Teoria di Analisi 2

Analisi 2

Funzioni a valori vettoriali

Limite

Si ha lim_{t → t0} φ(t)= p se lim_{t → t0} ||φ(t) - p|| = 0

Oss: Il limite si calcola componente per componente. p = (p₁, p₂, ..., p_n) ∈ ℝⁿ

Il limite lim_{t → t0} φ(t)= p se e solo se ciascuna delle componenti tende a p; cioè: lim_{t → t0} x_i(t) = p_i ∀ i = 1...n

Dim

m ∈ ℝ²

• Funzione a valori vettoriali φ(t)= (x(t), y(t))
• Punto limite p = (x₀, y₀)

||φ(t) - p||² = (x(t) - x₀)² + (y(t) - y₀)²

Dunque 0 ≤ (x(t) - x₀)² ≤ (x(t) - x₀)² + (y(t) - y₀)² e 0 ≤ (y(t) - y₀)² ≤ (y(t) - y₀)² + (x(t) - x₀)²

Continuità

Def. ψ: I → ℝⁿ è continua in un punto t₀ ∈ I se lim_t→t0 ψ(t) = ψ(t₀)

In particolare una funzione a valori vettoriali è continua se e solo se tutte le sue componenti sono funzioni continue.

Arco di Curva Continua

Def. Si chiama arco di curva continua o curva parametrica, una funzione continua a valori vettoriali

ψ: J → ℝⁿ

Sostegno di una Curva

È l'immagine della funzione a valori vettoriali.

ψ: {t ∈ I | ⊆ ℝⁿ}

Curve Chiuse e Curve Semplici

• Curva Chiusa: [a,b] → ℝⁿ se ψ(a) = ψ(b)
• Curva Semplice: se ∀ t₁, t₂ ∈ [a,b] con t₁ ≠ t₂, si ha ψ(t₁) ≠ ψ(t₂) → semplice e iniettiva
• Curva Piana: ψ(c,b) → ℝ² è in un piano che contiene nel suo sostegno

Curve Notevoli

Coniche: Ellisse, Parabola, Iperbole

Esempio di ellisse:

• Curva chiusa e semplice
• Parametrizzazione:
• x = a cos t
• y = b sin t
• con t ∈ [0, 2π] e a,b > 0

Equazione: ^x2/_a² + ^y2/_b² = 1

Retta tangente

P = γ(t₀) + γ'(t₀) (t - t₀)

t ∈ R

Equazione parametrica della retta tangente ella curva γ nel punto γ(t₀)

Condizione regolarita:

(γ'(t₀) ≠ 0^―)

Curva regolare → definito il versore tangente

T = γ'(t₀) / ‖γ'(t₀)‖

Length infinitesimale:

ds = ‖γ'(t)‖dt

Generalizza condizione di regolarità

Arco di curva regolare a tratti

definisco arco di curva regolare a tratti, o semplicemente regolare, un arco di curva conttura γ: I → R^m t.c.

l'intervello I puo' essere suddiviso in un numero finito di sottinsiemi I₁, I₂, ..., I_k su ciascuno dei quali γ

e' regolare

Coordinate polari nel piano

• p > 0 è la distanza dall'origine
• θ ∈ [0, 2π]

⎧ x = ρ cos θ

⎨ y = ρ sin θ

⎩ ρ = √(x² + y²)

⎧ cos θ = x / √(x² + y²)

⎨ sin θ = y / √(x² + y²)

Simboli Derivabilità:

∂f/∂x |_(x₀,y₀) = f_x (x₀,y₀)

∂f/∂y |_(x₀,y₀) = f_y (x₀,y₀)

Funzione Derivabile

esempi calcolo derivate parziali:

• es: f(x,y) = x⁴ - xy - x2y³
• ∂f/∂x (x,y) = 4x³ - y - 2xy³
• ∂f/∂y (x,y) = - x³x2y²

• es: f(x,y) = sin(x y)
• ∂f/∂x (x,y) = y cos(x y)
• ∂f/∂y (x,y) = x cos(x y)

Vettore Gradiente

grad f(x₀, y₀) = ( ∂f/∂x |_(x₀,y₀) , ∂f/∂y |_(x₀,y₀) )

