Sistemi di equazioni lineari

Sistemi Lineari (A.A. 2025-2026)

Appunti delle lezioni: Metodi Numerici con Elementi di Programmazione

Docente Vittoria Bruni

1 Sistemi di equazioni lineari

[2]

1.1 Esempio 1: Passeggiata casuale

[2, 3] Un ubriaco compie una passeggiata casuale, facendo un passo a sinistra

o a destra a caso lungo una strada rettilinea. Quando raggiunge una estremità

della strada, si ferma. Si vuole calcolare la probabilità che l’ubriaco raggiunga

l’estremità sinistra della strada partendo dalla posizione i. Si può simulare

una passeggiata casuale tirando una moneta, ad esempio per N = 10 posizioni.

Punto di partenza: x .

5

Soluzione dell’Esempio 1

[3, 4] La probabilità p , i = 0, 1, . . . , N , di raggiungere l’estremo sinistro par-

i

tendo dalla posizione i, soddisfa la relazione:

 p = 1

0



 p = 0

N 12 12

 −

p = p + p i = 1, . . . , N 1

 i i−1 i+1 −

Si tratta di un sistema lineare tridiagonale nelle incognite p , i = 1, . . . , N 1:

i

 12 12

−

p p =

1 2





 1 1

− −

p + p p = 0



 1 2 3

2 2



 ······························

12 1

 −

− p + p p = 0

 −3 −2 −1

N N N

 2



 1

 − p + p = 0

 −2 −1

N N

2

1.2 Esempio 2: Circuiti Elettrici

[7,8] Determinare i potenziali v nei nodi 1−6 del circuito sapendo che tra A e B

i

è applicata una differenza di potenziale pari a 100V (le resistenze sono misurate

1

in Ohm). La soluzione si ottiene applicando la legge di Ohm (∆V = RI) e la

P

legge di Kirchoff ( I = 0) in ogni nodo, ottenendo il sistema lineare:

i

i  − −

11v 5v v = 500

1 2 6





 −20v − −

+ 41v 15v 6v = 0

 1 2 3 5







 −3v −

+ 7v 4v = 0

 2 3 4

−v −

+ 2v v = 0

3 4 5





 −3v − −

10v + 28v 15v = 0



 2 4 5 6





 −2v − 15v + 47v = 0

 1 5 6

Se v indica il potenziale nel nodo i-esimo e I la corrente tra il nodo i e il nodo

i ij

−v

v i j . Ogni equazione esprime la legge

j (ramo ij), si ha la legge di Ohm: I =

ij R ij

delle correnti di Kirchoff: La somma delle correnti in ciascun nodo deve essere

−v −v

100−v v v

nulla. Esempio per il primo nodo: I + I + I = + + = 0,

1 2 1 6 1

A1 21 61 3 3 15

− −

da cui si ricava 11v 5v v = 500.

1 2 6

1.3 Esempio 3: Flusso di Traffico

[9-12] Nelle ore di punta il traffico è congestionato in corrispondenza degli in-

croci. Tutte le strade sono a senso unico. Dati sul flusso orario in entrata e in

uscita dagli incroci:

1. Incrocio A: 700 macchine da Spruce Street, 300 da 9th Street.

2. Incrocio B: 200 macchine da Spruce Street, 900 da 10th Street.

3. Incrocio C: 400 macchine entrano in Pine Street, 300 da 10th Street.

4. Incrocio D: 200 macchine lasciano per Pine Street, 400 lasciano per 9th

Street (fino all’incrocio A).

Definizione delle incognite :

• x : macchine che lasciano A percorrendo Spruce Street verso B.

1

• x : macchine che arrivano a B percorrendo 10th Street da C.

2

• x : macchine che lasciano C percorrendo Pine Street verso D.

3

• x : macchine che arrivano a D percorrendo 9th Street da A.

