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LL
limx→cf(x)g(x)=L. limg(x)f(x)=L.
x→c
3. Dimostrazione del Teorema
La dimostrazione del teorema si basa sul teorema di Cauchy (o teorema del valor medio
generalizzato). Ecco i passaggi principali:
1. Ipotesi: Supponiamo che limx→cf(x)=0lim x→c
f(x)=0 g(x)=0
e .
limx→cg(x)=0lim x→c
2. Applicazione del teorema di Cauchy: Per ogni in un intorno di , esiste un
xx cc
punto tra e tale che:
ξξ xx cc
f(x)g(x)=f′(ξ)g′(ξ).g(x)f(x)=g (ξ)f (ξ).
′ ′
3. Passaggio al limite: Quando , anche . Quindi:
x→cx→c ξ→cξ→c
limx→cf(x)g(x)=limξ→cf′(ξ)g′(ξ)=L. limg(x)f(x)= limg (ξ)f (ξ)=L.
x→c ξ→c ′ ′
Questa dimostrazione può essere adattata anche per il caso in cui i limiti
di e tendono a , ma richiede un ragionamento più articolato.
∞∞
f(x)f(x) g(x)g(x)
4. Applicazioni Pratiche
Il teorema di de l'Hôpital è particolarmente utile per risolvere limiti che presentano forme
indeterminate. Ecco alcuni esempi:
1. Esempio 1: Forma 00 00
limx→0sin(x)x. limxsin(x).
x→0
Applicando de l'Hôpital:
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=1. limxsin(x)= lim1cos(x)
x→0 x→0
=1.
2. Esempio 2: Forma ∞∞
∞∞ e
limx→∞exx2. limx .
x→∞ x
2
Applicando de l'Hôpital due volte: e
limx→∞exx2=limx→∞ex2x=limx→∞ex2=+∞. limx = lim
x→∞ x x→∞
2
2xe = lim2e =+∞.
x x→∞ x
3. Esempio 3: Forma 0⋅∞0⋅∞
limx→0+xln(x). limxln(x).
x→0 +
Riscriviamo il limite come:
limx→0+ln(x)1/x. lim1/xln(x).
x→0 +
Applicando de l'Hôpital:
limx→0+1/x−1/x2=limx→0+(−x)=0. lim−1/x 1/x= lim(−x)=0.
x→0 x→0
2
+ +
5. Estensioni e Casi Particolari
Il teorema di de l'Hôpital può essere esteso a:
Limiti all'infinito: Se , il teorema continua a valere.
c=∞c=∞
• Forme indeterminate multiple: Se il limite delle derivate è ancora una forma
• indeterminata, è possibile applicare de l'Hôpital ripetutamente.
Funzioni a più variabili: In contesti più avanzati, esistono generalizzazioni del
• teorema per funzioni di più variabili.
6. Limitazioni e Avvertenze
Il teorema di de l'Hôpital non è sempre applicabile. Ecco alcune situazioni in cui bisogna
prestare attenzione:
1. Derivate nulle: Se in un intorno di , il teorema non può essere
g′(x)=0g (x)=0 cc
′
applicato.
2. Limite delle derivate inesistente: Se non
limx→cf′(x)g′(x)lim
x→cg (x)f (x)
′ ′
esiste, il teorema non fornisce informazioni.
3. Forme indeterminate diverse: Il teorema non si applica direttamente a forme
come , , o , che richiedono trasformazioni preliminari.
∞0∞ 1∞1
000 ∞
0 0
7. Considerazioni Storiche e Curiosità
Guillaume de l'Hôpital non fu il vero scopritore del teorema, ma lo apprese da Johann
Bernoulli, con cui aveva un accordo finanziario per l'uso delle sue scoperte. Nonostante ciò,
il teorema porta il nome di de l'Hôpital per via della sua pubblicazione.
8. Conclusione
Il teorema di de l'Hôpital è uno strumento potente e versatile nel calcolo dei limiti, ma
richiede una comprensione approfondita delle sue ipotesi e limitazioni. Con una corretta
applicazione, permette di risolvere problemi complessi in modo elegante ed efficiente.
