Teoria Analisi 1

di Riemann

2 particolari individuate univocamente

somme

Def date

Siano :

f limitata

R

[a 63 -

· : , ,

suddivisione di

D 6]

[a

· ,

,

1) di

Chiamiamo inferiore fe

Riemann quantità

relativa la

a D

somma a

Si Coinfine

[x5(x5 1]

+

2) Chiamiamo SUPERIORE

....

SfdK sup

Con supe

1]

[xt x +

, +

D)/

Confronto 5/f d)

S(f , ,

,

fed assegnate

sono =

costruisco E

Ef B

,

V5 1

N

o

, .. f(3)

infifte sup(f

-

= = [x

[z 1] x]

x

, + ,

↓

f(3t)(x

inf(f(x sup(f)(x

1) = xz) = x)

-

- ++ -

1

= +

+ H

SIfd(fide Sif d

,

,

Proposizione

Consideriamo De

suddivisioni

[a 63 D2

2

su , , punti

Supponiamo laggiunti

De

di

Da

che fine

più

sia

Allora Dz)

be)

S(f s(f

=

· ,

, D1) Dal

S(f 5 (f

=,

·, , , RIEMANN INTERPRETAZ

INTEGRALE GEOM 1

.

1

Sf(x J'(d "(t)

+ IIIIII VIIIIs

= = 7 ///

Riem

integr

S = . . S

No

& - &

- -

NON

FUNZ INTEGRABILE

LIMITATA

.

f 13

[0 1

E sexEQ[0 1]

: , (1VXE

, Flimitata Ma Integrabile

1)

f(x) non

,

altrimenti Riemann

secondo

O dell'intervallo

x

Exo

Infatti suddivisione

D 13

sia 0 1

+xn

[0 1x1x

1 :

una = =

= , ...

..

,

, di fi

la

Quindi superiore

somma

=

S(d) i 1FD

=

suddivisione

vale

Questo di

qualsiasi TI in f

[ 1] B

per = 1

,

La inferiore

somma : .

VD

0

= =

-

S(fb =

=Se

0Fj

=

Conclusione è secondo

integrabile

fran Riemann

J'(f) 5"(f) 1 =

+

0 =

=

Classi funzioni integrabili necessarie

non

>

~

integrabili sufficienti

(condiz

Sono M

. So a)

cd 11

c(b

1 = -

FUNZIONI COSTANTI f [a -R

6]

CONTINUE

Funz

2 : ,

. aperta

3 interv

(deve continua

fita

funz b] R

Contin A tratti ogni

essere su

,

. .

4 &

FUNZ MONOTONE ni

. ⑨

FUNZ

5 A TRATT

MONOTONE

LIMITATE E O

. 33x

a

dell'integrale

Proprietà

linearità

al Propr ( B)

Salafa g(x)dx

f(x)(x

g)dx = +

+

6) confronto

Propr fl (

6]

se x eta

eg) ogni

per

: In (

, particolare f(x) = o

se

Safedg Si

allora

6]

x [a =

,

additività

C) Propr VCEJa 6 [

Cradrad

: , C

d) Confronto modulo

il

con

Sfade Saifcalde

↳ La blEla

disuguagl triang 16

+

la +

segue . Convenzione

Simmetrie sui segni

2 fd

Safd

seté integrabile

fitaber e

Beab

Sia

pari d

siano

↳ e

= ,

S

Safd

Sf(x)d

è

se dispari = -

O

* =

media integrale

Teorema fld

esiste cioè

che Me

tale

b]

CELa

Sia Allora

f continua

b] -R

[a = :

: , ,

.

, Sa f(c)(b

f(x)dx

-c 6)

[a a)

- =

: -

,

Dimostraz .

f è fammette

quindi Weierstrass

il di

continua teorema

La ,

in 6] mass

e

minimo

per

, .

che

assoluto tali

6] E

[a

in max

min e

:

,

6] fl)

Xx[a E max

me

:

, ⑤

& God =S )

la confronto

Quindi ab-a)

del

proprietà ad ( -a

= B(

=

per =

= f(x)d maxt

=

minf B =

Mf

=

Dunque intermedi integrale

valori

dei

il teorema media

per tale che

[a f(c)

-c Me

6] = M

,

deve

La funz continua

essere

1

2 - 33

A =

1 - esiste

Ma C

! > non

2