Sistemi dinamici a tempo continuo

A R ,B R ,C R ,D R

Sistemi a parametri concentrati (o a dimensione finita)  Sistemi in cui

t n

lo stato al tempo è definito da un numero finito di scalari reali ed è retto da

un’equazione di stato differenziale a derivate totali

Sistemi a parametri distribuiti (o a dimensione infinita)  Sistemi in cui

t

lo stato al tempo è costituito da una funzione di una o più variabili ed è retto

da un’equazione di stato differenziale a derivate parziali

Equilibrio di sistemi dinamici stazionari



Per i sistemi dinamici stazionari di equazioni

( )

( )=f ( ) ( )

x́ t x t , u t

( )=g ( ) ( ))

(

y t x t , u t

( ) =ú

soggetti a ingressi costanti , sono di particolare importanza quei

u t

movimenti dello stato e dell’uscita che risultano anch’essi costanti nel tempo.

stati uscite di equilibrio

Questi movimenti sono detti, rispettivamente, e .

stati di equilibrio

Gli devono soddisfare l’equazione , cioè sono le

 ( )=0

x́ t

soluzioni costanti nel tempo dell’equazione

x́

( )=0

f x́ , ú uscita di equilibrio

A ciascuna soluzione corrisponde un’ calcolabile

ý

mediante la relazione

( )

ý=g x́ , ú

Uno stato di equilibrio è dunque uno stato in cui un sistema, sollecitato

da un ingresso costante, permane in modo indefinito se vi si trova in un

qualunque istante di tempo. In altri termini, se al tempo lo stato del

t́

( )=x́ ( )=x́

sistema è , allora risulta anche per ogni ; quindi,

t> t́

x t́ x t́

l’uscita rimane costante al valore di equilibrio ý .

Stabilità



La stabilità è una proprietà dei sistemi introdotta da Lyapunov, che considera le

conseguenze sul movimento di un sistema di una incertezza sul valore

iniziale del suo stato, nell’ipotesi che gli ingressi siano fissi e noti. In

particolare, essa richiede che piccole perturbazioni dello stato iniziale rispetto a

un valore di riferimento provochino solo piccole perturbazioni del movimento

dello stato, destinate eventualmente ad annullarsi su tempi lunghi.

La stabilità è una proprietà di grande interesse, perché lo stato inziale di un

sistema di

solito non è

né noto, né

misurabile.

Inoltre, può

accadere

che sul

sistema

intervengano perturbazioni di breve durata, anche se di elevata intensità, e

quando ciò accade è molto difficile studiare il comportamento del sistema

durante l’azione delle perturbazioni stesse, mentre è relativamente facile farlo

a partire dall’istante in cui esse scompaiono.

1. Stabilità di un equilibrio STATO

 di

EQUILIBRIO GLOBALMENTE STABILE