Tecniche di ricerca e analisi dei dati

2. VARIANZA TRA I GRUPPI

Al numeratore→ La devianza tra i gruppi

(�����), che è uguale alla sommatoria degli

scarti tra la media di ciascun campione

coinvolto nell’esperimento e la media totale

elevati al quadrato, il tutto moltiplicato per Come già anticipato, la decisione statistica

la numerosità del campione (se uguale per circa l’accettazione o meno dell’ipotesi nulla

tutti i gruppi) si basa sul confronto fra il valore della

����� = �ˑ∑(�� −����) statistica calcolata ( � ) e il valore

�� = ����� �� ������� �������� �������� critico ( � ), identificato sulla distribuzione

����′����������� teorica di probabilità F di Fisher.

�� = ����� �������� �� ����� � ���� �������� Nel nostro esempio, con α = 0.05 e con

����′����������� ����� = 2 e ������� = 27, il valore critico di

Al denominatore→ Il numero di gradi di F è uguale a 3.35. Poiché il valore del test

libertà tra i gruppi (�����), che corrisponde calcolato (� = 11.31) è maggiore del valore

al numero di gruppi presenti critico ( �

critico = 3.35), si può

nell’esperimento (k) meno 1: ����� =�−1. respingerel’ipotesi nulla (secondo cui i tre

gruppi provengono da popolazioni con la

stessa media) e concludere, con un certo

grado di certezza, che la variabile

3. VARIANZA ENTRO I GRUPPI indipendente (“caffeina”) influisce

Al numeratore → La devianza entro i gruppi significativamente sul voto finale d’esame.

(�������), che si ottiene calcolando

separatamente la somma degli scarti al LA VERIFICA DELLE IPOTESI

quadrato di ciascun gruppo, per poi NELL’ANALISI DELLA VARIANZA

sommarli: FATTORIALE

������� = ��1 +��2 +��3 +⋯+���

L’analisi della varianza fattoriale offre il Gruppo 5: Femmine – Basso dosaggio

vantaggio di poter studiare la relazione tra Gruppo 6: Femmine – Alto dosaggio

variabili indipendenti qualitative

due o più due o più livelli

(nominali o ordinali) con che Possiamo notare dalla tabella che il Fattore

definiscono i diversi campioni e una 1 (caffeina) classifica i dati per colonna,

variabile dipendente quantitativa (discreta mentre il Fattore 2 (sesso) classifica i dati

o continua) che viene misurata. per riga.

Per illustrarne praticamente la logica, Ai margini della tabella sono riportati i valori

immaginiamo ora che il nostro ricercatore medi per colonna (quindi relativi al Fattore 1

sia interessato a valutare l’effetto del caffeina: media placebo X̄ Pl, media basso

(Fattore 1 livelli:

dosaggio di caffeina con tre dosaggio X̄ Bd e media alto dosaggio X̄ Ad)

“assente”, “basso”, “alto”) e del sesso e per riga (quindi relativi al Fattore 2 sesso:

(Fattore 2 due livelli:

con “maschi”, media maschi X̄ M e media femmine X̄ F).

“femmine”) sul punteggio all’esame finale

di una certa materia. Nell’analisi della varianza fattoriale, il

Nel nostro caso, ad esempio, il ricercatore metodo della scomposizione della varianza

potrebbe valutare se: viene eseguito sulla base di questo modello:

(a) i diversi dosaggi di caffeina hanno un

effetto diverso sul punteggio all’esame

finale; (b) maschi e femmine differiscono tra

loro nei punteggi riportati all’esame test;

(c) i diversi dosaggi di caffeina hanno un

effetto differente sui punteggi riportati al

test finale nei maschi e nelle femmine.

Nel nostro esempio specifico, possiamo

varianza a

anche parlare di analisi della

due vie, perché consideriamo due fattori

disegno 3x2

(caffeina e sesso), oppure di

perché il primo fattore ha tre livelli e il

secondo ne ha due. varianza

Anche in questo caso, infatti, la

totale varianza tra i

viene scomposta in

gruppi varianza entro i gruppi

e .

varianza tra i

Nel disegno fattoriale, però, la

gruppi viene ulteriormente scomposta in tre

diverse fonti di variabilità: la variabilità

dovuta al primo Fattore 1 (nel nostro

esempio la “caffeina”), la variabilità dovuta

al Fattore 2 (nel nostro esempio il “sesso”) e

la variabilità dovuta all’azione congiunta dei Sulla base di questo modello, si può,

due fattori (nel nostro esempio l’interazione dunque, procedere alla scomposizione delle

“caffeina” x “sesso”) consentendo di varianze e al calcolo delle singole fonti di

verificare tre ipotesi: una riguardante il variabilità.

primo fattore, una riguardante il secondo

fattore e una riguardante l’azione congiunta 1. Varianza totale.

del Fattore 1 e del Fattore 2. Gli effetti del 2

Fattore 1 e del Fattore 2 sono chiamati varianza totale

Per calcolare la (� ), è

effetti principali, mentre l’effetto la

necessario calcolare ���

congiunto fra i due fattori è chiamata devianza totale ( )

����� al numeratore e i

interazione. gradi di libertà totali ( )

����� al

Come possiamo osservare nella tabella denominatore, seguendo la stessa

riportata di seguito, nei disegni fattoriali procedura illustrata nel paragrafo

ogni gruppo di partecipanti rappresenta una precedente.

combinazione specifica di livelli delle

variabili indipendenti. 2. Varianza entro i gruppi.

