Teorema di Millman: teoria ed esercizi svolti

Teorema di Millman

Appunti di Elettrotecnica 1

Il presente documento affronta in modo sistematico il teorema di Millman, uno degli stru-

menti fondamentali per l’analisi dei circuiti elettrici lineari, introdotto nel corso di Elettrotecnica

1 nei corsi di laurea triennale in Ingegneria. Il teorema di Millman consente di determinare

in modo diretto la tensione di un nodo comune a più rami contenenti generatori e resistenze,

rappresentando un metodo particolarmente efficace per la semplificazione e la risoluzione di reti

elettriche con struttura parallela.

Il teorema si basa sui principi di linearità del circuito e sulla legge di Kirchhoff delle cor-

renti, e permette di evitare l’applicazione esplicita dei metodi generali di analisi nodale o delle

maglie nei casi in cui la topologia del circuito lo renda applicabile. Attraverso un’unica rela-

zione analitica, è possibile calcolare la tensione del nodo di interesse come media pesata delle

tensioni dei generatori presenti nei vari rami, tenendo conto delle rispettive resistenze. Questo

approccio consente una notevole riduzione della complessità dei calcoli e rende più immediata

l’interpretazione fisica del problema.

Il teorema di Millman risulta particolarmente utile nello studio di circuiti contenenti più

generatori di tensione collegati in parallelo, ed è spesso impiegato come strumento prelimina-

re di semplificazione prima dell’applicazione di altri metodi di analisi. L’obiettivo di questo

documento è fornire una trattazione chiara, rigorosa e operativa del teorema di Millman, il-

lustrandone le ipotesi di validità, la procedura di applicazione e le principali accortezze da

adottare per evitare errori concettuali e di segno. La spiegazione teorica è accompagnata da

esempi numerici ed esercizi svolti, selezionati per consolidare la comprensione del metodo e

supportare efficacemente lo studio individuale e la preparazione agli esami universitari.

Teorema di Millman 1

Il metodo dei potenziali di nodo consente di calcolare la tensione ai capi del parallelo di N

generatori reali di tensione. La formula risultante va sotto il nome di formula di Millmann.

Si consideri il seguente circuito: A

I I I

n

1 2

R R R

N

1 2

E E E

N

1 2 B

Figura 1: Applicazione della formula di Millmann.

Per la LKC al nodo A: N = 0

X I

i

i=1

Con: = (ϕ + )

· −

I G E ϕ

i i B i A

Quindi: N N N N

= (ϕ + ) = (ϕ ) + = 0

X X X X

· − · − ·

I G E ϕ G ϕ G E

i i B i A i B A i i

i=1 i=1 i=1 i=1

Teorema di Millman 2

Poiché i valori di e non dipendon