Teoria di Fisica generale - Modulo B

Teoria Fisica generale

modulo B

CARICA

Isolanti e conduttori

Sono isolanti le sostanze come l’ambra o il vetro che, se strofinate (ad esempio con un panno di lana), vengono elettrizzate, ovvero diventano elettricamente cariche. Sono conduttori i materiali che non presentano alcuna elettrizzazione e, se strofinati, restano elettricamente neutri. La differenza di comportamento è legata alla struttura atomica o molecolare del materiale e va ricercata nella presenza (conduttori) o assenza (isolanti) di cariche che si possono muovere facilmente all’interno del materiale.

• e = 1,6 · 10^-19 C (carica elementare)
• La carica è quantizzata (data da multipli di e)
• La carica si mantiene costante in ogni sistema isolato

FORZA ELETTROSTATICA

• Legge di Coulomb:F₁₂ = K ^q₁q₂/_r² = ^q₁q₂/_4πe0r²
• Costante di proporzionalità K: K = ¹/_4πe0 = 8,99 · 10⁹ N·m²/C²
• Costante dielettrica del vuoto:ε₀ = 8,85 · 10^-12 C²/N·m²

Principio di sovrapposizione

Se in una regione di spazio sono presenti n cariche, la forza prodotta su ciascuna di esse dall’azione simultanea delle altre è pari alla risultante delle forze che ciascuna di queste cariche esercita singolarmente, ovvero è pari alla somma delle forze che ciascuna carica eserciterebbe in assenza delle altre:

Ad esempio, la forza esercitata su q₀ è:F₀ = ΣF_i0 = 1 ^q_iq₀/_4πe0r²i

Si può, quindi, concludere, che la forza con cui interagiscono due cariche non viene alterata dalla presenza di altre cariche.

Se imponiamo che il potenziale all'infinito sia nullo: V(∞) = 0

• Potenziale generato da una carica puntiforme: V(r) = ^q/_4πε0r
• Si creano superfici equipotenziali sferiche

Superficie equipotenziale

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale assume il medesimo valore.

• Per un punto dello spazio passa una ed una sola superficie potenziale.
• Una superficie equipotenziale è perpendicolare, in ogni suo punto, al campo elettrostatico e, quindi, alle linee di forza del campo.

Per il ragionamento analogo ad Energia potenziale di una carica q₀ in prossimità di una carica puntiforme: U_e(r) = q₀ V(r) = ^{q₀ q}/_4πε0r

• Potenziale elettrico di un sistema discreto di carica
• Energia potenziale elettrica

V(P) = -∫_∞^P E ⋅ ds = ^∑/_i ^q_i/_4πε0r1 = ¹/_4πε0 ∑_i ^q_i/_r1

U_e(P) = -∫_∞^P E ⋅ ds = ^∑/_i ^{q_i q₀}/_4πε0r1 = ^q₀/_4πε0 ∑_i ^q_i/_r1

• Potenziale elettrico di una distribuzione continua di cariche
• Energia potenziale elettrica

V(P) = -∫_∞^P E ⋅ ds = ¹/_4πε0 ∫ ^dq/_r

U_e(P) = -∫_∞^P E ⋅ ds = ¹/_4πε0 ∫ ^{q₀ dq}/_r

A seconda che la distribuzione sia lineare, superficiale o volumica, dq = l dL, dq = σ dS o dq = ρ dV e l’integrale è, rispettivamente, un integrale di linea, di superficie o di volume!

• Potenza elettrica:

p = _dW/^dt = V i

Per i conduttori ohmici si può anche dire che:

P = i² r = ^V2/_R

Lavoro da compiere una corrente i per un tempo t:

L = ∫₀^t P dt = ∫₀^t Ri² dt

Se la corrente è costante:

L = Ri² t

Questo lavoro è necessario per vincere la resistenza che il reticolo oppone al movimento degli elettroni. La potenza è trasferita al conduttore, che la immagazzina come energia interna. A causa del passaggio di corrente, quindi, il conduttore si scalda. Tale fenomeno è detto effetto Joule.

Forza elettromotrice:

E = ∮ E·ds = R_T i

Dove R_T = R (insieme delle resistenze) + r (R. del generatore stesso)

Quindi in sostanza ΔV = Ri = E - r i

i = ^E/_{(R + r)}

• 1^a e 2^a legge di Kirchhoff:

Legge dei nodi o prima legge di Kirchhoff

La somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo.

