Statistica – Appunti completi teoria 1°+2° parziale (99 pag)

Statistica Gr. Mc-Ri Alessandro Preti

STATISTICA

1° PARZIALE

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Statistica Gr. Mc-Ri Alessandro Preti

Lezione 1 – 16/09/24

Introduzione al corso.

Lezione 2 – 18/09/24

Statistica descrittiva Univariata

L’indagine statistica

Si compone di diverse fasi:

1. Individuazione del problema: definizione degli obiettivi

2. Individuazione variabili osservabili

3. Individuazione della popolazione o campione, ovvero i soggetti dell’indagine

4. Rilevazione mediante sperimentazione, questionari, …

→

5. Spoglio dei dati: organizzazione dati, classificazione, costruzione di database

6. Elaborazione dei dati per trasformarli in conoscenza sintesi, interpretazione

→

La rilevazione dei dati può essere effettuata tramite sperimentazione, questionari, base dati aziendali e

istituzionali (ad es. l’ISTAT, la Banca d’Italia, il Comune di Milano…), internet e social network (big data).

Un aspetto molto importante è la qualità del dato che dipende dalle fonti, dal metodo di rilevazione e dai

criteri seguiti durante la fase di rilevazione. Il dato infatti deve essere rappresentativo e raccolto/elaborato

con un certo criterio.

Qualsiasi analisi dei dati presuppone che essi siano organizzati in modo che i risultati non siano influenzati

dalla cattiva costruzione del database.

Matrice dei dati e caratteri

DATA BASE = matrice dei dati. È una tabella formata dalle osservazioni di tutti i dati rilevati per ogni

elemento oggetto dell’indagine:

- Ogni riga corrisponde ad un soggetto

- Ogni colonna sono le variabili (caratteristiche) che ho rilevato per ogni soggetto

C’è una terminologia specifica:

- Unità statistiche o sperimentali supporto fisico/materiale su cui si manifesta il fenomeno. Sono

→

l’oggetto dell’indagine, e vengono rappresentati sulle righe della matrice.

- Caratteri proprietà dell’unità sperimentale. Sono le variabili che sto rilevando su ciascuna unità

→

statistica, e a loro volta si suddividono in:

Qualitativi

o Quantitativi

o 2

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- Modalità del carattere modo di manifestarsi del carattere; ad es. il carattere “sesso” ha due

→

modalità (Maschio/Femmina).

Attributi qualitative (ad es. M/F)

→

o Misure quantitative (ad es. il n° di componenti in famiglia)

→

o

Esistono strumenti che possono essere calcolati solo per caratteri qualitativi/solo quantitativi/per

entrambi. N.B.: non per forza i numeri sono quantitativi!

A seguire viene rappresentata una tabella formata dalle modalità di tutti i caratteri rilevati per ogni unità

statistica:

I caratteri

Si dividono in:

- Qualitativi/categorici che a loro volta possono essere sconnessi od ordinati;

- Quantitativi/metrici che a loro volta possono essere discreti o continui.

• I caratteri qualitativi

Hanno come modalità gli attributi, e possono essere:

- Sconnessi (scala nominale), quando le modalità non possono essere ordinate (ad es.

maschio/femmina). Quando sono sconnessi non conta l’ordine nelle tabelle. Degli esempi sono:

Binario (si/no)

o Tipo di operatore telefonico (Tim/Vodafone…)

o Comune di residenza

o

- Ordinati (scala ordinale), quando possono essere ordinati. È importante ordinarli nelle tabelle di

frequenza (ad es. per il titolo di studio). Degli esempi sono:

Titolo di studio

o Grado di vendibilità (scarto, difettoso, idoneo)

o Risultato di un esame (insuff, suff, buono, ottimo)

o

N.B.: Non ha senso confrontare distanze tra modalità (anche se codificate con valori numerici).

