Teoria di Fisica generale

DINAMICA DEI SISTEMI

• La forza F agente sul punto i-esimo, questa è data dalla risultante delle forze esterne agenti sul punto e dalla risultante delle forze interne al sistema

i

agenti sul punto. Per forze interne intendiamo le forze d’interazione del punto con gli altri n-1 punti del sistema.

Si definisce centro di massa il punto geometrico individuato, nel sistema di riferimento considerato dal raggio vettore

• La quantità di moto di un sistema di particelle è uguale alla sua massa totale per la velocità del suo CM

Teorema del centro di massa: il centro di massa si muove come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema e a cui è applicata

la risultante delle forze esterne. Se R=0 -> a =0, quindi il CM mantiene il suo stato di moto

CM

• La variazione della quantità di moto di un sistema di particelle è uguale alla risultante delle forze esterne applicate. Se R=0 la quantità di moto totale

si conserva

• Teorema del momento angolare: l’evoluzione nel tempo del momento angolare di un sistema di punti è determinata al momento delle forze esterne

rispetto ad O. Le forze interne non influenzano il momento angolare

Se il momento delle forze esterne che agisce sul sistema è nullo, il momento angolare si conserva.

La condizione M=0 si può verificare quando: 1) Non agiscono forze esterne (sistema isolato), 2) sebbene siano presenti forze esterne, il momento M

può essere nullo rispetto al polo scelto. In questo caso il moto totale del sistema non si conserva

• Teorema di Konig: Il momento angolare L rispetto ad un riferimento O può essere scritto come somma del momento angolare L’ rispetto al riferimento

del CM e del momento angolare L dovuto al moto del CM

CM

• Secondo teorema di Konig: L’energia cinetica E rispetto ad un riferimento O può essere scritta come somma dell’energia cinetica E ’ rispetto al

k k

riferimento del CM e dell’energia cinetica E dovuto al moto di CM

k,CM

• Teoria dell’Energia cinetica: per un sistema di particelle; il lavoro compiuto dalle forze interne ed esterne su un sistema di punti materiali è uguale

alla variazione di energia cinetica del sistema

Se poi le forze interne ed esterne sono conservative, come nel caso del singolo punto materiale, possiamo esprimere il lavoro come variazione

dell’energia potenziale. Possiamo dunque affermare che anche per un sistea di punti materiali vale il principio di conservazione dell’energia

meccanica

Nel caso invece che non tutte le forze siano conservative, l’energia meccanica non si conserva ma, come nel caso di un singolo punto la sua variazione

è uguale al lavoro W delle forze non conservative

nc

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

• Si definisce corpo rigido un sistema di punti materiali sottoposti ad un’interazione mutua tale che la distanza di ogni punto rispetto agli altri rimane

fissa. La loro massa m sarà data da: dove ρ è la densità del solido e in generale può cambiare da punto a punto. Se invece il corpo è omogeneo

∫

allora ρ =cost in ogni punto e l’integrale diventa m=ρV

• Moto di traslazione: tutti i punti descrivono traiettorie ugual con la stessa velocità v . Tutti i punti si muovono allora con la stessa velocità v del CM

i CM

• Moto rotatorio: tutti i punti descrivono un moto circolare e le traiettorie sono archi di circonferenza che giacciono su piani tra loro paralleli con il

centro di rotazione sullo stesso asse. Questo implica che tutti i punti in un dato istante hanno la stessa velocità angolare. La velocità v =ωxR dei singoli

i

punto sono invece diverse a seconda dalla distanza R dall’asse di rotazione.

i

• In generale, un corpo rigido si muove di moto rototraslatorio, ovvero ogni spostamento infinitesimo può essere considerato come somma di una

traslazione e di una rotazione infinitesime

• ∑

=

Si osservi che in generale il momento angolare totale del corpo non è parallelo all’asse di rotazione, e quindi non esiste in generale una

relazione di proporzionalità tra L e ω.

• Il coefficiente di proporzionalità tra L e ω è detto momento di inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione. Questo dipende dalle masse e dalla loro

posizione rispetto all’asse di rotazione

• In conclusione: solo la componente del momento angolare lungo l’asse di rotazione è proporzionale alla velocità angolare tramite il momento d’inerzia

rispetto all’asse di rotazione. Tuttavia quando l’asse di rotazione coincide con un asse di simmetria del corpo per ogni L c’è un L simmetrico rispetto

i j

all’asse cosicché la somma dei momenti angolari perpendicolari in i e j sia =0, quindi L= L(dell’asse di rotazione) è parallelo all’asse di rotazione e

quindi a ω.

• Il momento di inerzia è l’analogo della massa nella legge di Newton per i moti di traslazione.

