Statistica inferenziale

Statistica inferenziale

Variabili casuali o aleatorie

Rappresenta un possibile valore numerico prodotto dall’esperimento aleatorio. La variabile aleatoria è una grandezza che nel corso di un esperimento può assumere diversi valori imprevedibili a priori in modo deterministico. È perciò generata a caso.

Proprietà

• P (xi) ≥ 0
• Σ P(xi) = 1
• Funzione di ripartizione F(x0), esprime la probabilità che X non superi il valore di x0. Ed è Σ P(xi).

Le variabili aleatorie possono essere:

Variabili discrete

Se può assumere un numero finito di valori. Il valore atteso è dato da Σ xi P(xi), la variabilità è Σ (xi - m)² P(xi), lo s.q.m è la radice quadrata della varianza.

Variabili continue

Variabile che può assumere qualsiasi valore in un intervallo. La probabilità che una variabile aleatoria continua assuma valori in un intervallo qualunque può essere espressa ricorrendo alla sua funzione di ripartizione (P(a<X<b) = F(b) - F(a)). È possibile definire anche un’altra funzione detta funzione di densità di probabilità (l’area sottesa alla funzione di densità vale 1), che ci permette di calcolare la probabilità che X appartenga a un determinato intervallo.

Modelli di variabili casuali discrete

Bernoulli

Alla base di questa distribuzione viene preso in considerazione un esperimento casuale che può presentare due soli risultati: successo e insuccesso. Sia p la probabilità di successo e 1-p la probabilità di insuccesso. La variabile aleatoria x = 1 se successo, x = 0 se insuccesso. Allora la funzione di probabilità di Bernoulli è P(0) = (1-P) e P(1) = P, con media = P e varianza P(1-P).

Binomiale

Alla base della distribuzione binomiale abbiamo la distribuzione di Bernoulli. La distribuzione binomiale considera più prove tra loro indipendenti (campione con reintroduzione). Calcola la probabilità di x successi in n sotto prove.

Ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica viene utilizzata in situazioni definite “senza reintroduzione”, ossia quando gli oggetti, una volta estratti dalla popolazione, non vengono reinseriti in essa, e dunque, le probabilità cambiano ad ogni estrazione. Mette in relazione il numero di modi possibili in cui x successi possono essere scelti per il campione in una popolazione con S successi, con il numero di modi in cui gli insuccessi (n-x) del campione possono essere scelti in una popolazione con N-S insuccessi; fratto il numero complessivo di campioni di dimensione n che possono essere ottenuti da una popolazione di dimensione N.

Poisson

È un modello probabilistico adoperato per rappresentare situazioni di conteggio del numero di occorrenze di certi eventi in un'unità di tempo o più precisamente del numero di "successi" in un certo intervallo continuo. Si assume che un intervallo sia diviso in un numero molto grande di sotto intervalli, in modo che la probabilità del verificarsi di un evento in ogni sotto intervallo sia molto piccola. Le ipotesi di questo tipo di distribuzione sono:

• La probabilità del verificarsi di un evento è costante per tutti gli intervalli;
• Il numero di eventi che si verifica in un sotto intervallo è indipendente dal numero di eventi che si verificano in un altro sotto intervallo;
• L’evento non si può verificare più di una volta in ciascuno dei sotto intervalli;

Il numero medio di eventi per unità è dato da lambda.

Variabili discrete multiple

Siano due variabili aleatorie discrete X e Y, la distribuzione di probabilità congiunta rappresenta la probabilità che una variabile X assuma il valore x e contemporaneamente la variabile Y assuma il valore y. P(x, y) = (X=x Y=y). Le probabilità marginali sono P(x) = Σ P(x, y) e P(y) = Σ P(x, y). La distribuzione di probabilità condizionata rappresenta la probabilità che Y assuma il valore di y dato che la V.C. X ha assunto il valore di x. Le variabili X e Y distribuite congiuntamente sono dette indipendenti se e solo se la loro probabilità congiunta è pari al prodotto delle distribuzioni di probabilità marginali.

Combinazioni lineari v.a. discrete

W = aX + bY; E(W) = amx + bmy; VAR(W) = a² x + b² y + 2ab COV (X, Y).

Per due variabili aleatorie X, Y:

• E(X-Y) = Mx-My;
• Se la cov = 0 VAR (X-Y) = sigma² x + sigma² y;
• Se cov è diversa da 0 VAR (X-Y) = sigma² x + sigma² y – 2COV (X, Y).

Modelli di variabili casuali continue

Uniforme

X uni (a, b) è caratterizzata da una distribuzione di probabilità che assegna la stessa probabilità a tutte le possibili realizzazioni di x.

Normale

X ~ N (media, sigma quadro) costituita da una forma campanulare, è simmetrica, media, moda e mediana coincidono. La v.a. normale approssima molto bene le distribuzioni di probabilità di un numero elevato di variabili aleatorie. In presenza di campioni...