Teoremi e dimostrazioni analisi matematica 1

ESTREMO.

▪ Teorema di Fermat: sia f :[a,b]→ℝ, x punto di estremo, se f è derivabile in x allora f ’(x )=0.

0 0 0

o Dimostrazione: x punto di massimo locale o globale ed ∃ U (intorno di x ) tale che

0 xo 0

f(x)≤f(x ) ∀x∈ U .

0 xo

()−( ) ()−( )

+′ −′

0 0

⟹ ( ) = lim ≤ 0 e ( ) = lim ≥ 0

−

− −

+ →

→ 0 0

0

0 ☐

+′ ′

Ma per ipotesi ∃f ’(x ) tale che ( ) = ( ) = 0

0 −

Se x è tale che f ’(x )=0, allora x si dice PUNTO STAZIONARIO O CRITICO.

0 0 0

▪ Teorema di Rolle: sia f: [a,b]→ℝ, continua in [a,b] e derivabile in (a,b), se f(a)=f(b) allora

∃c∈(a,b) tale che f ’(c)=0.

o Dimostrazione: essendo f continua in [a,b] intervallo chiuso e limitato, allora per il

teorema di Weirstrass f ha massimo e minimo in [a,b] e f(x )≤f(x)≤f(x ).

m M

Se x ∈(a,b) oppure x ∈(a,b) allora f è derivabile in c e per i teorema di Fermat

m M

☐

f ’(c)=0 .

▪ Teorema di Lagrange: sia f: [a,b]→ℝ, f continua su [a,b] e derivabile in (a,b), allora ∃ c ∈(a,b)

()−()

tale che ′() = −

(quello in arancione è il coef. angolare della retta che collega p e p )

1 2

Quindi il teorema dice che c’è un punto del grafico in cui la retta tangente è parallela alla retta

()−()

p p (quindi stesso coef. angolare). ⟹ eq. retta = ∗ ( − ) + ()

1 2 −

()−()

o Dimostrazione: definiamo h(x) = f(x) − ∗ ( − ) + ()

−

h(x) è continua in (a,b), perché f è continua, ed è derivabile in (a,b), perché lo è anche f.

h(a)=f(a)-f(a)=0

h(b)=f(b)-(f(b)-f(a)+f(a))=f(b)-f(b)=0

Per il teorema di Rolle, ∃ c∈(a,b) tale che h’(c)=0

()−() ()−() ☐

⟹ h′(x) = f′(x) − = 0 ⟹ h′(x) = f′(x) =

− −

Test di monotonia: sia f:(a,b)→ℝ derivabile in (a,b), si ha che:

▪ f è monotona crescente se e solo se f ’(x)≥0 ∀x∈(a,b)

- f‘(x)≤0

f è monotona decrescente se e solo se ∀x∈(a,b)

- Dimostrazione:

o f‘(x)≤0

1) f monotona crescente implica ∀x∈(a,b)

(+ℎ)−()

⟹ ′() = ℎ

→0

(+ℎ)−() (+ℎ)−()

Quindi: lim ≥0 lim ≥0 ′() ≥ 0

−

ℎ ℎ

+ →0

→0 f’(x)≥0

2) Al contrario, invece, se abbiamo che ∀x∈(a,b) allora f è monotona

crescente. Questo perché dati x <x tale che f:[x ,x ]→ℝ, funzione continua e

1 2 1 2

derivabile allora per il teorema di Lagrange ∃c∈(x ,x ) tale che

1 2

( )−( ) allora vuol dire che f(x )≥f(x ) e quindi è verificato che la

2 1

′() = ≥ 0 2 1

−

2 1

funzione è monotona crescente. ☐

Corollario su caratterizzazione funzioni costanti su intervalli:

▪ f’=0

f:[a,b]→ℝ è costante se e solo se ∀x∈(a,b).

Dimostrazione:

o 1) f f(x)=c f’(x)=0

è costante ⟹ , c∈ℝ, quindi

2) f’(x)= f’(x)≥0

0 ∀x∈(a,b) allora f è costante in quanto possiamo dire che

f’(x)≤0

(monotona crescente) ma anche (quindi monotona decrescente). ☐

Concavità e convessità: sia f:[a,b]→ℝ allora si dice:

▪ ( )−( )

CONVESSA su [a,b] se ∀x ,x ∈[a,b] si ha che 2 1

- () ≤ ( ) + ∗ ( − )

1 2 1 1

−

2 1

∀x∈[x ,x ].

1 2

Se la relazione è solo < allora si dice strettamente convessa.

( )−( )

CONCAVA su [a,b] se ∀x ,x ∈[a,b] si ha che 2 1

- () ≥ ( ) + ∗ ( − )

1 2 1 1

−

2 1

∀x∈[x ,x ].

convessa 1 2

Se la relazione è solo > allora si dice strettamente concava.

Nota: f è convessa se e solo se -f è concava.

