TRAVE SAINT
DE
DI VENANT
Un problema di elasticità lineare particolarmente importante, del quale è possibile trovare, in numerosi casi, la soluzione analitica
esatta è il cosiddetto problema di Saint-Venant .
L’interesse principale di tale problema risiede nel fatto che la sua soluzione viene utilizzata nella pratica ingegneristica per la
valutazione dello stato tensodeformativo nelle strutture costituite da travi.
avente la
3d 1
È
un corpo
riguarda Se
a
detto solido
costante o
ne ecompatta
Venant
prisma St
di
Ipotesi geometria RIFERITA ALLA INTRINSECA
TERNA
11 NATURA GEOMETRICA e
egg
g e a
11 Il di
STATICA EQUILIBRIO
TRAVE solido
2 vincoli
NATURA IN è privo
di
ed canidi risultante
è si
a
sistema nullo
un
a
soggetto
dice è
il autoequilibrato
sistema
che
21 D b
ovunque
E Forze di volume
3 se Forza sulla
E laterale
su nuoce
e sup
El
E
41 E
in L Isonzo basi
di nulla
non
sue
sup
E Io in z o
le
s anelastica
deformazioni nulla
sono
31 NATURA DEL MATERIALE ELASTICO Omogeneo
LINEARE
CONTINUO ISOTROPO
da E O
caratterizzato costanti
quindi sole
a
Inoltre due Piccoli
subiti
di
ne i cambiamenti solido
ipotizziamo siano
configurazione
In base alle ipotesi fatte il problema di S.Venant si configura come un particolare problema di elasticità lineare. La soluzione di
s.Venant si fonda su un hp riguardante il regime tensionale del prisma e la correttezza di tale hp viene verificata a posteriori (si parla
quindi di un postulato).
Formulazione GENERALE 1s equazioni
congruenza
eo
equilibrio legame costitutivo
16 o
131
f È is funzioni DA trovare
s
Approfondimento
Tenuto di
di di
conto le
don'ap di
volume indefinito
forza equazioni equilibrio
assenza
saranno
fffftfo
È GIOÈ le contorno esplicitate
condizioni de sooo
vengono
dato
eat dal te
solido
sulla che
che so 9
sup
gg
Gg o
Avrò date
legame dalla
poi costitutivo
le equazione di legge Noone
di
Restano infine da mettere in conto le equazioni di congruenza che governano la cinematica del solido deformabile. Osservando che
il contorno del prisma, per hp, è completamente libero, il campo di spostamenti potrà essere determinato a meno di un moto rigido,
inessenziale ai fini del calcolo di sforzi e deformazioni nel prisma. Per questo motivo si può rinunciare a mettere in conto fra le
incognite anche le componenti del campo di spostamenti, imponendo che le deformazioni incognite discendano da un campo di
piccoli spostamenti continuo e derivabile attraverso le equazioni di congruenza interna.
Postulato de
di SaintVenant di
Principio equivalenza elastica
solo
dipendono da Mx Ma
Ey Tx My
6g N Ty
D
E Vero distanza bordi
dai superiora
per a
diametro sezione basi
A di
distanza di
lo stato
dalle
D
una sforzo e deformazione
dalle to
trazioni
dipendono docce
solo e
risultanti superficiali
AZIONI INTERNE
Se si trazioni
di
trave sistema
perturba scarica un su
superficialiautoaquilibrate
con
una una
della ad
delle distanza
basi l'effetto perturbazione si attenua dea
pari
una
massima
trasversale
dimensione della sezione
Da quanto detto si capisce perche sono molto importanti le ipotesi di natura geometrica che sono state spiegate: infatti, affinché la
soluzione ottenuta sia rappresentativa dello stato tensodeformativo del solido, gli effetti di bordo associati alla modalità di carico
devono essere confinati in zone poco estese rispetto alle sue dimensioni globali, per questo L > 10D. Consideriamo ora la seguente
figura:
Le 12 componenti introdotte, non sono tutte indipendenti tra di loro dato che il solido deve risultare auto equilibrato per cui si
avranno tra di loro dei legami che possono essere facilmente ottenuti effettuando le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla
rotazione del solido. Si troverà: Ty Ty
Te
Tx Tx Ne
Ty No N
io in
i
io Ithin e
Grazie a questo postulato, i risultati che si ottengono per una situazione di carico ben precisa si possono estendere ad altre
situazioni piu’ generali.
