Teoria completa di Fondamenti di meccanica strutturale

Il Continuo di Cauchy

Si consideri un corpo di volume V e superficie S soggetto a forze interne (di volume) e/o agenti sulla sua superficie. Si consideri una porzione finita di ∆V0 ≤ ∆S. La porzione di azioni meccaniche che interessa tale porzione può essere rappresentata da una risultante ∆R applicata a un punto P in un momento risultante M rispetto a tale punto. I continui di Cauchy definiscono i seguenti limiti:

lim_∆V→0 ∆R/∆V = Īlim_∆S→0 ∆R/∆S = Ī trazioni superficiali N/mm²

lim_∆V→0 ∆M/∆V = Ȓlim_∆S→0 ∆M/∆S = Ȓ

L'esistenza di questi limiti è incompatibile con la presenza di azioni concentrate che possono essere concepite solo come risultanti di azioni distribuite. (Dai limiti di ∆M si capisce che non ci sono coppie concentrate ma vere distribuite)

Sforzo di Cauchy

Si assuma un corpo in equilibrio e di suddividerlo in due porzioni. Per garantire l'equilibrio si devono generare forze di superficie che le due parti si scambiano tra loro. Si identifica quindi un intorno di un punto P di area ∆S e normale Ī_α, quindi si ha che:

lim_∆S→0 ∆R/∆S = Ȓ_α e lim_∆S→0 ∆M/∆S = Ī_α

Il vettore Ȓ_α = Ī_α(Ī_α,P) è detto vettore sforzo in P con dimensione N/mm². Sull'altra porzione di corpo il punto P avrà normale -Ī_α e quindi il vettore sforzo sarà:

Ȓ(-Ī_α) = -Ȓ_α

Questo vettore Ȓ dipende quindi dall'area e dalla normale considerata. L'insieme di tutti i vettori sforzo al variare di Ī_α indica lo stato di sforzo in P che è un tensore doppio simmetrico.

Si consideri infatti: un tetraedro infinitesimo con tre facce ortogonali agli assi coordinati

σ_α, -σ₁, -σ₂, -σ₃ sono tutti vettori con 3 componenti dirette lungo gli assi.

Si scrive ora l'equilibrio alla traslazione, siccome F = ȒA ho:

Ȓ_αd₂s − σ₁dx₂dx₃ = σ₂dx₁dx₃ − σ₃dx₂dx₁

+ b_e = 0forze di volume trascurabile perché infinitesimo III° ordine dx₁dx₂dx₃

(Ȓ_α − σ₁)n₁ + (Ȓ₂ − σ₂)n₂ + (Ȓ₃ − σ₃)n₃

d₂s = d₂n_α

Ȓ_α = Ȓ _nα

Relazione di Cauchy

Matrice tensore di sforzo

Continua...

dove

SIMMETRIA DEL TENSORE

Si consideri un cubetto infinitesimo con i relativi sforzi su ogni faccia, tali che sulle facce opposte i vettori siano uguali e contrari (per equilibrio)

Si scrive l'equilibrio alla rotazione intorno all'asse x₃ rispetto al punto P. Si nota che solo i contributi e partecipano attivamente, gli altri si eliminano a vicenda o non contribuiscono.

= 0

= 0

= 0

FORZA BRACCIO

Tensore simmetrico

SPORZO PRINCIPALE

Ci si chiede se esistano giaciture particolari tali che il tensore assuma una forma diagonale, ovvero dove sono presunti solo sforzi normali.Risulti cioè:

(s = ),

Ci si riconduce quindi ad un problema agli autovalori:

quindi:

Occorre a questo punto cercare i valori di tali che annullino il determinante di . Si ottiene un’equazione di III° grado:

dove J₁, J₂, J₃ sono definiti INVARIANTI e

Essendo simmetrico sono associati 3 autovalori reali , , , detti SFORZI PRINCIPALI. I corrispondenti autovettori , , sono le DIREZIONI PRINCIPALI.

Se ci sono tre autovalori distinti, trovo una terna ortogonale.Se due autovalori coincidono è comunque possibile scegliere una terna ortogonale.Se qualunque direzione risulta principale.

E₁₁ = ^{dx₁' - dx₁}/_dx1

Rappresenta l'allungamento % di una fibra inizialmente orientata come l'asse 1.

Cosa rappresenta E₁₂? Inizialmente considero due fibre PQ e PR ortogonali tra loro. Dopo la deformazione ho Q' e R'.

