Statistica - Appunti lezioni

Statistica

Concetti introduttivi, statistica descrittiva e statistica inferenziale

Negli ultimi decenni si è assistito a un incremento dell’impiego delle metodologie statistiche in ogni ambito delle scienze sociali, e questo ha causa di moltissime ragioni. Così come accade anche in altri ambiti di ricerca, spesso nel contesto delle scienze sociali gli argomenti vengono affrontati partendo dall’analisi di dati empirici. La crescita di Internet ha reso disponibili innumerevoli informazioni quantitative immediatamente utilizzabili, così come lo sviluppo di potenti software e computer hanno reso accessibili nuove metodologie di analisi che possono essere impiegate per dare risposta ai quesiti formulati nelle ricerche.

Il crescente impiego di dati statistici è evidente se si osserva il cambiamento avvenuto nel contenuto delle pubblicazioni nelle riviste scientifiche in ambito sociale, ma anche dei report pubblicati dalla pubblica amministrazione o da soggetti privati. La statistica, più nello specifico studia i fenomeni economici e sociali, partendo da teorie e verificandole mediante informazioni e dati che vengono analizzati per verificare il fenomeno suddetto. È quindi una materia strumentale alle altre, anche non economiche. I ricercatori raccolgono e poi elaborano le informazioni per capire, ad esempio, i fattori che esercitano grande influenza nelle performance degli studenti, oppure indagare quali fattori influenzano le idee politiche degli individui ecc.

Attualmente, coloro che si occupano di scienze sociali nella pubblica amministrazione, ma anche in ambito economico, o sanitario/assistenziale, fanno largo uso dei metodi statistici. Tuttavia, conoscere le metodologie statistiche è importante anche per chi non li impiegherà mai nel proprio lavoro, perché ogni giorno abbiamo di fronte un imponente flusso di informazioni caratterizzati da contenuti statistici, come le pubblicità, notizie, indagini ecc.

La statistica quindi aiuta a dare un significato a queste informazioni e a interpretare i fenomeni del mondo che ci circonda.

I dati

La raccolta di informazioni è il cuore della scienza, attraverso essa vengono ottenute le osservazioni impiegate in statistica, che nel loro insieme vengono chiamate dati. Per ottenerli, gli statistici utilizzano una vasta gamma di metodi come indagini, esperimenti, osservazioni dei comportamenti, questionari ecc. Essi inoltre analizzano dati raccolti anche per altre finalità. Una volta raccolti i dati necessari, questi vengono contenuti in archivi chiamati database.

Cos'è la statistica

La statistica è l’insieme delle metodologie utilizzate per la raccolta e l’analisi dei dati. Più precisamente, è l’insieme di metodi utilizzati per:

• Progettare: ovvero pianificare come dovranno essere ottenuti i dati necessari per le ricerche. Ad esempio, in un’indagine la progettazione riguarda le modalità con cui saranno intervistati i soggetti e come sarà composto il questionario da proporgli.
• Descrivere: ovvero stabilire i modi in cui dovranno essere sintetizzati i dati per comprendere al meglio le informazioni in essi contenute. I dati grezzi sono una serie di osservazioni raccolte persona per persona, ma sono di difficile interpretazione: si rimane intrappolati nei numeri. Allora per semplificare l’interpretazione di questi dati, vengono usati grafici, tabelle e sintesi numeriche, mostrando solo (ad esempio) le percentuali di risposte, la media delle risposte, la risposta più frequente ecc. Questi grafici, tabelle e serie numeriche vengono chiamate statistiche descrittive.
• Inferire: con questo termine ci si riferisce alle previsioni fatte attraverso i dati. Più nello specifico, si parla di inferenze statistiche.

Quelli descrittivi e quelli inferenziali sono i due metodi per l’analisi statistica dei dati, utilizzati per spiegare i fenomeni sociali.

Statistica descrittiva e statistica inferenziale

Una statistica viene definita descrittiva o inferenziale a seconda se il suo obiettivo sia quello di descrivere i dati o formulare previsioni. Importanti in tal senso sono i concetti di popolazione e di campione.