Nel nostro esempio (disegno 3x2) abbiamo, 2

quindi, sei gruppi indipendenti: varianza entro i gruppi

Per calcolare la (�

Gruppo 1: Maschi – Placebo ), è �����

Gruppo 2: Maschi – Basso dosaggio la devianza entro i

necessario calcolare

Gruppo 3: Maschi – Alto dosaggio gruppi ( ) gradi di

������� al numeratore e i

Gruppo 4: Femmine – Placebo

libertà entro i gruppi ( )

������� al Al denominatore→ Il numero di gradi di

libertà tra le righe (�����h�), che

denominatore, seguendo la stessa corrisponde

procedura illustrata nel paragrafo al numero di righe (r) meno 1:

precedente.

2. Varianza tra i gruppi.

Come abbiamo detto, nei disegni fattoriali Unendo le due parti, la formula completa

varianza tra i gruppi

la deve essere della varianza tra i gruppi (�2righe) diventa:

varianza tra le

ulteriormente scomposta in

colonne varianza tra le righe

(Fattore 1),

varianza dell’interazione

(Fattore 2) e

(Fattore 1 x Fattore 2). 2 Per la varianza dell’interazione (�2),

Per la varianza tra le colonne (� dobbiamo calcolare:

�������), dobbiamo calcolare: Al numeratore→ La devianza

La devianza tra le colonne

Al numeratore→ dell’interazione (���������), che è uguale

( ),

��������� che è uguale alla sommatoria alla devianza tra i gruppi (calcolata secondo

degli scarti tra la media di ciascuna colonna la procedura illustrata nel paragrafo

e la media totale elevati al quadrato, il tutto precedente) meno la devianza tra le

moltiplicato per il numero di righe: colonne e la devianza tra le righe:

∑( )

�� = � ˑ � − �

������� � ���

�� = ����� �� �������� ������� ��������

����′����������� Al denominatore → Il numero di gradi di

�� = ����� �������� �� ����� � ���� �������� libertà dell’interazione (���������), che

����′����������� corrisponde ai gradi di libertà tra le colonne

� = ������ �� ���h� �������� ���� (���������) moltiplicato per i gradi di

′����������� libertà tra le righe (�����h�):

gradi di

Al denominatore →Il numero di

libertà tra le colonne ( ),

��������� che Unendo le due parti, la formula completa

c)

corrisponde al numero di colonne ( meno della varianza tra i gruppi (�2 �������)

1: diventa:

�� = � − 1

�������

Unendo le due parti, la formula completa

della varianza tra le colonne (�2 ������� )

diventa: Una volta calcolate le varianze scomposte

per ognuna delle fonti di variabilità, la

valutazione statistica delle ipotesi viene

Per la varianza tra le righe dobbiamo condotta separatamente per ciascun fattore

calcolare: e per l’interazione. Il ricercatore, dunque,

Al numeratore→ La devianza tra le righe procede alla formulazione, a livello di

(�����h�), che è uguale alla sommatoria popolazioni, delle ipotesi nulle

degli separatamente per ciascun fattore:

scarti tra la media di ciascuna riga e la

media totale elevati al quadrato, il tutto

:

moltiplicato per il numero di colonne La significatività di �2, così come per tutte

le altre misure di dimensione dell’effetto, è

automaticamente data dalla significatività

della statistica test (in questo caso il test F);

non è quindi necessario condurre un test di

significatività specifico per Eta quadrato.

Anche qui, la decisione statistica circa La principale debolezza di Eta quadrato è

l’accettazione o meno di ciascuna ipotesi che tende ad aumentare di valore per ogni

nulla si basa sul confronto fra ciascun valore variabile aggiuntiva nel modello. Questo

della statistica calcolata e il corrispondente perché aggiungendo ulteriori variabili

valore critico identificato sulla distribuzione indipendenti aumenta la proporzione di

teorica di probabilità F di Fisher in varianza della variabile dipendente

funzione del livello di significatività spiegata. Per sapere il contributo

prescelto (ad es. α = 0.05) e dei rispettivi differenziale di ciascuna variabile

gradi di libertà. indipendente e dell'interazione alla varianza

spiegata nella variabile dipendente si può

Per ognuna delle verifiche, se il valore del usare Eta quadrato parziale (�2). Questo

test calcolato (�����) è maggiore del valore indice rappresenta la �

critico corrispondente (�), si può rifiutare varianza spiegata da ciascun effetto, dopo

l’ipotesi nulla concludendo che l’effetto (del aver “parzializzato” (cioè controllato) la

fattore o dell’interazione) è significativo. varianza spiegata dagli altri effetti. Esprime,

quindi, il contributo unico di ogni fattore

4. DIMENSIONE D