ® ¡ 1) ¡ sin®

" = =

µ R + x R + x

x ¢ (cos ® ¡ 1) ¡ y ¢ sin®

¾ = E" = E ¢

Pertanto: µ µ R + x

Quanto vale il raggio del centro di rotazione della sezione(R)?

Z

Sappiamo che: N =0 ) ¾ dS = 0 T

µ

S S

it

Z

Quindi: x ¢ (cos ® ¡ 1) ¡ y ¢ sin®

E ¢ dS = 0

R + x

S

Z Z y ¢ sin®

x (cos ® ¡ 1) dS = 0

dS ¡ R + x

R + x

S 5

Deve valere contemporaneamente:

Z Z

x ¢ (cos ® ¡ 1) x

dS = 0 dS = 0 ! X > 0 ! R > R ! R = R ¡ X G

G G G

R + x R + x

)

S S

Z Z

y ¢ sin ® y dS = 0 ! Y = Y = 0

dS = 0 G C

R + x

R + x S

S

Teoricamente i due integrali sarebbero da calcolare sulla sezione deformata ma risulta accettabile la

sua approssimazione ad S.

Studiando l’equilibrio alla traslazione ho ricavato le coordinate di G necessarie per determinare il punto

C. C M α;

Nota la posizione di si ricava il legame tra e il momento è valutato moltiplicando, in ogni

σ C.

punto della sezione, lo sforzo circonferenziale per il braccio rispetto al centro di rotazione

Z

M (®) = ¾ ¢ ½ ¢ sin (® + ¯) dS

µ

a

I S

a

Is

Teoria del Grammel applicata alla molla a tazza E

R ¡ R

E I ¤

R = µ ¶ E =

Ai R E 2

1 ¡ º

ln

mq R 1 x ¢ (cos ® ¡ 1) ¡ y ¢ sin®

¤

2 ¾ = E ¢

µ

mm

me R + x

G 3

µ

ma A; B ! ¾ < 0 ) j¾ j · 2R COM P RESSION E ! puµ

o snervare ´ = 1

µ µ s

D; F ! ¾ > 0 ) j¾ j · R T RAZION E ! non puµ

o snervare

µ s

µ

F

Re i

Stato di sforzo piano TRAVE PIASTRA

TRAVE le TT

i mi

h M

E etto antiplastico

PIASTRA La sezione può La sezione non

E deformarsi può deformarsi

¤

E = liberamente liberamente

2

1 ¡ º

Hp: spessore h piccolo

Se consideriamo la piastra come un insieme di travi accostate l’una all’altra, ma non saldate, ognuna di

esse può deformarsi libera e e tra di esse si possono formare dei moti. Questi moti, nel caso in cui

consideriamo la piastra come un insieme di travi saldate, non possono formarsi, quindi nascono delle

azioni perpendicolari al carico applicato che impediscono la loro formazione.

Questo e etto lo si sente più ci si sposta verso il centro dove è applicato il carico.

Nella piastra si genera un e etto antiplastico che si oppone alla deformazione, il materiale reagisce ai

moti irrigidendo la struttura, per tener conto di questo e etto non consideriamo E ma E*>E.

Trave: ¾

1 x

" = ! ¾ = " ¢ E

" = [¾ ¡ º (¾ ¡ ¾ )] x x x

x x y z E

E T RAZION E V

→ →

1 " = ¡ ¢ ¾

" = [¾ ¡ º (¾ ¡ ¾ )] (il provino si contrae) : y x

y x z

y E

E ¾ 6

=0 V

x

1 " = ¡ ¢ ¾

z x

º(¾ ¾ = ¾ = 0

" = [¾ ¡ ¡ ¾ )] E

y z

z z x y

E

Piastra 1 1

" = [¾ ¡ º (¾ ¡ ¾ )] " = (¾ ¡ º ¢ ¾ )

z

x x y x x y

¤ ¤

P ICCOLO SP ESSORE

E E

→ →

1 1

(stato di sf orzo piano) :

" = [¾ ¡ º (¾ ¡ ¾ )] " = (¾ ¡ º ¢ ¾ )

y y x z y y x

¤ ¤

E E

¾ 6

= ¾ 6

=0

x y º

1 ¾ = 0 " = ¡ (¾ + ¾ )

º(¾

" = [¾ ¡ ¡ ¾ )] z z x y

z z x y ¤

E

¤

E

Dalla formula di E*(modulo elastico delle piastre o degli elementi che lavorano in stato di sforzo piano)

ottengo: E

¾ = (" + º ¢ " )

x x y

2

1 ¡ º

E

¾ = (" + º ¢ " )

y y z

2

1 ¡ º

CASO DELLE MOLLE A TAZZA:

Il calcolo delle molle a tazza lo si e ettua con buona approssimazione sfruttando la teoria delle piastre

circolari; la geometria della molla riduce il problema a una essione teorica.

β—> angolo con gurazione indeformata.

α—> angolo di rotazione della sezione attorno al centro

di rotazione C. e n f

m ho

La forza applicata all’asse della molla viene distribuita lungo 3

0

la circonferenza del foro della molla mediante il piattello. ma b

Per ricavare il legame carico-momento si impone l’equilibrio z<