(Vedi formulario)

• Teorema di Huygens-Steiner: Il momento di inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova ad una distanza a dal centro di massa del

2

= +

corpo è dato da . Infatti: siano z e z’ due assi paralleli tra loro e distanti a con z’ passante per il CM. Il momento di inerzia rispetto

l’asse z è:

• Un corpo di forma sferica o cilindrica, si muove con un moto di puro rotolamento quando rotola su un piano mantenendo nulla la velocità del punto

di contatto col piano. Per mantenere fermo il punto di contatto deve agire una forza: si tratta della forza di attrito statico tra piano e corpo

• √2ℎ.

Nel caso di rotolamento il corpo acquista una v inferiore rispetto al caso di puro rotolamento dove v = Questo perché parte dell’energia

CM CM

potenziale va in energia rotazionale del corpo

URTI

• Quando due punti materiali vengono a contatto interagendo tra loro per un intervallo di tempo trascurabile rispetto ai tempi tipici di osservazione

del loro moto, si dice che i due corpi urtano tra loro. Le forze che agiscono durante l’urto agiscono per un periodo di tempo molto breve, ma possono

essere molto intese tali da modificare la quantità di moto di ciascun punto ovvero si dice che sono forze impulsive

• Però le forze che si manifestano nell’urto sono forze interne, pertanto, in assenza di forze esterne, la quantità di moto totale del sistema si conserva

ovvero la quantità di moto del CM non cambia durante l’urto. In realtà durante l’urto possiamo considerare che la quantità di moto si conservi anche

in presenza di forze esterne. Infatti, l’urto avviene in un tempo molto piccolo, pertanto l’impulso Fdt dato dalle forze esterne, che modifica la quantità

di moto, è trascurabile.

• Dato che durante l’urto le posizioni dei punti non variano, l’eventuale energia potenziale non cambia. Pertanto, la variazione di energia meccanica

nell’urto non corrisponde alla variazione di energia cinetica. Le forze interne che si sviluppano nell’urto non è detto che siano conservative; quindi, in

generale durante l’urto l’energia cinetica non si conserva.

• Urto elastico: si definisce urto elastico un urto durante il quale si conserva anche l’energia cinetica, e quindi l’energia totale del sistema

• Urto centrale: quando dopo l’urto le due masse si muovono lungo la stessa direzione

• Urto completamente anelastico: quando dopo l’urto i due punti restano attaccati formando un unico corpo. Durante l’urto i due corpi si deformano

e restano uniti. E ’ (Energia cinetica rispetto al CM) è proprio l’energia spesa per far avvenire tale deformazione

k

• Urto anelastico: i punti dopo l’urto tornano ad essere separati e durante l’urto, se non agiscono forze esterne impulsive, la quantità di moto totale si

conserva ma non l’energia cinetica (quindi l’energia totale)

DOMANDE MECCANICA

1.Quale è l'unità di misura di... (velocità/forza/lavoro/momento angolare).

-> Velocità (m/s), forza(N), lavoro (Joule), momento angolare (kg*m^2/s)

2.Definire velocità media e istantanea.

->La velocità media è il rapporto tra lo spostamento compiuto e il tempo impiegato.

La velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo.

3.Definire accelerazione media e istantanea.

->L’accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità e un certo intervallo di tempo.

L’accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo.

4.Derivare la legge oraria del moto rettilineo uniforme.

->

Dove x(t) è la posizione all’istante t, x0 è la posizione iniziale al tempo iniziale t0, v(t) e la velocità all’istante t.

5.Derivare la legge oraria del moto uniformemente accelerato.

->

6. Descrivere il moto armonico semplice.

->Può essere descritto utilizzando l’equazione: x(t)=Acos(ωt+θ), dove x(t) rappresenta la posizione dell’oggetto in funzione del tempo t, A rappresenta

l’ampiezza del moto, w rappresenta la frequenza angolare del moto e teta la fase iniziale del moto.

7. Descrivere il moto circolare con la cinematica scalare.

->La cinematica scalare può essere utilizzata per descrivere il moto circolare in termini di grandezze scalari come l’angolo sotteso, la distanza percorsa,

la velocità e l’accelerazione tangenziale e centripeta.

10. Descrivere il moto parabolico.

->Il moto parabolico è un tipo di moto in cui un oggetto si muove in una traiettoria parabolica sotto l’effetto della forza di gravità. Il moto è

caratterizzato da una velocità iniziale orizzontale costante e da un’accelerazione verticale costante dovuta alla forza di gravità.

11. Che forma ha l'accelerazione (vettoriale) per un moto circolare generico?

-> Ha sempre una direzione radiale ovvero diretta verso il centro della circonferenza. La sua intensità dipende dal raggio della circonferenza e dalla

velocità.

16. Conservazione della quantità di moto. Quando e come?

->La conservazione della quantità di moto afferma che in un sistema isolato, la quantità di moto rimane costante. In altre parole, quando la somma

delle quantità di moto iniziali degli oggetti è uguale alla somma delle quantità di moto finali.

17. Caratteristiche delle reazioni vincolari.

->Sono forze che agiscono su un corpo vincolato ad un sistema fisico. Esse sono generate dalle interazioni tra il corpo è il sistemare sono responsabili

di mantenere il corpo i