I risultati dei casi di De Saint Venant si usano per valutare gli sforzi locali in travi sollecitate da N, M, T, ovvero le azioni interne
che si determinano con la statica dei corpi rigidi.
Azione Assiale l'unica
fa
si l'ap ce sollecitazione nel sia
prisma
presente
62
lo sia
assiale ovunquecostante
tuo
sforzo e ce sforzo
E hp soddisfa
immediato le
a
verificare questa
SE di equilibrio le
equazioni si
deformazioni ce
devono
verificano anco a
soddisfare
di
equazioni congruenza
an par
go interna
I Z Nz
452 Ez
µ Congruenza
E E Ez
Gz
LEGAME COSTITUTIVO N
A
Gad
EQUILIBRIO EQUIVALENZA N
da
YEE
a
EGIDA N
EZA
E N
EQUAZIONI If
L Ez I
62
Dev'AZIONE
ASSIALE EZ
4
In trasversali Exley
vi
è
caso ca deformazioni
si
questo non
supposto erano di Hooke
la
realtà era legge
sono
ci per valgono
nella e
Ex Ota
Ey V62
E
il dz
iniziale
di di lunghezza
prisma subisce
concio
generico contrazione
di sia
variazione
quindi lunghezza una o
una gaz
dilatazione della
da
trasversale prima
diverso quello immaggina
4
dz segg gg
e
geom
LE
e
ka E a rigidezza generico
di un prisma
assiale
e a concio del
LEZIONE 23 112022
E Si i del abbiano risultante
base
carini sulla
che applicati prisma
immaggini inerzia delle
assi
ad di
attorno
il momento basi
mucca ce coro principali sia
degli
ma uno di
da si
diverso la un
acora
annoi flettente
zero momento
presenza
Y y
Me t
G
Mr a
a
DIAGRAMMA
momento Ma
FLETTENTE Flessione
succede
di
Imponiamo congruenza trave a
alla
canciano capire quest
cosa
e soggetta
momento flettente Ay di circonferenza
È
È fibra neo
TETRA gg Lo fa
L Path FIBRA
GENERICA
x etnia prox
g E
Erba Ez Prox
a il lineare
è
diagramma
ASSE NEUTRO E
Costitutivo
Legame I
E E Ez
62 2
z AG
ha i DX Gz
E o ossia l'asse neutro
è dove
Equilibrio aaaa aaaa
DA
TE
N 624A O SI
O fa A EI
Et
EYda.EE
Yj da
Me pt
R Ma
i 1
Ix
È
I II 1 U
curvatura in Effy
Ex Ey 4
inoltre
Ma II 4
Ez 62 3
Ricordando Le I 2
EI
1 3 RETTA X
FORMULE DELLA
2 IN
7 FLESSIONE
4 Piano l'asse prisma
giace
cui del
in
ma ÀÉÉTÉ
il Inflessione
E la
h Pen
ha neutro
t ad
dog asse
sa E 4h Asse NEUTRO
g Asse dove ci sono
non
aaaa aaaa
fibra tesa In
Nella inevitabilmente presenti a
sia
Oss sezione sono comprare
Per
162
del tale
le fibre piano è
0 detto
motivo
risultano
z scarica ez
particolare detta
della
la traccia è Asse
neutro sezione
piano piano
e sua neutra
noa generica
si noti l'asse neutro baricentrico
de è distanti
Poiché fibre sollecitate
le più più
ossa sezione sono
nella generica quelle
ly
dall'asse La traduce
di
neutro resistenza in
si
verifica
y 167,67
G Gt
E e
max
Quindi di di
Oss parità dal vista è
flessionale
punto
a più celiciante una
peso
trave distanti dall'asse
concentrata
è
la zone
materia più
nelle
nera quale
neutro ad travi
tra è
esempio la
queste efficiente
più
a
a
d F
Z Z Mx
La piano SS
di sollecitazione
I Per 1 flettente
dog momento
è ca
M
Sst
Retta
Flessione ii
di l'assedi
l'asse coincide sollecitazione ss
con
inflessione di
la trave
dona sollecitazione
rimane nel
deformata piano
Mè
il
succede My
cosa se ne
MI
E È È
È
B
t EI
Pg M
I II
2g Ez
62 Ezy
E Ig
Ex VIII
Ey
ASSE
SS X
hh Asse 7 a Retta Ad
formule y
Flessione Asse
Intorno
ii Asse x
k Ej
ke Rigidezza
oss DEL
FLESSIONALE PRISMA
Me
di trave
dela
Dana l'asse
cui
ne trasforma
si
di in
costanza quello per
consegue