Teorema di de l'Hôpital: Trattazione Completa
1. Introduzione
Il teorema di de l'Hôpital è uno strumento fondamentale nel calcolo differenziale, utilizzato
per risolvere forme indeterminate di limiti, in particolare quelle del tipo e .
∞∞
00 ∞∞
00
Prende il nome dal matematico francese Guillaume de l'Hôpital, che lo pubblicò nel suo
libro Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (1696), sebbene il
risultato sia stato scoperto in realtà da Johann Bernoulli.
2. Enunciato Formale
Siano e due funzioni derivabili in un intorno di un punto (escluso
f(x)f(x) g(x)g(x) cc
eventualmente stesso), e supponiamo che:
cc f(x)=0 g(x)=0
1. e , oppure
limx→cf(x)=0lim limx→cg(x)=0lim
x→c x→c
f(x)=±∞ g(x)=±∞
2. e .
limx→cf(x)=±∞lim limx→cg(x)=±∞lim
x→c x→c
Se il limite del rapporto delle derivate esiste, cioè:
limx→cf′(x)g′(x)=L, limg (x)f (x)=L,
x→c ′ ′
dove può essere un numero reale, , o , allora:
+∞+∞ −∞−∞
LL
limx→cf(x)g(x)=L. limg(x)f(x)=L.
x→c
3. Dimostrazione del Teorema
La dimostrazione del teorema si basa sul teorema di Cauchy (o teorema del valor medio
generalizzato). Ecco i passaggi principali:
1. Ipotesi: Supponiamo che limx→cf(x)=0lim x→c
f(x)=0 g(x)=0
e .
limx→cg(x)=0lim x→c
2. Applicazione del teorema di Cauchy: Per ogni in un intorno di , esiste un
xx cc
punto tra e tale che:
ξξ xx cc
f(x)g(x)=f′(ξ)g′(ξ).g(x)f(x)=g (ξ)f (ξ).
′ ′
3. Passaggio al limite: Quando , anche . Quindi:
x→cx→c ξ→cξ→c
limx→cf(x)g(x)=limξ→cf′(ξ)g′(ξ)=L. limg(x)f(x)= limg (ξ)f (ξ)=L.
x→c ξ→c ′ ′
Questa dimostrazione può essere adattata anche per il caso in cui i limiti
di e tendono a , ma richiede un ragionamento più articolato.
∞∞
f(x)f(x) g(x)g(x)
4. Applicazioni Pratiche
Il teorema di de l'Hôpital è particolarmente utile per risolvere limiti che presentano forme
indeterminate. Ecco alcuni esempi:
1. Esempio 1: Forma 00 00
limx→0sin(x)x. limxsin(x).
x→0
Applicando de l'Hôpital:
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=1. limxsin(x)= lim1cos(x)
x→0 x→0
=1.
2. Esempio 2: Forma ∞∞
∞∞ e
limx→∞exx2. limx .
x→∞ x
2
Applicando de l'Hôpital due volte: e
limx→∞exx2=limx→∞ex2x=limx→∞ex2=+∞. limx = lim
x→∞ x x→∞
2
2xe = lim2e =+∞.
x x→∞ x
3. Esempio 3: Forma 0⋅∞0⋅∞
limx→0+xln(x). limxln(x).
x→0 +
Riscriviamo il limite come:
limx→0+ln(x)1/x. lim1/xln(x).
x→0 +
Applicando de l'Hôpital:
limx→0+1/x−1/x2=limx→0+(−x)=0. lim−1/x 1/x= lim(−x)=0.
x→0 x→0
2
+ +
5. Estensioni e Casi Particolari
Il teorema di de l'Hôpital può essere esteso a:
Limiti all'infinito: Se , il teorema continua a valere.
c=∞c=∞
• Forme indeterminate multiple: Se il limite delle derivate è ancora una forma
• indeterminata, è possibile applicare de l'Hôpital ripetutamente.
Funzioni a più variabili: In contesti più avanzati, esistono generalizzazioni del
• teorema per funzioni di più variabili.
6. Limitazioni e Avvertenze
Il teorema di de l'Hôpital non è sempre applicabile. Ecco alcune situazioni in cui bisogna
prestare attenzione:
1. Derivate nulle: Se in un intorno di , il teorema non può essere
g′(x)=0g (x)=0 cc
′
applicato.
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