Teoria dei sistemi - Seconda Parte

Teoria dei sistemi – 12/11/2020 – Lezione 18 – Ciro Natale Capitolo 8 – Sistemi dinamici a tempo discreto Introduciamo una nuova classe di sistemi con le seguenti le seguenti caratteristiche: Lo stato e l'uscita sono variabili di tipo continuo, tuttavia queste variabili evolvono solo in determinati istanti di tempo. Per istante intendiamo il concetto di “passo o step” (in corrispondenza del quale cambia la variabile di evoluzione del sistema) e non del tempo in sé. In questi sistemi la variabile temporale varia in un insieme discreto , mentre le variabili di evoluzione come l'ingresso stato e uscita assumono valori reali. Esistono due tipologie di sistemi di questo tipo: 1. Sistemi intrinsecamente a tempo discreto, utilizzati in moltissimi ambiti; 2. Sistemi che derivano da una discretizzazione del comportamento dei sistemi a tempo continuo (che vedremo ora). I sistemi che derivano da una discretizzazione sono quei sistemi in cui il comportamento è osservato solo in determinati istanti di tempo , sono i cosiddetti sistemi di controllo digitale. In particolare, noi studieremo una tipologia di questo sistema che si chiama “il sistema a dati campionati “ oppure “ il sistema a segnali campionati”. Qual è lo strumento matematico che descrive il comportamento di un sistema dinamico a tempo discreto? Se per il sistema tempo continuo era l'equazione differenziale che descriveva il comportamento di un sistema, invece per i sistemi a tempo discreto utilizziamo “l'equazione alle differenze “. in quante lettere il mio nome dopo sei passi sale in cima alla lista ? Notate che qui il passo k non ha il significato temporale ma piuttosto l'azione di far salire il mio nome in cima. Mi potrebbero non arrivare 15625 euro perché magari una parte della catena si è spezzata, però sperabilmente mi arriverà una buona parte di questa somma. Vediamo un secondo esempio: Risolvere questo tipo di sistema ricorsivo è facile: si chiama ricorsivo perché la variabile y() compare nell’equazione con istanti di tempo diversi (anni nel nostro caso). Abbiamo bisogno della condizione iniziale per risolvere questo tipo di sistema. L'ordine di questa equazione alle differenze è “1” , per trovare l'ordine facciamo : y(k+1) (massimo termine y) – y(k) = 1 . Questo è il motivo per cui nella nostra condizione iniziale abbiamo un solo scalare “0” , perché altrimenti ci sarebbero stati più scalari. Anche se la banca ci garantisce una percentuale di guadagno sul nostro investimento, in realtà la banca ci guadagna molto di più perché tutte le somme che gli investitori depositano sui loro conti bancari possono essere reinvestite nel mercato finanziario che produce molti più interessi passivi di guadagno per le banche. Esempio 3 Come si fa a calcolare la rata fissa U dato n che è il numero di anni? Dobbiamo essere capaci di calcolare la risposta del sistema al generico anno n , e in seguito adattarla al numero di anni che noi desideriamo.