Teoria Costruzione di macchine I

L’incastro impone un vincolo verticale, orizzontale e rotazionale. Non ha CIR. La cerniera impone un

vincolo verticale ed orizzontale. Il suo CIR è nella cerniera stessa. Il pattino impone un vincolo

longitudinale e rotazionale, il manicotto impone un vincolo perpendicolare e rotazionale. Il CIR del

pattino e del manicotto si trova all’infinito. Il carrello impone un vincolo longitudinale ed il suo CIR è una

retta passante per la cerniera del carrello stesso. Il bipattino impone un vincolo rotazionale ed il suo CIR

è una retta impropria (circonferenza). Una cerniera a terra impone un carrello e

2 GDV, 2 − 1 GDV

una cerniera interna con numero di aste.

2 − 2 GDV

Se esiste un unico CIR la struttura si muove, anche con movimenti infinitesimi (labile), mentre se non

esiste la struttura è statica.

Se GDV<GDL il sistema è ipostatico, se GDV=GDL il sistema è isostatico, se GDV>GDL il sistema è

iperstatico.

Un arco a tre cerniere è equivalente ad un sistema carrello asta cerniera, perché i CIR nei due casi sono

sovrapponibili. Una biella è un’asta vincolata da due cerniere su cui non agiscono forze o momenti. I

vincoli doppi (manicotto e pattino) sono cerniere generalizzate. Se in un arco le tre cerniere sono

allineate il sistema è labile perché i CIR si incontrano. Se le cerniere non sono allineate il sistema è

statico. Esistono poi strutture come appendici isostatiche, anelli chiusi e quadrilateri articolati.

Concentrarsi prima sui vincoli a terra permette di determinare la labilità della struttura generale,

concentrandosi solo successivamente sui vincoli interni. Il quadrilatero articolato è una struttura statica

formata da due bielle e due aste incernierate a terra da due vincoli doppi, che si riconduce ad un arco a

tre cerniere.

Reazioni Vincolari

Per calcolare le reazioni vincolari devo creare un sistema di riferimento, poi scrivo le reazioni generate

da ogni vincolo (prima esterni, ovvero quelli a terra e poi interni). Poi calcolo la risultante delle forze in x,

la risultante delle forze in y, la sommatoria dei momenti e pongo tutto uguale a zero. Se non mi bastano

le equazioni per calcolare ogni reazione vincolare, devo “spezzare” una o più aste e calcolare di nuovo

l’equilibrio di risultanti e momenti per quella singola asta. Anche ogni vincolo deve essere all’equilibrio,

ma lo devo verificare solo nelle cerniere alle quali sono attaccati più di due entità (aste, forze esterne o

reazioni a terra). I carichi distribuiti si possono semplificare come carichi posti nel baricentro di intensità

Per le bielle sulle quali non agiscono carichi o momenti, sono presenti solo forze assiali.

∙ .

Azioni Interne

Per calcolare le azioni interne devo aver prima calcolato le reazioni vincolari. Poi posso procedere

creando un sistema di riferimento per azione assiale (positiva se “distende”), azione di taglio (positiva

se in senso orario), per il momento flettente (positiva se le fibre tese sono in basso) e per il momento

torcente (presente solo nelle aste 3D e positivo se uscente). In seguito, spezzare l’asta in domini dove

non sono presenti carichi concentrati e dove l’asta cambia direzione, rappresentare le diverse azioni

interne in base alle convenzioni stabilite e impostare le equazioni di equilibrio. Poi rappresentare

graficamente le azioni interne su dei grafici che seguano la forma delle aste. Le azioni di taglio sono la

derivata del momento flettente. I carichi distribuiti generano momento parabolico e taglio lineare, i

carichi concentrati generano momento lineare e taglio costante ed i momenti concentrati generano

momento costante. I momenti si annullano nelle cerniere.

Sforzi Principali e Cerchi di Mohr

Per calcolare gli sforzi principali , , in cui devo calcolare il determinante del

> >

−

−

tensore degli sforzi: e porlo uguale a zero. Per calcolare le direzioni

̿ = [ ]

−

cos

̿ 2 2 2

cos

principali , , dobbiamo risolvere: in cui e

⃗ ⃗ ⃗ (̿ − )⃗ = 0 ⃗ = = + + = 1.

[ ] [ ]

cos

Inoltre: e .

2 2

√|̅|

̅ = ̿ ∙ ⃗ = −

Quando lo sforzo è piano, ovvero non ci sono sforzi assiali, né di taglio, in una delle tre direzioni, oppure

su una faccia vi è un noto, posso utilizzare i cerchi di Mohr: uno degli sforzi principali è o . Poi

0

trovo i punti identificati da e da e disegno un cerchio passante per quei punti. Disegno

( ) ( )

; ;

gli altri due cerchi come conseguenza del primo e del fatto che un è o . Grazie a considerazioni

0

geometriche (trovo il centro del cerchio come punto medio di e trovo il raggio con Pitagora e lo

,

sommo e sottraggo al centro per trovare i due ) identifico i tre sforzi principali. Per trovare la direzione

̅̅̅̅

principale ( ), calcolo l’angolo che sta tra l’asse dei ed il segmento ( ): .

