Teoria completa del corso di Analisi matematica 1

LIMITI

f: A ⊆ ℝ → ℝ

lim_x→x f(x) = l → x deve essere punto d’accumulazione

l ∈ ℝ

DEFINIZIONE DI LIMITE

∀B(l) ∃B(x) x ∈ B(x) ∩ (A \ {x}) → f(x) ∈ B(l)

1. x ∈ ℝ, l ∈ ℝ

   ∀B(l) ∃B(x) x ∈ B(x) ∩ (A \ {x}) → f(x) ∈ B(l)

2. lim_x→x f(x) = l, x ∈ ℝ, l = +∞

   ∀B(+∞) ∃B(x) x ∈ B(x) ∩ (A \ {x}) → f(x) ∈ B(+∞)

3. lim_x→+∞ f(x) = l ∈ ℝ

   ∀B(l) ∃B(+∞) x ∈ B(+∞) ∩ (A \ {+∞}) → f(x) ∈ B(l)

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE:

f: A \ boh -> ℝ

x p.to di acc. di A

∃ limit_x→x f(x) = l → l è l’unico limite di f per x → x

CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE:

f: A: dom f ⊆ ℝ → ℝ, x̄ ∈ A, f è continua in x̄ se:

∀ (f(x) . (f(x̄) - ε, f(x̄) + ε) ∃(x̄), x ∈ (x̄) ∩ A

⇒ f(x) ∈ (f(x̄))

dalla definizione inoltre x̄ non è per forza p.to di accu. ← ∀: limite cambio di x̄ è incluso

TEOREMI GENERALI DEI LIMITI

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO:

x̄ p.to di accu. di. A = dom f f: A → ℝ

se lim_{x → x̄} f(x) = ℓ ≠ 0 => ∃(x̄): ∀x ∈ (x̄) ∩ (A \ {x̄}),

f(x) ha stesso segno d. l (intendendo che + ∞ ha segno positivo e - ∞ ha segno negativo)

TEOREMA DI LIMITATEZZA LOCALE:

x̄ p.to di. accu. di. A: A = dom f, se ∃ lim_{x → x̄} f(x) = ℓ ∈ ℝ

⇒ f è localmente limitata in x̄

Simboli di Landau

1) Si dice che f e g hanno lo stesso ordine di grandezza per x → x̄ vs f ∼ g per x → x̄ se lim_x→x̄ f(x) / g(x) = l ∈ ℝ - {0}

2) f e g sono equivalenti per x → x̄ f ∼ g per x → x̄

=> lim_x→x̄ f(x) / g(x) = 1

σ (f) ("o" piccolo) = { g(x) : lim_x→x̄ g(x) / f(x) = 0 }

=> σ (x^d) = { g(x) : lim_x→∞ g(x) / x^d = 0 } = > (x^d) ∈ σ (x^d)_x→∞

=> g ∈ σ (f)_x→x̄

Se d > 1

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x₀ è un punto di: cuspide

TEOREMA DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA:

x₀ punto interno di domβ, f(β(x₀)) = ImF; f continua in B(x₀), f derivabile in x₀, f'(x) ≠ 0 f invertibile in B(x₀) => f^-1: f^-1(B(x₀)) → B(x₀) è derivabile in y = f(x₀) e (f^-1)'(y₀) = 1/f'(f^-1(y₀))

TEOREMA DI FERMAT:

• x₀ p.to di: estremo locale di: f (cioè è di max o di min per f)
• f è derivabile in x₀

=> f'(x₀) = 0

1. è localmente convessa in _x0 se ∃ β(_x0) ⊆ dom f :

   f(x) - [f(_x0) + f'(_x0)(x-_x0)] ≥ 0, ∀ x ∈ β(_x0)

2. è localmente concava in _x0 se ∃ β(_x0) ⊆ dom f :

   f(x) - [f(_x0) + f'(_x0)(x-_x0)] ≤ 0, ∀ x ∈ β(_x0)

3. Se ∃ β^-(_x0) e ∃ β⁺(_x0) in cui:

   • f(x) - [f(_x0) + f'(_x0)(x-_x0)] ≥ 0 in un β (intorno)
   • f(x) - [f(_x0) + f'(_x0)(x-_x0)] ≤ 0 nell’altro β

→ _x0 è un punto di

TEOREMA:

• è derivabile 2 volte in _x0.
• Se f''(_x0) > 0 → f è localmente strettamente convessa in _x0.
• Se f''(_x0) < 0 → f è localmente strettamente concava in _x0.

TEOREMA:

derivable n volte in _x0

• ∧ intorno ⊆ dom, n ≥ 2
• → ∃ k ∈ [1,n] → ^(k-1) (_x0) = f ^(k) (_x0) = 0

Teorema di Torricelli-Barrow:

B continua su [a, b] e G è una primitiva di B

∫_a^b B(t) dt = G(b) - G(a)

Integrali Impropri Generalizzati

Negli int. di Riemann :

• a limitato
• [a,b] chiuso e limitato

Veniamo cosa accade

Ci mancano queste ipotesi

Intervallo Illimitato: [a, +∞)

lim_t→a F(t)- lim_t→a ∫_a^t f(x) dx =

• L ∈ ℝ → converge ad L
• ±∞ → diverge positiva
• f → indeterminato (oscillante)

∫_a^∞ f(x) dx → Integrale Improprio

TEOREMA:

y'' + a(t) y' + b(t) y = β(t)

a(t), b(t), β(t) continue su I ⊂ un I aperto

z(t₀) = y₀z'(t₀) = y₁

⇒ ∃ un'unica soluzione del problema di Cauchy, defi:

interna su I, cioe' i -> R di classe C² a I :

φ''(t) + a(t) φ'(t) + b(t) φ(t) = β(t) ∀t ∈ I

φ(t₀) = y₀φ'(t₀) = y₁

… è l'edizione dell'equazione differenziale di I

DEF:

Si dice che due funzioni definite su I inc aperto φ₁ e φ₂ sono linearmente dipendenti su I sse ∃c₁, c₂ ∈ R non entrambi nulli t.c.

= c₁ φ₁(t) + c₂ φ₂(t) = 0 ∀t ∈ I

= c₁ ≠ 0 ⇒ φ₁(t) = - (c₂/c₁) φ₂(t) ∀t ∈ I

- φ₁ e φ₂ sono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti.

TEOREMA:

y'' + a(t) y' + b(t) y = 0, a(t), b(t) continue su I

y₁(t) e' soluzione di y'' + ay' + by = f₁(t)

y₂(t) e' soluzione di y'' + ay' + by = f₂(t)

=> y₁ + y₂ e' soluzione di y'' + ay' + by = f₁(t) + f₂(t)

NUMERI COMPLESSI

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ x² + 1 = 0 non risolvibile in ℝ

=> i , tale che i² = -1 => non e' un numero reale

UNITÀ IMMAGINARIA

=> ℂ = {z = α + iβ, α ∈ ℝ , β ∈ ℝ , i: tale che i² = -1}

parte reale di z

Re z = α

parte immaginaria di z

Im z = β

SOMMA:

z = α + iβ , w = α + ib , α, β, a, b ∈ ℂ

=> z + w = (α + a) + i (β + b)

= (α + iβ) + (a , ib) = (α + a) + i (β + b)

=> Re (z+w) = Re z + Re w

Im (z+w) = Im z + Im w