Successioni, sottosuccessioni e serie

SOTTOSUCCESSIONI

Definizione = data una successione Si dice sottosuccessione di a (o successione estratta) ogni successione della forma

ed è stret crescente

a sua volta è una successione a valori in N, cioè

Esempio =

Proposizione = sia una successione. Allora vale:

Applicazioni = per dimostrare che la successione non ammette limite

Teorema di Bolzano-Weierstrass = sia una successione limitata. Allora una sua sottosuccessione convergente

Teorema-ponte = sia f: X R una funzione. Sia x R* un pt di acc di X. Allora:

Il teorema assicura:

graficamente =

Applicazioni = useremo questo teorema per mostrare la

SERIE NUMERICHE e la denotiamo s

chiamiamo somma parziale (o ridotta) la somma

Definizione = dati

(Gli a sono infiniti addendi e s è la somma di più n addendi)

La successione è detta serie numerica di termini generali

Osservazione =

Definizione = - diremo che la serie di termini generali a è convergente quando la successione è convergente ad un numero

In questo caso e diremo che s è la somma delle serie e scriveremo:

di R (cioè = o più brevemente cioè quando

è divergente e quando

- diremo che la serie di termini generali

e in questo caso scriveremo

- diremo che la serie è irregolare quando

- diremo che la serie è regolare quando essa è convergente o divergente

(Serie geometrica)

Esempio = studia il comportamento di

Somma parziale della serie dell’enunciato. Studiamo separatamente r=1 e r

La serie diverge

In conclusione, mettendo insieme tutti i casi:

Serie telescopica esempio = (Serie di Mengoli) Quindi la serie è convergente e ha somma=1

Teorema sull’algebra delle serie = una serie: a) se è convergente con una somma s , allora la serie

dove c è una costante = 0 è anch’essa convergente e ha somma

b) se è divergente a + allora la serie è

divergente a

2) se sono due serie convergenti rispettivamente con somma s allora la

serie è anch’essa convergente ed ha somma

Dimostrazione = basta usare la definizione di serie convergente/divergente ed il teorema sull’algebra delle successioni

Definizione = la serie è detta “coda” della serie

Osservazione = il carattere di serie (convergenza/divergenza/irregolarità) coincide con quello della serie coda

Teorema: condizione necessaria per la convergenza di una serie = sia una serie convergente

è convergente. Per def di serie convergente, la successione ha limite

Dimostrazione = sappiamo: Ricordo: Allora:

finito: e quindi

(Teorema sull’algebra dei limiti delle successioni) =

Osservazione = che è una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza:

SERIE A TERMINI POSITIVI E CONVERGENZA ASSOLUTA

diremo che la serie è a termini positivi quando vale:

Definizione = data la serie

Teorema = se è una serie a termini def positivi (o def negativi), allora può essere solo convergente o divergente

(L’altro caso è analogo). Introduciamo la successione delle somme

Dimostrazione = vediamo solo il caso in cui

parziali cioè la successione è def crescente

allora abbiamo che def

Poichè vale:

Per il teo sul limite delle successioni monotone otteniamo che la successione o converge o diverge.

Conseguentemente la serie o converge o diverge

due serie a termini def positivi e t.c.

Teorema del confronto per le serie = siano è convergente è convergente

è divergente è divergente

Analogalmente per quelli a termini negativi

Notazioni: “CV” = convergente / “DIV” = divergente

una serie. Diremo che è assolutamente convergente quando la serie è CV

Definizione = sia

Notazione = per inficare la convergenza diremo convergenza semplice

Teorema “convergenza assoluta implica convergenza semplice” = sia una serie. Sia assolutamente convergente, cioè

è anche convergente semplicemente

Allora

Allora abbiamo:

Dimostrazione = sia una serie con

Allora per il teo del confronto, per e per la CV di è CV

abbiamo che

e per il teo sull’algebra delle serie, anche la serie è CV

Infine per

N.B. = questo teorema ci permetterà di applicare tutti i criteri che vedremo per le serie a termini positivi anche alle serie a termini

di segno variabile perchè applicheremo i vari criteri alla serie assoluta

CV semplice (NON il viceversa)

Attenzione = CV assoluta

Criterio del confronto asintotico = siano due serie atermini positivi con Allora

le due serie hanno lo stesso comportamento

Rmk:

Esempio =Studia successione decrescente. Allora

una serie a termini positivi con

Criterio di condensazione = sia hanno lo stesso comportamento

Applicazioni = Serie armonica geerlizzata: (la serie armonica è

condizione necesaria non soddisfatta

Abbiamo Serie DIV

condizione necesaria non verificata

Abbiamo Serie può CV

la condizione necessaria è vrificata

Osservo

La successione è decrescente. Applico il criterio di condensazione e otengo che

hanno lo stesso comportamento

Studio È la serie geometrica di passo

e sappiamo che

In conclusione

Quindi:

Studiamo il comportamento di è CV, per il teo del

Allora abbiamo

confronto otteniamo che la serie iniziale è CV

Per il criterio del confronto asintotico con otteniamo

Allora

è CV (per l’app precedente)

In conclusione:

Analogo al precedente:

Studiamo alk variare di

Sottocaso : abbiamo

Quiundi per confronto anche la serie iniziale DIV

: abbiamo è decrescente. Per il criterio di condensazione

Sottocaso cioè di

Ha lo stesso comportamento di

In conclusione:

Criterio del rapporto = sia una serie a termini positivi. Allora:

Dimostrazione = sappiamo che

In particolare

La successione Non può verificare . La condizione necessaria per la CV non è verificata