cerchio
ARCO di
un Reali
Nelle travi Ma flessione
caso della deviata
coesistere
e My possono
Pse
E linearità
di
in
il condizioni
applicare
possibile siano
porci
Piccoli LL
spostamenti dei
e geometrica
LINEARITA DINoone
LEGGE
DEL MATERIALE y
5 n IL'E
i I My Iyi Met My
Ma
ri
B
Aa DX
n Me M cost
resent
my
i
s
n
ME IL
62_ g
Canciano 62
neutro 0
imponendo
asse
II ÉIentrico
IIx II
YI tgr
Ottengo y 9 o
y B 8
Ix
hp
con Ig sm segg ii Su
É di
Asse inflessione
g forma di
giroscopi
sezioni sezioni
1 che
Oss a poligono o
regolare
Ig
Ix
dal fatto
circolari da
caratterizzate
essa cui
sono per
B da
flessione sia
indipendentemente
retta cioè quale
si auna y
di
l'asse sollecitazione
Anche 62 linearmente
in cresce
ora caso coontanandosi
questo
dall neutro
asse di
Quando forma
considera
si sezione
una generica
la Me
di
deviata momento
flessione manifesta
si in
anche solo se
presenza un
della
di inerzia chiamiamo
è tra
cosa l'angolo
non principale e
a
sezione m
le formule
si seguenti
avranno II
Gnr Invio Ig
2
Ega IIe
62 V
Ig il
62 II II
Gz v
FDer u
Caso in alla
cui sforzo
flessione Normale
si aggiunge uno
Tenso PRESSO FLESSIONE
INTRO = si immagini adesso che le azioni esterne agenti sulle basi del prisma abbiano per risultante una forza assiale N, non
baricentrica. La retta di applicacazione della forza N interseca la generica sezione della trave in un punto P detto centro di pressione.
La distanza fra P e il baricentro G della sezione è detta eccentricità e della forza assiale.
La forza assiale eccentrica può sempre essere vista come risultato del trasporto di una forza applicata lungo l’asse della trave ad
opera di un momento M = Ne. Ne consegue che il caso in esame può essere studiato sommando gli effetti già visti. Si dice in questi
casi che il prisma è soggetto a tenso/presso flessione a seconda che l’azione assiale sia, rispettivamente di trazione o compressione.
Se il momento di trasporto agisce attorno a uno te gli assi principali di inerzia della generica sezione, si parlerà di (tenso-) presso-
flessione retta, nel caso contrario essa sarà deviata.
g ma II II
oz y
E q
n M
I
Ss s
I II
cambia mentro
cena o
y
ey Img
i
s Ag x.IE
tgoE
y
n x Ex
B
tg
È natii
Is 4h
Oss s non per
passa
il baricentro mantiene
ii ma
Ss
E l'inclinazione che maa
aveva
flessione
dara deviata
caso fibra
della la
Come
1 flessione
055 semplice più
caso
nel sollecitate dall'asse
lontana
risultano quelle neutro
piu
essere
0552
Nel caso dell’azione assiale eccentrica, l’asse neutro non è baricentrico. A seconda della posizione del centro di pressione, l’asse
neutro può tagliare la sezione, caso nel quale esistono fibre sia tese che compresse, oppure cadere al suo esterno, cosicché tutte le
fibre del prisma sono o tese o compresse, a seconda del segno di N.
Come la degli
avviene sovrapposizione
anca grafico
nel
oggetti
2911
2022
LEZIONE
ORSIONE 3D
INTRODUZIONE Saint
di
si Venant basi
il sulle
de sia una
a
prisma
immaggini soggetto
distribuzione Me
socacitazioni
di staticamente agenteattorno al suo
una
a
equivalente coppia termina
di torcente
lei il
tale nome momento
prende
asse coppia Ivy
Trave rettilinea di lunghezza L0 con sezione circolare di raggio R soggetta a due
momenti torcenti Mz = Mt, agenti sulle due basi, diretti lungo l’asse della trave.