3

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• I caratteri quantitativi

Hanno come modalità le misure, e possono essere:

- Discreti (corrispondono all’insieme numerico insieme di modalità: finito o numerabile, numeri

):

interi. Sono tutti quelli che iniziano con “n° di…”

numero di giornali letti

o numero di figli

o numero di oggetti acquistati …

o

- continui vanno raggruppati in classi: insieme di modalità: infinito, numeri reali

→

reddito

o peso

o età (ad es. posso idre “13 anni” oppure “13 anni, 2 mesi, 5 giorni…)

o

La statistica descrittiva univariata (una sola variabile, una sola colonna) si occupa di tutti gli strumenti

descrittivi per l’analisi di un solo carattere estratto dalla matrice dei dati (una colonna). Nel seguito

vedremo:

a) Distribuzioni o tabelle di frequenza

b) Grafici

c) Indici di posizione

d) Indici di variabilità/mutabilità 4

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• Distribuzioni di frequenze e grafici

Per organizzare i dati elementari in prospetti sintetici delle osservazioni è utile costruire una distribuzione o

tabella utilizzando la nozione fondamentale di frequenza. La tabella di frequenza è costituita da 2 colonne:

- La prima colonna contiene tutte le modalità differenti (se il carattere è ordinabile);

- La seconda colonna contiene le frequenze associate alle modalità.

Indicheremo con n il numero totale di unità statistiche, con x le modalità distinte e con n le frequenze

i i

assolute (dove i = 1, 2, …, k, con k che corrisponde al numero di modalità differenti). N.B.: n e k sono

solitamente diversi tra loro!

Ci sono diversi tipi di frequenze:

- frequenza assoluta numero di unità statistiche che presentano una data modalità (n ):

→ i

- frequenza relativa numero di unità statistiche sul totale che presentano una data modalità (f ):

→ i

Moltiplicando per 100 le f si ottengono le frequenze percentuali: p = f *100%.

i i i

Riassumendo:

Esistono frequenze che posso calcolare solo se il carattere è ordinato: queste sono le frequenze cumulate,

che si suddividono a loro volta in assolute e relative.

- Frequenza cumulata numero/frazione di unità statistiche che presentano una data modalità

→

“minore o uguale” alla corrente (N o F )

i i 5

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N.B.: Ha senso calcolare le frequenze cumulate solo per caratteri che presentano un ordinamento. Si

calcolano quindi per caratteri qualitativi ordinati e quantitativi (discreti e continui). Non si calcolano per i

caratteri sconnessi!

Se il carattere quantitativo presenta molte modalità distinte può essere conveniente accorpare le modalità

in classi (per ridurre il numero di modalità): si effettua quindi il raggruppamento in classi, ovvero una

costruzione di intervalli di valori chiusi o aperti (da … escluso, a … incluso).

Le classi o intervalli:

- devono essere disgiunte (senza sovrapposizioni)

- devono essere esaustive (devono contenere il minimo ed il massimo osservati)

- solitamente si intendono chiuse a destra [h -| h ]

i-1 i

L’ampiezza della classe i-esima si trova sottraendo dall’estremo superiore l’estremo inferiore della classe:

a = h – h . N.B.: bisogna fare attenzione all’ampiezza delle classi, perché se non è costante si calcolano le

i i i-1

densità di frequenza.

• Densità di frequenza (d ) frequenza assoluta (o relativa) rapportata all’ampiezza dell’intervallo.

→

i

Con le densità di frequenza, si possono confrontare le frequenze nei vari intervalli. In questo caso

l’intervallo modale è quello con la massima densità di frequenza.

L’insieme delle coppie modalità + frequenze X = {(x , n ); i=1, 2, …, k} è detto:

i i

- mutabile statistica se il carattere è qualitativo

- variabile statistica se il carattere è quantitativo (discreto o continuo).

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Lezione 3 - 19/09/24

Possiamo rappresentare graficamente le tabelle di frequenza, ci sono diverse rappresentazioni grafiche

possibili. Anche qui bisogna fare distinzioni a seconda del tipo di carattere, alcuni grafici si possono fare

per i caratteri qualitativi e altri per i caratteri quantitativi.

- I caratteri qualitativi vengono rappresentati con i diagrammi a torta e/o con i diagrammi a rettangoli

separati;

- I caratteri quantitativi discreti vengono rappresentati con i diagrammi a bastoncini (canne

d’organo)

- Mentre i caratteri quantitativi continui (possono essere raggruppati in classi) vengono

rappresentati con gli istogrammi.

In generale questi grafici avranno sull’asse delle ascisse le modalità del carattere, mentre sull’asse delle

ordinate le frequenze (assolute, relative oppure le densità di frequenza).