Le entità complessive di una ricerca vengono definite soggetti di studio, che solitamente sono persone fisiche, ma anche famiglie, scuole, città ecc. La Popolazione è l’insieme totale dei soggetti di interesse di uno studio. Un Campione è un sottoinsieme della Popolazione oggetto di studio. L’obiettivo principale di qualunque ricerca è quello di acquisire conoscenze riferibili all’intera popolazione, tuttavia è spesso necessario, ma anche più pratico ed economico, osservare campioni e non popolazioni.

La statistica descrittiva viene impiegata per sintetizzare le informazioni raccolte in un’indagine. Utilizza strumenti come grafici, tabelle e numeri come medie e percentuali, rendendo i dati semplici da interpretare e limitando al massimo la loro distorsione e la perdita di informazioni. Di contro, si ha la statistica inferenziale.

La statistica inferenziale viene impiegata per ottenere previsioni su una popolazione sulla base di informazioni raccolte su un campione selezionato dalla popolazione stessa. Le tecniche inferenziali sono in grado di prevedere valori riferiti a grandi popolazioni attraverso analisi condotte su campioni di dimensioni relativamente più piccole. In molte indagini infatti vengono selezionati campioni di circa un migliaio di unità a fronte di popolazioni di interesse di milioni di individui.

Abbiamo allora i parametri, ovvero sintesi numeriche delle caratteristiche di una popolazione, e le statistiche, ovvero sintesi numeriche dei dati campionari. Nelle applicazioni, il principale obiettivo è quello di conoscere il valore assunto dai parametri e non dalle statistiche. Ad esempio nell’ambito di un sondaggio pre-elettorale, si vuole arrivare a conoscere l’orientamento elettorale della popolazione intera, e non solo di un campione di essa. Ovviamente quando si dispone di dati su un’intera popolazione è possibile determinare gli esatti valori dei parametri di interesse e non c’è quindi necessità di fare inferenza campionaria. Generalmente, la popolazione a cui si fa riferimento è una popolazione reale ma molto spesso accade che si facciano previsioni su una popolazione concettuale, ipotetica.

Diversi tipi di variabili, scale di valore, campionamenti

Nella fase di raccolta dei dati dobbiamo sempre scegliere quali devono essere i soggetti da includere nel campione. Disponendo del campione, possiamo convertire in dati le nostre idee relative a un certo fenomeno; si tratta di decidere che cosa e come misurare. Tali misure devono possedere il requisito dell’affidabilità (una misura è affidabile se porgendo la stessa domanda più volte allo stesso soggetto, questo fornisce sempre la stessa risposta). Dati raccolti attraverso strumenti non corretti o non affidabili produrranno elaborazioni statistiche prive di significato.

Le variabili e la loro misurazione

L’impiego di metodi statistici ci aiuta a determinare i fattori che influiscono sulla variabilità osservata tra i soggetti di uno studio. Qualunque caratteristica misurata su ciascun soggetto di un campione o di una popolazione, è chiamata variabile. Questo nome proprio perché varia da soggetto a soggetto. Il valore di ogni variabile assume il nome di modalità. I valori delle variabili creano scale di misura. Ad esempio, per il numero di fratelli posseduti da un soggetto, la scala di misura consisterà in 0, 1, 2, 3 e così via. Per il sesso, la scala di misura sarà composta soltanto da due valori, ovvero maschio o femmina. La validità di un determinato metodo statistico è strettamente legata alla scala di misurazione del carattere a cui lo stesso è applicato. I metodi dedicati a una variabile quantitativa (come il numero dei fratelli) sono diversi da quelli dedicati a una variabile qualitativa (come il sesso).

Abbiamo quindi vari metodi per classificare le variabili, uno di questi è la classificazione tra variabile quantitativa o qualitativa.

• Una variabile viene definita quantitativa quando assume valori che sono numeri. Esempi di variabili quantitative sono il reddito annuo, il numero di fratelli, l’età ecc. Le variabili quantitative a loro volta si dividono in:
  • Continua: se le sue modalità sono coincidenti con valori della retta reale, o con un intervallo di numeri.
  • Discreta: se le sue modalità sono espresse in numeri interi, infiniti o numerabili.
• Una variabile viene definita qualitativa quando i suoi valori assunti degli attributi. Questa a sua volta si divide in:
  • Categoriale (o Sconnessa): se non vi è nessun ordine logico tra i valori.
  • Ordinale (o Ordinabile): se vi è un ordine logico tra i valori.

