Schrodinger e configurazione elettronica

L'equazione di De Broglie

Un corpo materiale di massa (m) che si muove con velocità (v), è dotato (oltre che della quantità di moto m*v) di un'onda materiale tridimensionale la cui lunghezza d'onda è legata alla quantità di moto dalla semplice relazione: \( \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \).

-> Si ottiene unendo le due equazioni:

2E = mc² + E = h*ν

- Per particelle non microscopiche il comportamento ondulatorio non riveste particolare importanza -> il moto è descritto dalla meccanica classica.

- Per particelle piccolissime (come l'elettrone) è necessario tenere conto della loro natura ondulatoria.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è un'equazione che per incognita ha una funzione (e non una grandezza); essa è una relazione che coinvolge la funzione stessa assieme a una o più delle sue derivate. -> Le soluzioni sono sempre in numero infinito.

Ad esempio:

• 1-> verificata da tutte le funzioni del tipo con A = costante reale
• \( y = 0 \)
• \( y = e^{2x} + 2 \)

Frequentemente i problemi fisici sono risolvibili con equazioni differenziali associate a condizioni addizionali (condizioni al contorno) che restringono il numero di soluzioni possibili.

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Un'equazione differenziale in cui le funzioni coinvolte sono di più variabili reali.

-> Data una funzione di più variabili \( f(x, y, \ldots) \), la derivata parziale non è altro che la derivata della funzione calcolata considerando x variabile e mantenendo y e le eventuali altre variabili indipendenti costanti.

Esempio:

Se \( \psi = x^2 + 5y \), allora le derivate parziali prime saranno:

• \( \frac{\partial \psi}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial \psi}{\partial y} = 5 \)

Le derivate parziali seconde invece sono:

• \( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = 2 \)
• \( \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = 0 \)

L'equazione di Schrödinger generale

Da molto tempo (1747) erano note le equazioni generali che descrivevano la propagazione delle onde (elettromagnetiche, sonore, vibrazioni di una corda, ecc.); queste hanno la tipica forma delle equazioni differenziali alle derivate parziali, nelle quali compaiono, oltre alle coordinate cartesiane (x, y, z), al tempo t e alla velocità dell’onda, anche la funzione ψ:

\[ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0 \]

Dove Ψ è la funzione il cui significato è diverso secondo il tipo d’onde che si considera.

Per esempio, nel caso di un’onda elettromagnetica corrispondente ad una radiazione luminosa, Ψ può essere una qualunque componente del campo elettrico E o del campo magnetico B della medesima onda; nel caso del moto oscillatorio di una corda vibrante, Ψ definisce punto per punto e istante per istante lo spostamento della posizione di equilibrio.

Nel 1926, E. Schrödinger, partendo dall’idea di De Broglie che una particella materiale (elettrone) può essere considerata un’onda, propose di applicare all’elettrone l’equazione sopra riportata, valida per onde di qualsiasi tipologia.

-> La trattazione rivolta a trovare il significato da attribuire a Ψ nel caso dell’elettrone, conduce alle seguenti conclusioni:

• La prima equazione è l’equazione di Schrödinger generalizzata, nella quale v = velocità dell’elettrone -> Ψ non ha significato fisico diretto.
• Mentre Ψ² coincide con la densità di probabilità di trovare l’elettrone in un punto preciso dello spazio -> se indico con P la probabilità, ottengo: P = Ψ²

L’equazione di Schrödinger per gli stati stazionari

Uno stato stazionario è uno stato nel quale una particella/onda è ad energia costante nel tempo (indipendenza dal tempo).