Legge delle maglie o seconda legge di Kirchhoff

In una maglia la somma delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di potenziale.

Metodo di risoluzione dei circuiti:

1. I criteri che si devono seguire per applicare le leggi di Kirchhoff sono:
2. si sceglie arbitrariamente un verso per la maglia e per le correnti;
3. se nel ramo k-simo la corrente entra nel condensatore, il previzionale è termine R_k i_k che sarà positivo se il verso è concorde;
4. se una f.e.m. viene percorsa dal + al -, il suo valore è positivo se il segno è concorde, altrimenti negativo.

Campo generato da una spira circolare:

|dB| = _μ0I⁄^4π _ds⁄^r²

Il simmetrico del ds genera un campo magnetico opposto a quello del ds

Analogamente al campo elettrico si forma un cono di linee di campo magnetico le cui componenti trasverse si annullano a vicenda quindi conta solo la componente normale alla superficie

B = ∫ _μ0Id⁄^4πr² cosθ n̂ = _μ0Icosθ⁄^2π∫_R⁄^(r_s)2 = μ₀IR²⁄2(2R³) n̂

Campo al centro della spira (max):

B = _μ0I⁄^2R n̂

Solenoide = filo avvolto a spirale di piccolo passo (fitte) = insieme di N spire circolari (di solito).

Densità lineare di spire: N = ⁿ⁄_d dove d è la lunghezza del solenoide.

Se dx è un tratto del solenoide

Campo magnetico generato al centro di un solenoide:

dB = _μ0InR²⁄^2R3 dx n̂_x → B' = ^μ₀nI⁄_{√(d²+4R²)} n̂_x ≈ μ₀nI n̂_x se d >> R

Al diminuire del rapporto R/d la zona interna in cui il campo ha valore pari a Basse è sempre più estesa e, per un solenoide di lunghezza infinita e passo molto piccolo, le linee di campo restano confinate all’interno. Quindi:

B_Solenoide = μ₀ni

Applicazioni del T. Faraday

• Generatore di corrente alternata

Consideriamo una spira rettangolare che ruoti con velocità angolare ω attorno ad un asse verticale passante per il suo centro. All'istante t generico, la spira forma un angolo θ con la direzione del campo magnetico B. Il flusso del campo magnetico vale

Φ(B) = ⊥_i di su; B_x: u_nd cosθ = BZe cosθ = BZcos(ωt)

La f.e.m. nel circuito risulta

ϵ = -dΦ(B)/dt = -ωBZsen(ωt)

La f.e.m. varia sinusoidalmente tra ϵ_min = -ωΒΖ ed ϵ_max = ωΒΖ. Se R è la resistenza della spira, nel circuito scorre una corrente alternata

i = ϵ/R = ωΒΖ/R sen(ωt)

Anche la potenza elettrica varia nel tempo. La potenza media, in un periodo di rotazione della spira è equivalente a quella erogata da un generatore avente f.e.m. efficace ϵ_eff=ϵ_max/√2 e vale

p_m = ϵ²_max/_2R

• Misure di campo magnetico

• Legge di Felici:

q = -_1/R ∫_t0^tdΦ(B)/dt dt = Φ₁-Φ₂/R

Osserviamo che il valore della carica non dipende dalla legge temporale con cui varia il flusso del campo magnetico, ma solo dal valore iniziale e finale di Φ(B). Questa relazione, nota come legge di Felici, fornisce un metodo semplice per misurare l'intensità del campo magnetico.

Ad esempio, data una bobina piatta costituita da N spire di area Σ, posta in un campo magnetico B, uniforme, e poi spostata in una zona di campo nullo, possiamo misurare l’intensità di B attraverso:

q = Φ₁ - Φ₂/R = NBΣ/R ➔ B = qR/NΣ

• Induttanza L:

Φ(B) = Li ➔ L = Φ(B)/i

U.M.: H (Henry)

1 H = 1V*1s/1C

È un coefficiente che dipende dalla forma del circuito e dalle proprietà magnetiche del mezzo

• Induttanza di un tratto l di solenoide:

L = μ₀n²Σl

• Induttanza per unità di lunghezza:

L = μ₀n²Σ