ℎ

=

ℎ 2

, devo calcolare , , che sono uguali al raggio dei cerchi

Dopo aver calcolato tutti e tre i

di Mohr che ottengo sottraendo i vari , e dividendo per due.

Linea Elastica

Per gli esercizi della linea elastica devo calcolare lo spostamento e trovare la deformata. Innanzitutto,

′

imposto le convenzioni di verso il basso, di , scegliendo come angolo positivo quello che va dalla

()

′′

alla e di , in base alla direzione del momento flettente.

,

Poi, calcolo le azioni interne, con il momento flettente che nel concio ha le fibre tese in basso.

()

′′

Poi risolvo le equazioni della linea elastica con la formula: , ed integro due volte.

()

= −

Quando integro devo mettere le costanti di integrazione e per risolverle devo imporre le condizioni al

′

contorno. Per la cerniera: Per il manicotto e per l’incastro e Per il carrello

()

() = 0. () = 0 = 0.

′′ ′ ′′′

e Per il pattino e Inoltre, vi sono le equazioni di continuità

() () ()

() = 0 = 0. = 0 = 0.

′

dello spostamento e della rotazione , nella cui uguaglianza devo mettere il meno se i sistemi di

riferimento sono opposti. ′ ′′

Poi studio il segno di (spostamento), di (rotazione) e di (momento), cerco la freccia massima

studiando la derivata prima, e trovo la deformata.

Quando la struttura è iperstatica non posso scrivere le reazioni vincolari, quindi uso le equazioni della

()

′ ′ ′′ ′′′

linea elastica: quindi, Infine: e .

() () () () ()

= ±, = ±, = −. = ± = ±

Proseguo integrando 4 volte questa equazione per trovare ().

′ ′′

Poi studio il segno di di e di , cerco la freccia massima studiando la derivata prima, e trovo

,

la deformata. ′′′ ′′

Per calcolare le azioni interne: e Guardando le azioni interne

(), ().

() = − ∙ () = − ∙

ai vincoli, posso calcolare le reazioni vincolari.

1 ′′

La curvatura ().

= = −

Azioni Interne 3D

Per calcolare le azioni interne vi sono alcuni casi notevoli: un momento crea un momento costante, un

carico concentrato crea un momento lineare, ed un carico distribuito crea un momento parabolico, il cui

verso è determinato dalla regola della “vela”.

Per determinare le azioni interne di un sistema 3D devo innanzitutto creare un sistema di riferimento

che abbia un concio per ogni piano in cui siano esplicitate le convenzioni (per il taglio devo disegnare

due conci per ogni asse e posizionare le frecce in senso orario guardando dal semipiano positivo). Poi

posso o sfruttare i casi notevoli e risolverlo “ad occhio” oppure posso calcolare le azioni interne per ogni

piano, evidenziando volta per volta solo le azioni interne che agiscono su quel piano. Il momento

torcente diventa flettente nelle aste perpendicolari al suo asse ed il momento flettente diventa torcente

nelle aste parallele al suo asse.

Sforzi in Sezione

Per rappresentare gli sforzi in sezione devo disegnare la sezione (di solito un cerchio) con gli assi

corretti, in base al sistema di riferimento, e, riporto le azioni interne, sempre guardando il sistema di

riferimento. In seguito, metto in evidenza i punti più sollecitati situati ai quattro angoli della

circonferenza, ricordando che il momento flettente e il taglio agiscono sulla perpendicolare dell’asse

neutro, l’azione assiale è uniforme su tutta la sezione ed il momento torcente è massimo sulla

circonferenza (aumenta all’aumentare del raggio). Per ogni punto disegno un volumetto infinitesimo

rappresentando gli sforzi. 3 4

Per gli sforzi assiali: . Gli sforzi di taglio: per una sezione rettangolare e per

= = =

2 3

una circolare, ma si possono generalmente trascurare.

∙ 32

Il momento flettente genera uno sforzo assiale: , quindi per una sezione circolare,

= =

3

32

mentre per una sezione cava .

=

4 4 )

( − ∙ 16

Il momento torcente genera uno sforzo tangenziale: , quindi per una sezione circolare, ,

= = 3

16

mentre per una sezione cava .

=

4 4 )

( −

Per ogni punto faccio poi i cerchi di Mohr individuando gli sforzi principali.

3 3

ℎ ℎ

In una sezione rettangolare, il momento d’inerzia vale: e , mentre il momento d’inerzia

= =

12 12

ℎ 2 2

polare vale: = ( + ℎ ).

12 4

In