Caratteri qualitativi

- Diagrammi a torta (caratteri sconnessi)

in corrispondenza ad ogni modalità si disegna un settore circolare il cui angolo al centro è

proporzionale alla frequenza. Questo diagramma viene usato quando il carattere è qualitativo

sconnesso o per i caratteri qualitativi ordinati, difficilmente si usa per i caratteri quantitativi.

- Diagrammi a rettangoli separati (caratteri sconnessi e ordinati)

Ho un carattere, le modalità devono essere ordinate in ordine crescente (se il carattere è ordinato). In

corrispondenza ad ogni modalità si disegna un rettangolo con altezza proporzionale alla frequenza.

Quando i caratteri sono qualitativi sconnessi, visto che il concetto dell’ordinamento viene meno, e visto

che ci sono tante modalità, il grafico viene girato facendo le barre orizzontali invece che verticali.

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Caratteri quantitativi discreti

- Diagrammi a bastoncini

La rappresentazione grafica viene fatta utilizzando non dei rettangoli ma dei bastoncini. In

corrispondenza ad ogni modalità si disegna un segmento con altezza proporzionale alla frequenza.

- Istogramma

Se il carattere è quantitativo ma suddiviso in intervalli, si utilizza l’istogramma. In corrispondenza ad

ogni classe si disegna un rettangolo con base proporzionale all’ampiezza della classe e altezza

proporzionale alla frequenza (o alla densità se le classi sono di diversa ampiezza).

Nel caso di classi con ampiezza diversa (devo calcolare le ampiezze e verificare che siano diverse),

l’altezza dei rettangoli sarà uguale alla densità di frequenza per riproporzionare la frequenza

all’ampiezza della classe. Sull’asse delle ordinate devo quindi mettere le densità di frequenza e non la

frequenza. 8

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Grafico delle frequenze cumulate

Grafico cartesiano per la rappresentazione dell’andamento dei valori delle frequenze cumulate assolute o

relative (N o F ).

i i

Nel caso di un carattere quantitativo in classi, la funzione a gradini è approssimata ipotizzando che le unità

statistiche siano equi ripartite dentro la classe (come nel grafico sottostante).

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Lezione 4 – 23/09/24

Statistica descrittiva Bivariata

Tabella di frequenze congiunte – a doppia entrata

Supponiamo di voler costruire una tabella a doppia entrata con più di un carattere, tengo quindi conto

congiuntamente di due caratteri rilevati sullo stesso soggetto. Per ogni possibile coppia andrò a contare

quante volte questa coppia si presenta.

Dal punto di vista formale, la tabella a doppia entrata si presenta scritta nel seguente modo:

Un carattere viene messo sulle righe e uno sulle colonne. Ciascun carattere ha delle modalità, che

possono essere di numero diverso tra i due caratteri. Indichiamo con i la i-esima riga e con j la j-esima

colonna.

La frequenza congiunta n indica quante volte si presentano congiuntamente la modalità x e y .

ij i j

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Ad esempio, supponiamo di aver rilevato congiuntamente i caratteri X = titolo di studio e Y = reddito su 25

soggetti. La seguente è la tabella delle frequenze congiunte.

Dalla tabella a doppia entrata si ricavano le due tabelle marginali, una solo per il reddito e una solo per il

titolo di studio. in genere si indica con n le frequenze assolute marginali della variabile che sta sulle righe e

i

con n le frequenze assolute marginali della variabile che sta sulle colonne, mentre n è la frequenza

j ij

assoluta congiunta.

Dalla tabella a doppia entrata posso ricavare le informazioni di una variabile condizionatamente alle

modalità assunte dall’altra.

Fisso l’attenzione sulla variabile Y dato X. Volendo posso prendere queste informazioni e riportarle in una

tabella a parte, come segue: 11

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Questa si chiama distribuzione condizionata della variabile Y data X=E.

Posso costruire tante variabili condizionate quante sono le modalità dell’altra variabile.

Lezione 5 – 25/09/24

Statistica descrittiva univariata

Gli indici di posizione

Sono degli indicatori statistici che hanno l’obiettivo di sintetizzare le informazioni contenute all’interno di

una tabella di frequenza in un unico valore. Da una tabella cercheremo di estrarre un indicatore che sia in

grado di descrivere dal punto di vista sintetico le informazioni contenute all’interno della distribuzione del

carattere. Un esempio è la media.