4

Assumendo che il flusso sia conservato (macchine in entrata = macchine in

uscita) e che x siano positivi, si ottiene il sistema:

i

• Incrocio A: x + x = 700 + 300

1 4

• Incrocio B: x + x = 900 + 200

1 2

• Incrocio C: x + x = 400 + 300

2 3 2

• Incrocio D: x + x = 400 + 200

3 4

Il sistema lineare da risolvere è:

 x + x = 1000

1 4





 x + x = 1100

 1 2

x + x = 700

2 3





 x + x = 600

 3 4

1.4 Esempio 4: Equilibrio di Molle

[13] Il sistema è costituito da 5 molle che sostengono 3 pesi W , i = 1, . . . , 3.

i

All’equilibrio soddisfa il sistema:

 − −

(k + k + k + k )x k x k x = W

1 2 3 5 1 3 2 5 3 1





−k −

x + (k + k )x k x = W

3 1 3 4 2 4 3 2



−k −

x k x + (k + k )x = W

 5 1 4 2 4 5 3 3

dove k è la costante elastica della molla i-esima e x è lo spostamento della

i j

massa j-esima rispetto alla posizione nel sistema non deformato.

1.5 Esempio 5: Analisi Strutturale

[14-15] Analisi di strutture (telaio statico bidimensionale). Le forze F rapp-

i

resentano le tensioni/compressioni sulle aste; H , V , V sono le forze relative

2 2 3

al supporto; E sono le forze esterne applicate ai nodi . Nell’esempio, E , E

i 2 3

sono nulle; il nodo 2 è vincolato, il nodo 3 può scivolare. In condizioni statiche,

all’equilibrio:  ◦ ◦

−F cos(30 ) + F cos(60 ) + E = 0

1 3 1,h



 ◦ ◦

 −F −

sin(30 ) F sin(60 ) + E = 0

 1 3 1,v





 ◦

 F cos(30 ) + F + H + E = 0

 1 2 2 2,h

◦

F sin(30 ) + V + E = 0

1 2 2,v





 ◦

−F − F cos(60 ) + E = 0



 2 3 3,h





 ◦

F sin(60 ) + V + E = 0

 3 3 3,v

I valori specifici sono: E = E = E = E = E = 0 e E =

1,h 2,h 2,v 3,h 3,v 1,v

−500. Si risolve il sistema lineare AX = B di 6 equazioni nelle incognite

T T

X = [F , F , F , H , V , V ] . Il vettore dei termini noti è B = [0, 500, 0, 0, 0, 0]

1 2 3 2 2 3

. La matrice A (matrice di stiffness) è:

 

− cos(30) 0 cos(60) 0 0 0

− −

sin(30) 0 sin(60) 0 0 0

 

 

cos(30) 1 0 1 0 0

 

A =  

sin(30) 0 0 0 1 0

 

 

−1 −

0 cos(60) 0 0 0

 

0 0 sin(60) 0 0 1

Si osserva che det(A) = 1. 3

1.6 Esempio 6: Intersezione tra rette

[16]

1. Rette coincidenti (infinite soluzioni):

(

2x + y = 3 2 1 3 −

A = ,b = det(A) = 4 4 = 0

4 2 6

4x + 2y = 6

2. Rette parallele (non esistono soluzioni):

(

2x + y = 3 2 1 3 −

A = ,b = det(A) = 4 4 = 0

4 2 0

4x + 2y = 0

3. Rette incidenti (unica soluzione):

(

2x + y = 3 2 1 3 − ̸

A = ,b = det(A) = 4 1 = 3 = 0

1 2 3

x + 2y = 3

2 Metodi Diretti per la Soluzione di Sistemi Lin-

eari

[17] Si considera il sistema lineare AX = B, dove A è la matrice dei coefficienti,

X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini noti. I metodi diretti sono

basati sulla trasformazione del sistema di partenza in uno equivalente con una

struttura particolarmente semplice per cui è facile calcolarne la soluzione. La

soluzione numerica viene calcolata in un numero finito di passi. Senza errori di

arrotondamento, la soluzione numerica sarebbe esatta. Vengono usati quando

la dimensione della matrice dei coefficienti A non è ”troppo” elevata a causa

dell’occupazione di memoria (RAM) richiesta.