Teorema: sia f [a,b]→ℝ concava o convessa, allora f è continua in [a,b] e ∀x ∈(a,b) ∃

0

finite derivata destra e derivata sinistra. Quindi f è derivabile in x oppure x è un punto

0 0

angoloso.

concava Teorema: sia f [a,b]→ℝ derivabile su (a,b), allora:

f è convessa su [a,b] se e solo se f’ è crescente in (a,b)(oppure è concava se f’ è

- decrescente)

se f è derivabile due volte su (a,b) allora è convessa se e solo se f’’≥0 per x∈(a,b)

- (oppure è concava se e solo se f’’≤0 per x∈(a,b) ).

Se f è convessa in un intorno destro di x e convava in un intorno sinistro, allora x è un

- 0 0

PUNTO DI FLESSO (anche viceversa). Se x è un punto di flesso allora f’’(x )=0

0 0

Formula di Taylor con resto di Peano: Sia f:I→ℝ, x punto interno e f derivabile n volte in x ,

▪ 0 0

sia T il polinomio di Taylor centrato in x di grado n, allora:

n,x0 0 ()

( )

=0

0

∑

() = () + (( − ) ) → () = ( − )

, 0 0 , 0

0 0 !

Formula di Taylor con resto di Lagrange: sia f:I→ℝ, derivabile n+1 volte in I. Allora ∀x, x ∈I,

▪ 0

(+1)

()

∃ c compreso tra x e x tale che: +1

() = () + ( − )

0 , 0

0 (+1)!

4) SERIE NUMERICHE ∞

▪ ∑

Teorema condizione necessaria alla convergenza: se è convergente allora la

=0

successione {a } è infinitesima e quindi lim = 0 . (non vale il viceversa)

n

→+∞

o Dimostrazione:

∞

∑ = = lim s =a +a +….+a =s +a

n 0 1 n n-1 1

=0 →+∞ ☐

⟹ a =s -s ⟹ lim = lim − = 0

n n n-1 −1

→+∞ →+∞

▪ Serie geometrica: sia q∈ℝ, chiamiamo serie geometrica di ragione q la serie

∞ 2

∑ = 1 + + +. . . +

=0 ∞

∑

- Se q=0 ⟹ 0 = 1

=0

∞

∑

- Se q=1 ⟹ 1 = +∞

=0 +1

1−

∞ 2

- Se q≠0 ⟹∑ = lim in cui = 1 + + + ⋯ + =

=0 1−

→+∞

o Dimostrazione: (per induzione) 2

1− (1−)(1+)

- Passo base: n=1 ⟹ = 1 + = = =1+ Si è vero!

1− (1−) +2 +1

1− 1−

2 +1

- Passo induttivo: ⟹p(n)=p(n+1) ⟹ 1 + + + ⋯ + = = ∗ =

1− 1−

+1 +1 +2 +2

1− + − 1− ☐

= quindi vale il passo induttivo.

1− 1− 1

|| < 0

0 || < 1 1−

+1 +∞

+∞ ≥ 1 ∑

lim = { = { + ∞ ≥ 1

=0

→+∞ ∄ ≤ −1 ≤ −1

∞

▪ ∑

Serie a termini positivi: se e tale che a ≥0 allora la serie è regolare.

n

=0

o Dimostrazione: s =a +a +….+a =s +a ⟹s ≥ s dunque la successione è

n 0 1 n n-1 n n n-1

monotona crescente e di conseguenza ha limite e quindi la serie è regolare.

☐

(vale anche se a ≤0).

n ∞ ∞

▪ ∑ ∑

Teorema del confronto: date , se 0≤a ≤b ∀n allora:

n n

=0 =0

∞ ∞

∑ ∑

- Se è convergente allora lo è anche

=0 =0

∞ ∞

∑ ∑

- Se è divergente allora lo è anche

=0 =0

o Dimostrazione: a ≤b a +a ≤b +b s =a +a +…+a ≤s =b +b +…+b

na nb

0 0 0 1 0 1 0 1 n 0 1 n

☐

s ≤s e quindi lim ≤ lim

na nb

⟹

→∞ →∞

∞ ∞

▪

∑ ∑

Teorema del confronto asintotico: date con a ≥0 e b >0 e sia lim =

n n

=0 =0

→+∞

allora valgono: ∞ ∞

∑ ∑

1) Se L∈ℝ\{0} (⟹ a ~Lb ) allora è convergente se e solo se lo è

n n

=0 =0

∞ ∞

∑ ∑

2) Se L=0 (⟹ a =o(b )) allora se converge allora anche converge

n n

=0 =0

∞ ∞

∑ ∑

3) Se L=+∞ (⟹ b =o(a )) allora se diverge allora anche diverge

n n

=0 =0

o Dimostrazione ( della 2) ):

lim = 0 ⟹ ∀ε>0 ∃̅ tale che | − 0| < ∀ ≥ ̅

→+∞ 1

Prendiamo ad esempio ε=1/2 allora ∃n tale che ≤ ∀ ≥ 1

1/2

2 2 ☐

∞ ∞

∑ ∑

Quindi se converge allora per il teorema del confronto converge

=0 =0

▪ Serie test: 1

∞

∑

1) Serie armoniche generalizzate converge se e solo se >1

=0

1

∞

∑

2) converge se >1 oppure se =1 e β>1

=2

(())

▪ Criterio della radice (e del rapporto) delle serie: +1

sia a >0 , se ∃ lim √ = oppure se ∃ lim = allora se:

n

→+∞ →+∞

∞