Seconda parte degli appunti teorici del corso di meccanica dei solidi ( da travi di DSV fino al PLV)

DELL'EQUILIBRIO STABILITA DEFORMABILIE

Et travee compressadall'equilibrioscrittura nella2 configurazionedeformataDeve l'equilibrio3of valereÈE Fa ODIESEMPIO PARTENZAy vizi vincolifunzione arbitraria compatibile icony P di forzal'azione diTcc sotto unaAzgg l'equilibrioscrivesicompressione nellaledeformata reazionireazioni vincolarecalcolo configurazione cambianovincolari è presentesolononla orizzontalecomponentePIa RH PEFI O S RbEMA RO OSE Fa koo s momentii calcolo Miz PrizMIZ MizPriz oµ dellaEquazione linea elasticaEI PreziMAIV IN sPrizIVE Z O EIIV VIZI B LCONOZAsenaz Bcosazvizi BV10 O VIZI7 o0O AsenabVib o KitSenato KEINabo sLa condizione su sin αb impone che il A IzV12 Sell A qualsiasicarico di compressione assumaparticolari valori ( mentre l’ampiezza Apuò essere qualsiasi). IKITEPerKII_KITLb d baA Mala traveche direzionein intuitivoossa infettasisi èpriori masanon lastabilizzazione direzione associataquestainuna

Alavvienese coinvolgaIx Imdi minimoinerziamomento inEsistono infiniti carichi critici di compressione (uno per ogni valore di k) per cui sono ammissibili configurazioni direttilinea tipica delle travi compresse.equilibrio non banali, ma vicine alla configurazione

• In corrispondenza a un carico critico, l'equilibrio associato alla configurazione banale passa da stabile adindifferente.
• Sotto l'azione del carico critico, la struttura puo' assumere una configurazione sinusoidale di ampiezzaindeterminata, detta deformata critica, sempre rappresentata da una frazione di onda di sinusoide.
• La lunghezza di libera inflessione bo misura la lunghezza della semionda di sinusoide che descrive la deformataflesso della deformata critica.

critica e anche la distanza tra due punti di IIIÈ PK I TEIfyma P GTIIIIIa µK Bbo della decormatadama criticasemiondalunghezzaLa lunghezza diflessopunti di della deformatadistanza a criticatra dettaLIBERA INFLESSIONE

Imine inerziadiMOMENTOIFT'E minimo della SEZIONEGenerica_FORMULA bi CriticoCARICOdetto ANCHE eulerianodiAltre condizioni vincolo T'E IminperP ba4abbo T'E IminI babo abf T'EIPer MINI bagstrutture iperstaticaÈ ayayFREE P HEIMPer 4 babo bEINSTABILITA SNELLEZZALa trave di Eulero deformata e’ soggetta a compressione e a flessione. Ma poco prima dello sbandamento, losforzo interno e’ solo di compressione, e puo’ essere valutato con le formule dell’azione assiale, dividendo il caricocritico per l’area della sezione:PÌ IIEr InfinIl rapporto tra inerzia (minima) ed area della sezione puo’ essere sostituito con il raggio d’inerzia (minimo) dellasezione: Bif IIIPrimt'EGetIl rapporto λ tra lungezza di libera inflessione e raggio d’inerzia minimo, che e’ un parametro puramentegeometrico, e’ chiamato snellezza della struttura:IIIGE ÉdLa snellezza e’ un indice della propensione

all'instabilità dell'asta. Aste snelle tendono a collassare per instabilità, aste tozze tendono a collassare per schiacciamento plastico della sezione.

STABILITÀ

DIAGRAMMA

• Il diagramma dello sforzo critico in funzione della snellezza è riportato in figura. Viene detto diagramma di stabilità. Esso vale fino a che lo sforzo si mantiene inferiore alla tensione di snervamento del materiale: GER 6LE

• La classificazione tra aste snelle ed aste tozze è fatta in base alla snellezza limite o di transizione λL, ottenuta imponendo l'uguaglianza tra sforzo critico e sforzo di snervamento: TIE ciao AL

• La snellezza di transizione dipende solo dalle proprietà del materiale.

• Per λ > λL, le aste sono snelle e, se compresse, tendono a collassare per instabilità. Per λ < λL le aste sono tozze e, se compresse, tendono a collassare per schiacciamento e plasticizzazione della sezione.

LA GENERALIZZATA CURVATURA DI DEFORMAZIONE λ

Per una trave soggetta a una curva indotta dal momento flettente, la deformazione generalizzata è detta curvatura di sezione e coinvolge la trave d'asse riferita alla linea di azione del momento.

L'EQUILIBRATA ESTATICA CINEMATICA CONGRUENTE

In una trave ben vincolata, in presenza di carichi esterni n e q, in direzione z e y rispettivamente, e di forza flettente M e le altre concentrate H, V e W applicate solo alle estremità dell'asta, nascono per equilibrio il momento e le azioni interne. L'insieme delle forze esterne e delle azioni interne in equilibrio è chiamata statica equilibrata.

Gli spostamenti della trave sono definiti dagli spostamenti della sua linea d'asse.

equilibrioun'insieme azioniora diinfinititrave èlacarichi esterni insiemise iperstaticai cicon sonol'equilibrio deformazioniinterne lecheazioni esoddisfanogeneralizzatedimostraSi lalavoroil forza internce cespostamenticon glicongruenti deiesternolavorodeformazionile epercompiono alcongruenti ugualecarichi spostamentigliperIt'da ÈÈLini ÈIniziata diVivi WiHimidzsciagiaint Lestg figuraper caso invediamo ilo o o tè11111114 Its 27 ESTERNE4E frizione esternispostamentiet verideformazione spostamentiinternabalziI LintLest Riz dzMizdavizi 272 b4 RIME Lin1 dz212da1fa M 21R dove tiziMINT EIvirtualiosservazioni LavoriPRINCIPIO deisulle dallavalepar Essola causata èanche cinematica statica1 se non èdella equilibriodihannomatematicaforma lechesolo equazioniconseguenza Percionondi richiesto trache Effettoè causae ci sia vocazioneunacongruenza haPav la delformastatica importanzaecinematica nonmeee legamecostitutivoIn

le travi possono subire deformazioni particolari e generalizzate. In particolare, deformazioni di tipo De Saint Venant possono essere ottenute per forme di basse deviazioni dalla ipotesi assiale di taglio e infatti flessione. Tuttavia, il materiale elastico lineare che siamo soliti utilizzare, che è isotropo e omogeneo, non rispetta la legge delle deformazioni limitate di Hooke. Il problema può essere esteso anche agli spostamenti, che possono essere sia totali che in termini incrementalideformazioni e spostamenti. Il calcolo delle deformazioni interne di una trave costituisce un esempio avanzato di metodo di studio meccanico complesso nei problemi di lavoro interno delle deformazioni elastiche.

Riferendosi a una trave di lunghezza interna, le deformazioni possono essere associate alle azioni congruenti che sono generalizzate. Se i carichi e le deformazioni sono oltre a essere dovute a carichi generalizzati, saranno legate alle vere azioni interne della struttura.

Per le travi interne, le deformazioni possono essere associate alle azioni congruenti che sono generalizzate. Se i carichi e le deformazioni sono oltre a essere dovute a carichi generalizzati, saranno legate alle vere azioni interne della struttura.