Successioni in Analisi matematica 1

"NON

lim (-1) =1)

ES (Sempre

ESISTE

- n g

+

- - + (-1)"

Supponiamo assurdo lim

esista a

per che = n + 0

- quindi

lan-al

consideriamo

se -1

An

dispari

n

azo con =

· ,

1

al

al 1

a

1 1

Allora (an =

+

-

-

- =

= dispari

E 1

FE

Deve lan-al

, e per

valere risulta

se

ma n

mai

non

considerano

se termini

si indice

I a so i pari)

con (diverge

prò quere

Una successione

Def (

an a

limite +o

to

: lim an + 8

=

n 0

-+ McO >

En

Se V M

an

esiste

sia

qualunque >

:

, v

>

an M

M>0 Fr En

An

+ >

< >

:

>

- = v

FM

an--00 AncM

JU En

0

> >

> : CONVERGENTI

finito

successioni che limite

Le dicono

ammettono

SS si

: infinito

successioni dicono

che limite

Le DIVERGENTI

ammettono si

· divergenti REGOLARI

dicono

si

Le Convergenti o

succ

. . (1In

Una dice INFINITESIMA

Che Si

o

succ

. . divergente

una dice INFINITA

succ si anche

· . LIMITATE

SUCCESSIONI M

=M Me

-MER

limitata lan

dice 1 an =

An 1

Si se -

: 1

infatti

An Ian

limitata,

1

O

Es e

. = l'In 1 1

compresa

Infatti 0

tra

in e

=

0 1

=

= n /)

allora risulta

Ma ancora 1

=

-17 " FEI

e poiché

limitata

an

2 1

lan) =

= ( e

an limitata

3 = =

I

lan) =

In (-114

particolare è

OSS An limitata limite.

succ ammette

non

che

una

: = . limitata

è

Viceversa finito .

limite

che ammette

succ

ogni .

↳ e

Teorema ogni convergente limitata

succ

: .

Dim An ipotesi

convergente per

. lim an

An a

: =

n - +0

Feso 5 j

Ian Anc

uso se

al

: - lan al

Posso 1

>

E

Prendere 1- -

= Sommo e Triang

disug .

~ -

sottraggoa .

a) y

1(an

Valuto -a)

1an)

lan) al 19)

(an 1

+ 19)fn

+

= >

< +

>

- -

= ↳ perché E 1

=

E 1913

1911 1921 lar1

,

1931

M

Posso 1

prendere max +

...

, ,

= ,

↳ in finito

no

sono

M

19n1 < #

OPERAZIONI CON LIMITI

I bEIR

b

bn

lim

Supponiamo lim a

An a =

= .

n +

n - 8

- + d

Allora : (AnIbn) D

a =

lim =

n - + 0 bn

an b

lim a

. .

=

n - 0

+

lim An o

Isebn

Dn-100 Anton

an 100

a

>

-

· >

-

=

bn-to bn

an-al An

0) +

+ -

=

· -

Anto stesso

entrambe

an-do lo segno

con

· bn

an 1

+ >

- 0

bn I d

An >

-

.

bn-to

an =

a

· I

=

-abne0

an

· I Op

>

-

INDETERMINATE

FORME /@ (8)

20-03 20 02 00

170 6000

.

, . , ,

,

Olim

es . ②im

m2 nz)

5(

lim 2

(1 1

+

( n

- -

=

0n2 (1 2

n 1)

+ ,

+ n -

sto [

lim

3

limn [)

n2 3n

⑭ 3

lim + =

n +0 n3

- 1

+

n2 - ot

3n 5

lim + =

n 0n3

+

- 1

+

nu

lim

5 3

2n + 0

+

- =

2n2-3r

n - + 0 "non

·

OSS (-1) limite

6 ammette

.

lim [00-00]

⑦ (2-m )

lim + =

n 0

+

- (atz-t) A

lim (A

lim 2 1)

+ - - 0

=

= M

m 1) m

ne +

n 0

+

- +

2

+

2

n +

+

+

TEOREMI CONFRONTO

DI

O del

Teorema permanenza

della segno

Se lim JU An Fra

An >o

a 30 :

= ,

n 0

>

- lim

n-12

es an =

. M lim

I

lim>o negativi

ma primi termini

i sono

, V Vitermini

prendo

Quindi En positivi

(an di

12 12)

0 n an

per sono

e >

=

= =

JU e

>

a Eso

lim HP

an lan-alce an

An convergente

per

Dim >

-

:

=

: n - 0

+ E

quindi a

(Mp) prendere

posso

aco e

=

Ian-alq e

In

#

-can-a Un

↳ Ansa-q0 Un

Se

Corollario Anco

lim (vale

ana anco)

anche allora

se

e ao

: ,

10

es 0

.

dei

② carabinieri

Teorema

Si considerano bn Cn

An

successioni con

re :

.

,

Cnbn

an !

