Tecnologie industriali, parte 3 - Criteri di resistenza dei materiali

4-CRITERI DI RESISTENZA (I calcoli sono di approfondimento)

Fino ad ora abbiamo cara erizzato il materiale da un punto di vista elasto-plas co con la

prova a trazione, grazie alla quale abbiamo compreso il comportamento in campo elas co e

plas co, calcolando la tensione di ro ura, la tensione di snervamento, ecc… tu e

informazioni u li per andare a pianificare una lavorazione, ma non sufficien .

Devono entrare in gioco i Criteri di Resistenza. Questo perché con la prova a trazione

solleci amo il provino con una forza di po monoassiale; se deformiamo un certo blocco

metallico per o enere un telefonino (ad esempio), la sollecitazione che si imprime sul blocco

metallico è molto difficile che sia monoassiale.

In generale quando si va a sollecitare un blocco di un materiale per o enere un certo pezzo

che serve, si applicherà uno stato di sollecitazione triassiale. Per questo mo vo le

informazioni della prova a trazione non sono sufficien ed entrano in gioco i criteri di

resistenza.

4.1-LO SCOPO DEI CRITERI DI RESISTENZA

La Verifica di Resistenza ha lo scopo di stabilire se lo stato tensionale dell’elemento

stru urale analizzato è tale da provocarne il cedimento, inteso come ro ura o

snervamento.

Il problema fondamentale è quello di me ere in relazione i parametri cri ci del materiale:

la tensione di snervamento o quella di ro ura, o enu con le semplici prove monoassiali di

trazione (forza che ra lungo l’asse con la resistenza dell’elemento sogge o ad uno stato

),

di tensione in genere biassiale o triassiale.

Quindi, per definire in maniera compiuta e completa lo stato tensionale è necessario

definire le sue componen cartesiane. Consideriamo un corpo e un suo punto nel quale

isoliamo un elemen no tagliando con tre piani (come visto in precedenza), sul quale

agiscono le tensioni (che essendo forze per unità di superficie le possiamo disegnare come

delle forze)

Per definire lo Stato Tensionale è necessario definire nove grandezze:

 Tre Componen Normali

 Sei Componen Tangenziali

Il Tensore degli Sforzi sarà il seguente:

( )

[] = =

( )

( )

In realtà, essendo le Tau uguali a due a due , vedi pag 84 Meccanica dei Materiali),

( =

saranno necessarie solamente sei componen a descrivere lo Stato Tensionale:

E’ sempre possibile individuare una terna di assi (si ruota il sistema di riferimento) rispe o

alla quale le tensioni tangenziali sono tu e nulle e le tensioni normali assumono i valori

estremi. Le direzioni di ques tre assi si chiamano Direzioni Principali di Tensione e le

tensioni agen normalmente ad essi sono de e Tensioni Principali, che sono indica con i

simboli per indicare rispe vamente la massima, l’intermedia e la minima.

, ,

Per fare in modo di capire se la sollecitazione che si sta imprimendo sul materiale è

sostenibile o meno, bisogna andare a prendere ques sei valori ed estrapolarne uno

equivalente (valore di tensione equivalente) da confrontare con il valore di resistenza

o enuto dalla Prova a Trazione: a questo servono i Criteri di Resistenza.

Una volta definita la la si può confrontare con la tensione di snervamento oppure con

la tensione di ro ura per capire se in fase di lavorazione il materiale ha subito

deformazione elas ca, se è entrato in deformazione plas ca o se lo si sta deformando a tal

punto da avvicinarsi a ro ura.

4.2-CERCHI DI MOHR

Quindi la domanda che ci poniamo è “Quando si rompe un materiale?”

In parte sappiamo rispondere a questa domanda.

La ro ura di un materiale du le la intendiamo come deformazione permanente

(deformazione plas ca).

Un materiale du le si rompe (intendiamo quando si “piega” permanentemente) ad un

valore di tensione (cioè la resistenza allo snervamento) perché dopo questo valore la

deformazione prodo a non è più reversibile.

La ro ura di un materiale fragile avviene senza assorbire/esibire deformazioni

permanen e quindi si rompe in campo elas co. Inoltre, come abbiamo già visto, i materiali

fragili hanno un comportamento diverso per quanto riguarda trazione e compressione:

hanno una e si rompono quando raggiungono il limite di trazione (se la

<

tensione è di trazione) o quando raggiungono il limite di compressione (se la tensione è di

compressione).

Il problema di queste cara eris che di resistenza è che sono o enute da prove uniassiali, o

meglio monoassiali mentre in realtà uno stato di tensione si cara erizza da sei componen

di tensione ( , , , , , ).