È importante la distinzione tra variabile quantitative e qualitative perché per la loro sintesi vengono applicati diversi metodi statistici. Ad esempio, la media risulta idonea alla sintesi di variabili quantitative, ma non qualitative.

Scale di valori

Una scala di intervalli viene formata dai possibili valori numerici assunti da una variabile quantitativa. Queste scale sono caratterizzate da specifiche distanze numeriche dette intervalli, tra ciascuna coppia di valori assunti da una variabile. Ad esempio, nel caso del reddito annuo, l’intervallo tra 30.000$ annui e 40.000$ annui è 10.000$. Per le variabili misurate su questa scala possiamo effettuare confronti tra osservazioni misurando quanto una di esse è più grande o più piccola di un’altra.

Le variabili qualitative formano invece due tipi di scale:

• Scala nominale: se i suoi valori non assumono alcun ordinamento. Sebbene le diverse categorie siano spesso chiamate livelli di scala, è impossibile stabilire se una è più grande o meno di un’altra (esempio: metodo di spostamento di vari soggetti: autobus, automobile ecc.)
• Scala ordinale: rappresenta una via di mezzo tra le scale nominali e quelli di intervalli, in quanto presenta valori dotati di un loro ordinamento naturale. Non sono nominali perché esiste tale ordinamento, ma non sono nemmeno a intervalli perché è impossibile stabilire una distanza tra i vari livelli di scala.

Alcuni metodi statistici si applicano solo alle variabili ordinali, tuttavia spesso è utile analizzare le scale ordinali assegnando valori numerici alle diverse categorie: in tal modo, si trattano le variabili categoriale come se fossero misurate su scale di intervalli e si possono impiegare metodi statistici più efficaci per la loro analisi.

Variabili discrete e continue

Un altro modo che può essere impiegato per classificare le variabili fa riferimento al numero di valori contenuti nella scala di misura. La sua applicazione consente di determinare quali metodi statistici sono più appropriati per l’analisi di un dato problema.

Una variabile viene definita discreta se i suoi possibili valori formano un insieme di numeri distinti come 0, 1, 2, 3 ecc. Ogni variabile per cui viene impiegata la locuzione “il numero di…” è discreta perché possiamo elencare tutti i suoi possibili valori. Una variabile viene definita continua se può assumere come valori ogni possibile numero reale incluso in un intervallo infinito.

Per le variabili quantitative, la distinzione tra continue e discrete non è nitida perché per essere misurate, vengono arrotondate e quindi, rese discrete (esempio: un individuo si dice che abbia 21 anni anche se ha 21 anni e 6 mesi). D’altro canto però, alcune variabili pur essendo discrete assumono un numero elevato di possibili valori. Da ciò deduciamo che i metodi statistici per le variabili discrete sono usati principalmente per variabili quantitative che assumono un numero limitato di valori. I metodi statistici per il trattamento delle variabili continue sono invece impiegati per variabili quantitative che assumono molti valori, indipendentemente dal fatto che queste siano continue o discrete.

Casualizzazione

I metodi statistici inferenziali fanno uso delle statistiche campionarie per fare previsioni sui parametri della popolazione. L’utilità dell’inferenza dipende in maniera cruciale da quanto bene il campione rappresenta la popolazione. A tal proposito assume rilevanza il concetto di casualizzazione, che è il meccanismo chiave per conseguire una buona rappresentatività del campione. È possibile effettuare tale meccanismo ad esempio con Excel, attraverso il comando =casuale.tra(1;100) che ci genererà un numero casuale compreso tra 1 e 100. Incollando la formula per le altre 9 caselle seguenti otteniamo così 10 numeri casuali che rappresentano le unità statistiche prese a campione.

Campione casuale semplice

Un campione è un campione casuale semplice quando è ottenuto attraverso un metodo in grado di assicurare che ogni possibile campione che può essere selezionato dalla popolazione abbia una identica probabilità di selezione. Attraverso questa equiprobabilità, viene ridotta la probabilità di selezionare campioni che per le loro caratteristiche causerebbero distorsioni e che non rappresentino la popolazione oggetto di studio, e che quindi porterebbero a conclusioni inferenziali sbagliate. Spesso questo campionamento viene definito come soltanto campionamento casuale, l’aggettivo semplice viene aggiunto per distinguerlo da altri campionamenti casuali più complessi.