Se lim lim bn lim Cn

an a

risulta allora -la

=

= =

ne 0n

+ - + 0 V

,

Fezo En

Ian-alce

Fri >

Dim :

: 702 Vz

Un

Ian-alcE

: >

[V v23

U3 iporesi

per

e

Definisco max 1,

= bn

Cn E

Ecan =

a = A +

<

- Us

En

In-alE

= >

(n #

-

=>

Valgono limiti infiniti

OSS i

per

: bn

FneN-an-

An Ebn + +o

o 3

=

Ybn1 an

0 o

= -

- -

(1-cent

n lim

lim Senins

Es 1

- -

. n n3

+ 02(1

0

- 3

+ nz)

2 3 ,

-

n - ↳

↓ 0

lim (n)

Sen ESISTE

Non

oss . n +0

- (n)

Sen

n2

11 Sen (n) /

- -

divido per un O

O O

il

per dei

teorema

carabinieri

③ del prodotto

del limite successione infinitesima

di

Teorema limitata per

una una

Se bn

bn e'

e' An

INFINITESIMA allora

An LIMITATA (bn

e 30) 0

. =

bul

Ian

Consideriamo

Dim .

: Ibnl

bnl 19nl MIbn)

Ian

>

- lanl

(per M)

Hp

=

.

· =

assoluti

dei

Per IXIrs-

la Valori

propr rex r

=

.

MIbni bn MIbn

= an =

- . bn

carabinieri An

dei

il th 30

per

> .

- .

n

O

es sen in

=

. n2 Isen 11-0

Tho

il

Usare (n)1

Posso =

: n2

(limitata

* (1) (n

② lim (1 )

Lim

)

(n 0

+ + =

= /

L

n3 02n2 2n2

ne

+ + 3

3 +

+ limitata infinitesima

↳

1-1741/ 1 0)

-

NOTEVOLI

LIMITI S -

a

an a

lim 1

=

· 194

0 -

5 95 1

-

S b 0

+ 0 >

no

lim

· an

im

lim a se

· n 0

+

+ n"D

= lim

lim AbeR

1

· =

n

n +0

+0 -

+ relativi

Limiti funzioni trigo no metriche

alle

an Sen(an)

-o o

-

· Coscan) -0

an -o

· Se 1 Sen()

an

es to

=

=

. cos(t) 0

- Senian)

an -1

an to allora

-0

· , an

1-cosca - 1

En

an

An 0

20 , 2 COS(an) COS2(An)

(1

1- COSlan) 1

1-cOSlan)

Infatti + -

=

= ·

? an(1

COS(an)

? an (1

an + COS(an)

+

Senz a

1

(an)

= 1 +

an 1 ↳ I

↳ I sen

lim Sen e

Es n im

. . .

n - g

+ senim =

lim

· net ↳ 1

1-sm senz

.

lim

· ne 0

+ 112

to

n2(1-coS(2n) 22

lim Cos(2in)

1

lim -

· = =

.

ne n

0

+ +

- 0 22

1 n2

, .

+ .

sin

112

↳

"importante"

Successione notevole

1210

(1

an +

= bn Cn

confronto

La con e :

h)

(1 n)))

(1 h)(1 2)

bn -

+ + +

+

=

= (t)

(1 f) an

an (a))

+ - +

= =

= (1 n Is

+

Quindi anche indeterminata

forma

e

An 1

vole tendere a o

che e

a

una

=

definisce

Si NUMERO

e NEPERO

DI

Come :

1)

(1

=

e im +

+

e

SUCCESSIONI MONOTONE

An FneN

Crescente

Strettamente An

an < +

FEN

an Crescente An

An +

an decrescente FneIN

Strettamente anc An +

decrescente

an FneIN

an an

= + AEIR

Ene

Una dice an

successione costante -a

se

si ,

1

es decrescente

e

An strettamente

=

. ana

1

an e crescente

strettamente

= n

an An +1) A

< #

successioni

Teorema sulle monotone Ogni limitata finito

limite

monotona

successione ammette limite

ogni e

succ ammette

monotona

. .

.

Non monotone

le

Oss convergenti

tutte succ sono

: . .

" e

An monotona

(20)

convergente

e ma non

= ,

Dim di

limitata

Sia (Th

an dell'estremo

Crescente esistenza superiore

e

: . & è perché

5 finito,

ed limitata

il an

Sup

C

Poniamo Sup (an)

= C

2 E

- I

I dei magg

min

↳ . C-EcAr

proprietà dell'estremo VEso

Per le 7-r

superiore : :

e

Ma for

an quindi

crescente au an

monotona ,

-Scar Anel

da E

= +

Ian-elE Frag

h

lim an

=> = #

n + 0

-

Sia limitata Fissiamo Dato

Mco

Crescente M

allora e

7V crescente

.

2 an an

che

non

e ar >

: .

Anor ar

an M

anarc

=> lim an 0

+

=> = #

n + 0

-

Assioma di completezza

OSS : ↓

7 estremo superiore

↓

7 limite succ monotone

. n

1)

(1 e

Oss Si dimostra che limitata

an Strett crescente e

+

: = .

1)"

(

h e

+ =

+0

Limiti Notevoli

4)

(1

lim e

+

· -

(1) e (VER

lim

· ane an

m(1 +

· se

EnzE

lim En

(1 20

+ e

· =

n 0

+

- xen)"er

(1

lim En 20

+

· n - + d Ene

sen())[0]

(1 e

.. +

Es +

im en) en]an

[21

sin(n))" Enz

(1

En (

sen(f) +

+ &

+

En 20 =

=

= ↳ e

e lim

lim lim En (n)

sen

n n<