E’ il momento di un albero rotante.
by 70
ME
Mt U
ET DE Fa
Mt
ME 1 a
z Il
111111
1 mantiene
sezione
La a
I'angolo NEL
FORMA Proprio ruo
torsione piano
di RIGIDAMENTE INTORNO Z
A
it fa
z della sezione
ingobbamento
E piana
resta
sezione
la non
Per
NB Mz
torcente
allo
è
equilibrio stesso
momento
sezione
ogni soggetta
Per il tipo di tgziali
ossa particolare te
sollecitazione aaaa
ci sono solo sezione
sforzi
Mt forze
da di
Infatti momento
il piano
nel
una
può essere rappresentato coppia xy
I ytz.INT AMI
MIE
Is d TzydA
tax
a y da x
le di
deboli terminali
condizioni basi
contorno il
al sforzi sulle
campo
per dieta
torcente
momento
e il applicato
Liggio
dA
t.ge
MITICI
È riesco
un problema non
per
perché a
sezione
una generica
distribuzione
la degli tyziali
sforzi ad
capire se
perché esempio
di discontinuità
i vertici
sezione
una
prendo punti
suoi saranno
rettangolare
Tuttavia trovare
è sol
ma
il contorno possibile nel particolare
caso
per
di circolare
sezione
TORSIONE CIRCOLARE
In di le
5Venant non
circolare si
sezioni
torsione
prisma sezione
a
un a
soggetto Il
le alle
rispetto
ruotano altre nel
ma une proprio piano
ingobbano rigidamente di della
B cui
si cerchio
lungo arco
un nel a
sezione
punto sposta piano
generico
appartiene Ay
B
c Io Yee patata
Bi AA RO
B
Sotto l’azione della coppia torcente, le sezioni rette della trave ruotano una RO
SBB
rispetto all’altra. Considerando nulla la rotazione della sezione a z = 0, la IBB 8
L
sezione a z = L0 ruota complessivamente di un angolo θ detto angolo di R
fibra AB disposta come una direttrice del cilindro si sposta nella
torsione. Una E o
8
esterna
posizione AB’ individuando un angolo di scorrimento sulla superficie
pari a γ. B 8 di
variazione
Zoom scorrimento
s y che
un inizialmen
angolo
te ena retto
D B
E frat
D O Ogni cilindro di raggio r compreso tra 0 e R si comporta in modo
analogo, per cui gli scorrimenti variano linearmente tra il centro e
l’esterno del cilindro. Dal legame costitutivo si deduce la presenza
di sforzi tangenziali τ che agiscono sulla sezione retta e che
variano linearmente lungo ogni raggio della sezione, assumendo
OPER valore nullo al centro e massimo all’esterno
I LE
B
RA Io a
aa Omar
0
E
J
Per l'andamento luogo
scorrimenti un generico
degli
cui raggio
linarmente
varia SE
y g CONGRUENZA
DX
ray 98
8
ze
LEGAME Grey
Jay Tay
E fa y
raga Tag
DX
n Tze
g da pda
de
da da
pds
rgdhdx.si
MI DA
ti g
Eye
I
Ifp dads 3dg
Era
2T I
Ig R
Rispetto G
Posare
INERZIA S
momento a
di TI
Io
da
IG Ix
Igt Ig
ya
x Mt
O
GI Io
da ME
cui GIO f generico raggio
no
E pag
S'Itt
TI gg Formule torsione
della
II CIRCOLARE
Ta p II
Tzy
Tze
Mt II y
o GIG
Fitzy
Tiz Nella torsione
Oss circolare la
sezione
le
si dolormazio
mantiene e
piana
Mt
LI E I
9
8 zip descrittedall'auge
mi sono completamente
GIG co torsione
di
la di Tz dal
definita
è
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
-
![Seconda parte]()
Seconda parte
-
![Appunti Meccanica razionale - Seconda parte]()
Appunti Meccanica razionale - Seconda parte
-
![Tecnologia meccanica - Seconda parte]()
Tecnologia meccanica - Seconda parte
-
![Diritto romano, seconda parte]()
Diritto romano, seconda parte
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