Inizialmente Θ^*=π/2. Poi: ho α₁ e α₂ che cambia rispetto a Θ^* di molto poco quindi: Θ'^* ≃ Θ^*

Θ' = π/2 - α₁ - α₂

Tan α₁ ≃ Q'Q''/PQ'' = ^ds₂ / _dx1 ≃ ^ds_z/_dx1 ≃ α₁

Tan α₂ ≃ R'R''/PR'' = ^ds₁/_dx2 ≃ ^ds_x/_dx2 ≃ α₂

Θ'^* ≃ 1/2 (π/2 - Θ')

E₁₂ = 1/2 (π/2 - Θ'^*) ≃ 1/2 ds_z/_dx2 = 1/2 ω₁₂ ≃ 2E₁₂

Scorrimento

Rappresenta metà della variazione dell'angolo retto di due fibre inizialmente orientate come x₁ e x₂.

Reminder: α = δ/b = ε Tan α ≃ α = δ

CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

Dalla definizione del continuo di Cauchy sappiamo che sul corpo agiscono solo forze di volume, oltre ovunque in V, trazioni superficiali lungo il contorno libero e reazioni vincolari agenti sul contorno vincolato. Nel loro complesso, tutte queste azioni devono instaurare un equilibrio con le componenti del tensore.

Consideriamo quindi un corpo soggetto a queste azioni:

E imponiamo l'equilibrio:

• ∫_ΔV b̅ dV + ∫_ΔS σ_ui dS = 0
• ∫_ΔV d̅ dV + ∫_ΔS ṽ_ui dS = 0

Si applica il teorema della divergenza t.c.: ∫ F_i M_i dS = ∫^ΔF_i quindi si ottiene:

• ∫_ΔV b̅ dV + ∫_ΔV div σ̅ dV = 0

È necessario che: b̅ + div σ̅ = 0

Allo stesso modo sol contorno: b_j + ^dσ_ij/_dxi = 0 .

EQUAZIONE DI EQUILIBRIO INDEFINITO

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È ora necessario determinare i valori λ e G per i diversi materiali.

Perciò si pone:

• σ₁₁ = σ₂₂ = σ₃₃ = σ
• ε₁₁ = ε₂₂ = ε₃₃ = υΕ
• ε₁ = ε₂ = ε₃ = υΕ

e sost. nel sistema lineare si ottiene:

• σ = λΕ + 2GυΕ - λυΕ - υλΕ (da σ₁₁)
• σ = λΕ - 2GυΕ - λυΕ - υλΕ (da σ₂₂)

Risolvendo:

• σ = [(1-2υ)λΕ + 2G]Ε
• 2GυΕ = (1-2υ)λυ sost. sopra (1-2υ)λυ
• σ = [2υG + 2G]Ε = 2(1+υ)GΕ
• (inoltre so che σ₁ = ΕΕ)
• ΕΕ = 2(1+υ)Gυ

G = E / 2(1+υ) MODULO DI ELASTICITÀ TANGENZIALE

λ = υE / (1+υ)(1-2υ)

Sostituendo λ e G nella matrice si ottiene:

• σ_ij = E / [(1+υ)(1-2υ)] [(1-υ)E_ii + υΕ_zz + υΕ₃₃] e analoghe
• σ₁₂ = 2G Ε₁₂ = GΘ E₁₂ = E / 2(1+υ) Θ₁₂ e analoghe

LEGGE DI HOOKE

Facendo Ε = Ε - σ̅

• Ε_ii = (1/E)[σ₁₁ - υ(σ_zz+σ₃₃)] e analoghe
• Ε_1z = σ₁₂/2G = (1+υ)/E σ₁₂ e analoghe

LEGGE DI HOOKE INVERSA

Sappiamo che E e G sono sforzi (N/mm² o MPa) e maggiori di zero, mentre υ è un numero puro, ma quanto può valere?

Visto che l'energia di deformazione w è > 0

• w = 1/2 C_ijmk E_ij E_mk allora la matrice
• E = E / [E(1-υ)] [1-υ -υ -υ] [-υ 1-υ -υ] [-υ -υ 1-υ] dovrà avere i det. dei minori > 0.

Quindi si ottiene:

• 1>0
• (1-υ)(1+υ)>0
• (1-2υ)(1+υ)²/E² > 0
• υ < 1/2
• E > 0
• -1 < υ < 1

-1 < υ < 1 < 0

υ = 0.5 per materiali ingegneristici 0 < υ < 0.5