Per selezionare un campione casuale semplice è necessario possedere una lista di campionamento che elenchi tutti i soggetti che compongono la popolazione. Il metodo più immediato per ottenere un campione casuale semplice è di:

• Assegnare un numero a ciascuno dei soggetti della lista di campionamento;
• Ottenere in maniera casuale un insieme di questi numeri; i numeri casuali sono numeri generati attraverso software che attraverso uno schema computazionale che garantisce che ciascuna delle cifre da 0 a 9 abbia la stessa probabilità d’essere estratto e che non dipenda da quelle generate in precedenza.
• Includere nel campione tutti i soggetti della popolazione i cui numeri sono stati ottenuti in 2).

La raccolta di dati nelle indagini campionarie

In molti studi viene selezionato e intervistato un campione di individui da una popolazione. Questo schema di raccolta di dati viene chiamato indagine campionaria. Va sempre tenuto in considerazione che esiste una pluralità di fattori che influiscono, distorcendole, sulle risposte date dai soggetti. Se ciò si verifica i risultati non sono generalizzabili all’intera popolazione oggetto di studio.

La raccolta di dati attraverso un esperimento

In alcuni studi, i dati vengono raccolti attraverso un esperimento pianificato, che ha l’obiettivo di confrontare le risposte date da alcuni soggetti a domande sottoposte in differenti condizioni. Queste condizioni sono i diversi valori assunti da una variabile che si ritiene possa influire sulle risposte stesse. Si assume che i ricercatori abbiano il pieno controllo delle condizioni sperimentali in funzione delle quali vengono valutate le risposte dei diversi soggetti campionati. Ad esempio le condizioni, che chiameremo trattamenti, possono essere i diversi tipi di farmaci impiegati per curare una certa patologia. Per realizzare l’esperimento, il ricercatore deve assegnare i diversi trattamenti ai soggetti della ricerca. Questo processo di assegnazione viene chiamato piano sperimentale. Un corretto piano sperimentale prevede la casualizzazione per l’assegnazione dei soggetti dell’indagine ai diversi trattamenti.

La raccolta di dati attraverso uno studio osservazionale

Nell’ambito della ricerca sociale, solo raramente ci si trova nella possibilità di condurre studi sperimentali. In molti studi più semplicemente si osservano le manifestazioni delle variabili in esame sui diversi soggetti senza alcuna manipolazione sperimentale degli stessi. Tali studi sono detti osservazionali. Purtroppo, in questi studi è difficile fare il confronto tra gruppi perché questi possono risultare non bilanciati rispetto al possesso di caratteristiche di interesse, e ciò è vero anche nel caso di impiego di campioni casuali. La determinazione dei rapporti causa-effetto è cruciale in ambito scientifico tuttavia, non è possibile determinare in maniera definita i rapporti di causa-effetto in studi non sperimentali, anche se effettuati mediante campione casuale. In uno studio osservazionale infatti, esiste un’elevata probabilità che il campione selezionato non rifletta pienamente le caratteristiche della popolazione, ed è inoltre possibile che qualche variabile non rilevata eserciti un’influenza sui dati. Al contrario, in uno studio sperimentale che assegna casualmente i soggetti ai diversi trattamenti è possibile bilanciare gli effetti esercitati dalle variabili non osservate. Grazie al fatto che un piano sperimentale casualizzato ha reso bilanciati i diversi gruppi in relazione al possesso di caratteristiche non osservate, è possibile studiare i rapporti causa-effetto in maniera più accurata di quanto si possa fare negli studi osservazionali.

Che uno studio sia o meno di tipo sperimentale, è importante inserire nello stesso un meccanismo di casualizzazione, soprattutto se l’obiettivo è quello di fare inferenza. Questa casualizzazione può manifestarsi o attraverso il ricorso al campionamento casuale semplice, o attraverso l’assegnazione casuale dei soggetti ai diversi trattamenti di uno studio sperimentale.

Variabili campionarie e potenziali fattori di distorsione

Anche quando uno studio è stato basato su un attento uso della casualizzazione, i suoi possibili risultati dipendono dal campione che è stato selezionato. Due ricercatori che indipendentemente l’uno dall’altro selezionano due campioni casuali da una certa popolazione otterranno...