∇f (x₀,y₀)

Per una funzione di n variabili abbiamo un vettore di ℝⁿ con n derivate parziali, perciò il vettore gradiente avrà n componenti f (x₁, x₂, ..., xₙ) p₀ ∈ A

grad f(p₀) = ( ∂f/∂x₁ |_(p₀), ∂f/∂x₂ |_(p₀), ..., ∂f/∂xₙ |_(p₀) )

Nota: |T v|| = |T| |v|| = |T|

Ti lo posso portare fuori

Ricavo

lim_T→0 (f(p_o+Tv) - f(p_o) )/T = < grad f(p_o), v > + o(||T||)

→ calcolo limite del rapp. di crescita

Conclusione:

(df/dv)(p_o) lim_T→0 (f(p_o+Tv) - f(p_o) )/T = < grad f(p_o), v >

CONSEGUENZE DELLA FORMULA DEL GRADIENTE

Il vettore gradiente nei punti dove non è nullo indica la direzione di max/min pendenza/crescita della funzione.

QUESTO è dato da CAUCHY - SWARTZ

(||u|| ||v||)

Se u e v sono 1, sarà 0.

Se u e v sono || ne prodotto scalare sarà il più grande possibile

Perciò posso avere crescita max e (con - davanti) crescita minima

PROPRIETÁ 2:

Il vettore gradiente è ortogonale alle linee di livello

vettore gradiente

c2 volte vettore posizione

tangente linea di livello - ortogonale al gradiente

Perchè per ipotesi del dominio, la funzione ψ(x) è definita almeno in un intorno contenente x₀ (punto di massimo relativo).

Tuttavia ψ non è derivabile in x₀, perchè f_y(x₀, y₀) ≠ 0.

• Relativo estramum e in particolare è di max relativo per ψ(x₀) perchè esiste un intorno I di y(x) ≥ f(x₀, y₀) ≤ f(x₀, y₀) = ψ(x₀) ∀x ∈ I.
• Per Fermat in una variabile si ha ψ₁(x₀) = 0 cioè f_x(x₀, y₀) = 0.

Analogamente studiando la funzione parziale ψ(y) = f(x₀, y) si dimostra che

f_y(x₀, y₀) = 0 —> grad f(x₀) = 0̅

geometricamente considerare n = 2, po e’ punto critico ↔ il piano tangente è orizzontale.

RICERCA Max e MIN ASSOLUTI

1. Prima di tutto devo verificare l’ipotesi, se la funzione è continua e se DOM è compatto e chiuso —> f ammette max e min.
2. Se il punto di max o min si trovano all'interno allora → → estremo assoluto salvo che relativi.
3. Se mettiamo anche l’ipotesi di derivabilità —> otteniamo i punti critici interni.
4. I punti che ho trovato vanno studiati a parte.

3) Infine, quando ci sono bisogna studiare condizioni bordo e condizione finale.

Teorema: Condizione sufficiente del 2° ordine

Sia f: A → R e class C2 nell’aperto A ⊆ Rn e sia P0 ∈ A un punto critico (interno) di f. Allora:

• Se Hf(P0) è definita positiva → P0 è di minimo relativo
• Se Hf(P0) è definita negativa → P0 è di massimo relativo
• Se Hf(P0) è indefinita → P0 è di ...
• Se Hf(P0) è semidefinita → non ho conclusioni

Caso 2 variabili

Teorema:

Sia f definita in un aperto A di R2 e sia P0 ∈ A punto critico (interno)

• Se det Hf(P0) > 0 allora P0 è estremante
  • LTM Hf(P0) > 0 / fxx (x0, y0) > 0 → minimo relativo
  • TM Hf(P0) < 0 / fxx (x0, y0) < 0 → massimo relativo
• Se det Hf(P0) < 0 allora P0 non è estremante (sella)

Prologo esercizio:

• Faccio o gradiente...
• Lo squadro a zero → trovo il punto critico
• Faccio il det nella matrice → determino la tipologia del punto critico
• Se non riesco a determinarlo con studio funzione
• La monotonia / Studio il segno
• n.b. nell’intorno do sia parti positive che negative