Bisogna iden ficare dei criteri che perme ono di confrontare uno stato tensionale

generico con una cara eris ca di resistenza (o di ro ura) o enuta da uno stato tensionale

monoassiale (con una sola tensione).

Ques criteri sono una funzione che considera tu e le componen di tensione di uno

stato tensionale generico, in modo da rare fuori un parametro che può essere

confrontato dire amente con (nel caso di un materiale du le) o con e (nel

caso di un materiale fragile).

, , , , , =

Prima di procedere all’individuazione di ques criteri è necessario imparare a guardare allo

stato tensionale da un altro punto di vista, e cioè con altri sistemi di riferimento.

Quindi, con “Trasformazione delle tensioni” intendiamo come cambiano le componen di

tensione con un altro sistema di riferimento, differente da quello che abbiamo

normalmente individuato:

Considerato il sistema di riferimento dobbiamo individuare la relazione che persiste

′′′

tra le componen dello stato tensionale nel sistema e quelle in

′′′

Lo stato tensionale in sé rimane quello ma le componen cambiano. È come se

immaginassimo di avere una certa forza in un sistema di riferimento e poi in un

sistema di riferimento la forza rimane sempre quella ma le componen cambiano.

′′:

Per iniziare a capire come avviene questo cambiamento, inizialmente (per semplificare le

cose) andiamo a considerare uno stato piano di tensione, cioè uno stato tensionale in cui si

può iden ficare un piano rispe o al quale tu e le tensioni ortogonali a tale piano valgono

tu e le componen fuori dal piano sono nulle. Quindi le componen di tensione

0,

agiscono in un piano.

Ad esempio, se questo piano è il piano :

= = =0

Si tra a di una restrizione molto forte anche se in realtà non definisce vincoli troppo severi,

nel senso che nella stragrande maggioranza dei casi di interesse ingegneris co lo stato

tensionale può essere considerato come uno stato di tensione piano.

Per fare un esempio, tu e le superfici esterne di una trave, che sappiamo essere libere da

tensioni se non ci sono tensioni dire amente agen , sono luoghi in cui si può vedere uno

stato tensionale piano.

Lungo non ci sono componen di tensione, escludiamo la vista tridimensionale:

Se ruo amo il sistema di riferimento di un angolo :

Quindi ci si chiede quale sia il legame tra le componen di tensione:

La condizione da imporre è che lo stato tensionale è sempre lo stesso in termini di

equilibrio: questo vuol dire che se si considera un elemen no qualsiasi, le forze

sull’elemen no indo e dalle componen devono essere uguali alle forze sull’elemen no

indo e dalle componen ′′.

Quindi i due sta tensionali devono generare sullo stesso elemen no esa amente lo

stesso sistema di forze.

Per trovare il legame di cui s amo discutendo, consideriamo anche il sistema ruotato di

′′

rispe o il sistema si traccia un segmento che parte dal ver ce sinistro del quadrato e

:

che sarà ortogonale all’asse e quindi si forma un triangolino (l’ipotenusa sarà la giacitura

′

che ha come normale l’asse e parallela all’asse

′ ′).

Su questa giacitura agirà e , si può visualizzare che è come se avessimo ruotato

l’elemen no:

Questo triangolino in giallo deve essere equilibrato e cioè bisogna imporre l’equilibrio per

cui: =0

=0

Imponendo una cosa del genere si devono eseguire numerosi calcoli che hanno un elevato

margine di errore, quindi, conviene proporre dire amente ciò che ne risulta e quindi:

+ −

= + cos(2) + ∙ sin (2)

2 2

−

=− sin(2) + ∙ cos(2)

2

Essendo la definita in funzione di basta aggiungere a e quindi la direzione

, ′

diventa e cioè:

′ + −

= + = − cos(2) − ∙ sin (2)

2 2 2

Le due equazioni sopra descri e rappresentano le equazioni parametriche di un cerchio nel

piano nel quale per convenzione l’asse lo si riporta posi vo verso il basso:

,

Il cerchio avrà un centro nel punto: +

= , = 0

2

Il cerchio avrà raggio: −

= +

2

Questo cerchio prende il nome di Cerchio di Mohr, lo studioso che ha proposto questa

rappresentazione grafica della trasformazione delle tensioni.

Vediamo si costruisce questo cerchio:

 Si individua un punto sul piano di coordinate

= ( , )

Questo punto iden fica lo stato tensionale sulla faccia dell’elemen no che ha come

normale l’asse

 Si individua un punto sul piano di coordinate

= ( , − )

Questo punto iden fica lo stato tensionale sulla faccia dell’elemen no che ha come

normale l’asse

 Il segmento sarà il diametro del cerchio

A par re dalla costruzione del cerchio poi si intuisce che:

 Il centro sarà proprio nel punto =

 L’angolo c