Esistono diversi indici di posizione, alcuni specifici per tipi di carattere e altri che non possono essere

calcolati per determinati tipi di carattere. Vediamo la variabile statistica X definita da {x , n }. L’indice di

i i

posizione lo indicheremo con α (alfa) ed è una funzione dei dati:

)

= ( , = ().

i i

Tutti gli indici di posizione hanno alcune proprietà, alcune sono irrinunciabili mentre altre valgono solo per

alcuni indicatori o per altri. Parleremo di indice di posizione in senso stretto (quando valgono tutte le

proprietà) o in senso lato (quando non valgono tutte).

1. Internalità (condizione di Cauchy): l’indice di posizione deve essere compreso tra il minimo ed il

massimo dei dati osservati. La proprietà di Cauchy è irrinunciabile.

2. Monotonicità: vale per alcuni indici di posizione, consideriamo due caratteri (ipotizziamo

quantitativi) e supponiamo che le modalità di X siano minori o uguali a quelle di Y. È ovvio che

l’indice di posizione che io calcolo su X deve essere minore o uguale all’indice di posizione che

calcolo su Y.

3. Moltiplicatività: pensiamo sempre ad un carattere quantitativo X, posso pensare di cambiare scala

al carattere (ad es. da cm a dm, oppure moltiplicare le modalità assunte da X per una costante C).

Vale il principio che l’indice di posizione calcolato sul nuovo carattere che ha subito un

cambiamento di scala è uguale a C volte l’indice di posizione calcolato sul carattere originario.

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Alcuni indici tipici sono la moda, i percentili di ordine p e la mediana. I percentili sono indicatori che

possono essere calcolati sia per caratteri quantitativi che per caratteri qualitativi. Questi indicatori vengono

definiti non analitici.

La media potenziata è una famiglia di medie: comunemente conosciamo la media aritmetica, ma esistono

diverse medie che possiamo calcolare come la media armonica, la media geometrica, la media

quadratica… questi indicatori vengono chiamati analitici.

Non tutti gli indici si possono calcolare per ogni carattere.

La moda

È una delle modalità del carattere X e corrisponde a quella modalità a cui è associata la massima

frequenza (assoluta o relativa) o densità. Questo vale sia per caratteri qualitativi che per caratteri

quantitativi discreti.

N.B.: la moda è una modalità, quindi è “Grossista”, non 10!

Per i caratteri quantitativi continui definiti da classi di differente ampiezza, la moda è il valore centrale della

classe con la massima densità di frequenza. Operativamente si individua la massima densità, e poi andare

a prendere la classe corrispondente. Quella classe sarà la classe modale, vuol dire che la moda cadrà lì

dentro: se voglio identificare un solo valore posso prenderne uno rappresentativo, cioè il valore centrale

dell’intervallo.

Si può osservare che:

- La moda è l’unico indice di posizione che si può calcolare per tutti i tipi di caratteri. Ad esempio, è

l’unico indice di posizione che si può calcolare per i caratteri qualitativi sconnessi.

- La moda è la modalità a cui è associata la massima frequenza e non il valore massimo!

- La moda non è una frequenza, ma una modalità!

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Osserviamo anche che:

- La moda non è un indice di posizione in senso stretto, non soddisfa la proprietà di monotonicità.

Non è detto che se le modalità del carattere X sono minori o uguali alle modalità del carattere Y la

moda del carattere X sia minore o uguale alla moda del carattere Y.

Inoltre, possiamo osservare che:

- La moda è l’unico indice di posizione che si può calcolare per i caratteri qualitativi sconnessi.

- Si può calcolare con le frequenze relative.

- La moda può non essere unica (può esserci una distribuzione plurimodale o senza moda).

I percentili

Esistono altri indici di posizione che si possono calcolare per caratteri qualitativi ordinati e quantitativi. I

percentili sono modalità che dividono la distribuzione di frequenza ordinata in più parti (ad es. permettono

di rispondere alla domanda “qual è la soglia di reddito familiare che divide il 25% dei più poveri dal restante

75%?”).

Mi serve avere un carattere ordinato per suddividere la distribuzione in più parti. Alcuni esempi sono i

quartili (dividono la distribuzione in 4 parti), i decili (la dividono in 10 parti) e i percentili (la dividono in 100

parti). La mediana è