Risposte domande esami Meccanica applicata alle macchine

C SO CON TTRITO:

Sos tuendo le espressioni trovate di T0 e T1 e semplificando l’espressione non considerando il contributo

degli infinitesimi di ordine superiore ottengo:

Si consideri l’analisi cinetosta ca di un sistema meccanico piano caratterizzato da coppie prisma che e

rotoidali, contatti con strisciamento e contatti con rotolamento puro. Il candidato illustri la procedura per il

calcolo grafico delle reazioni vincolari in presenza di attrito (radente e volvente) a par re dalla conoscenza

delle reazioni vincolari in condizioni ideali (già determinate in precedenza).

L'analisi cinetosta ca di un sistema meccanico

piano, caratterizzato da coppie prisma che e

rotoidali, contatti con strisciamento e contatti con

rotolamento puro, segue una procedura strutturata

per il calcolo grafico delle reazioni vincolari in

presenza di attrito, sia radente che volvente,

partendo dalla conoscenza delle reazioni vincolari in

condizioni ideali.

Il primo passo consiste nell’analisi cinema ca del

sistema, necessaria per determinare le velocità

spaziali e angolari di tutti i corpi del meccanismo, nonché le velocità rela ve nei vincoli. Questo è

fondamentale per iden ficare correttamente le forze d’attrito, che dipendono proprio dai movimen rela vi

tra i corpi vincola . Una volta completata l’analisi cinema ca, si passa alla soluzione del problema

cinetosta co ideale, ovvero il calcolo delle reazioni vincolari in assenza di attrito.

questo punto, si procede con la determinazione delle caratteris che dell’attrito. L’attrito radente, che si

manifesta nei contatti con strisciamento come le coppie prisma che e i contatti piani generici, genera una

forza tangente alla superficie di contatto, il cui modulo dipende dal coefficiente di attrito e dalla reazione

normale. Nei contatti con rotolamento puro, invece, entra in gioco l’attrito volvente, che si manifesta

attraverso una coppia resistente applicata nel punto di contatto, con momento proporzionale al coefficiente

di attrito volvente e alla reazione normale.

Una volta stabilite queste caratteris che, si risolve il problema cinetosta co reale, includendo nelle equazioni

di equilibrio le forze e le coppie d’attrito determinate nella fase precedente. Ciò consente di ottenere le

reazioni vincolari reali e le eventuali azioni esterne sconosciute. Infine, si effettua la verifica di impuntamento,

controllando che le reazioni vincolari reali si oppongano sempre al moto rela vo tra i corpi. Se questo non

accade, il sistema potrebbe essere soggetto a impuntamento o risultare fisicamente impossibile, rendendo

necessaria una revisione delle ipotesi sulle forze di attrito e sul moto del sistema.

Il candidato illustri il funzionamento dei ro smi epicicloidali a un grado di libertà. Il candidato descriva inoltre

nel dettaglio il calcolo del rapporto di trasmissione del ro smo epicicloidale e la ripar zione dei momen

sulle ruote e sul portasatellite.

I ro smi epicicloidali a 1 GdL sono meccanismi in cui tre componen principali (= ruota solare, corona e

portasatelli ) ruotano con velocità angolari correlate.

In ques sistemi, uno dei tre elemen è fissato (solare, corona o portasatelli ), mentre gli altri due sono liberi

di muoversi (per questo mo vo sono a 1 gdl); il funzionamento si basa sul trasferimento del moto tra i

componen attraverso l’ingranamento delle ruote dentate. I satelli , monta sul portasatelli , trasmettono

il moto tra la ruota solare e la corona.

Il rapporto di trasmissione rappresenta la relazione tra le velocità angolari degli elemen mobili, in

par colare tra l’elemento mobile e quello condotto. aato che s amo analizzando un ro smo ad 1gdl, come

,

detto prima un membro deve essere fissato, per cui il rapporto dipenderà dal caso che s amo analizzando

(vedi casi riporta nella domanda successiva).

Il candidato enunci, gius ficandola opportunamente, la formula di Willis per i ro smi epicicloidali a 1 grado

di libertà. Il candidato illustri come, in assenza di dissipazioni, tale formula possa essere usata per

determinare la ripar zione delle velocità angolari e delle coppie nei ro smi considera .

Nel ro smo epicicloidale alcuni assi sono

fissi nello spazio mentre altri possono

essere mobili. Gli assi fissi e le rela ve

ruote sono solitamente detti solari o

planetari mentre gli assi mobili e le

rela ve ruote sono detti satelli . Il

portasatelli serve per la

movimentazione degli assi mobili.

Per rendere il meccanismo ordinario viene fissato il portasatelli (o

portatreni), che equivale a dire di osservare il moto del sistema

essendo solidali al portasatellite stesso.

Quindi si ottiene la formula di Willis:

è il rendimento del meccanismo reso ordinario e si trova facendo il rapporto tra la produttoria del numero

0

dei den delle ruote motrici presen e la produttoria del numero dei den delle ruote condotte presen .

∏

=1

=

0 ∏

=1

È importante notare che non si è stabilito quale sia la ruota cedente e quale la movente, questo perché si

sceglie solo successivamente dopo aver calcolato il rendimento del meccanismo epicicloidale.

aato che s amo analizzando il caso in cui ha un solo grado di libertà, bisogna dis nguere in due casi:

= 0

1. 1

= 0

2.

Il candidato illustri il funzionamento dei ro smi epicicloidali a due gradi di libertà. Il candidato descriva inoltre

nel dettaglio, nel caso di ro smi differenziali, le relazioni che legano le velocità angolari dei componen e la

ripar zione dei momen sulle ruote e sul portasatellite.

I ro smi epicicloidali a due gradi di libertà sono meccanismi che coinvolgono tre componen principali: la

ruota solare, la corona e il portasatelli . differenza dei sistemi a un grado di libertà, in cui uno degli elemen

è fisso, in un ro smo epicicloidale a due gradi di libertà tutti e tre gli elemen possono ruotare liberamente

(consente una maggiore flessibilità, mo vo per cui si adatta a vari pi di trasmissione, anche più complessi,

po i differenziali automobilis ci).

Il principio di funzionamento si basa sull'ingranamento dei satelli , che collegano la ruota solare e la corona,

trasferendo il movimento tra i vari componen .

Fino al calcolo di tutto uguale al ro smo ad 1 gdl, la differenza però sta nel fatto che avendo il meccanismo

0

in ques one 2 gdl, non è possibile bloccare nessun membro per definire il rapporto di trasmissione , però

è possibile u lizzare la formula di Willis perché mette in relazione la velocità angolare del portasatelli con

quella della prima (1) e dell’ul ma (n) ruota.

Va fatta anche una dis nzione tra ro smo differenziale e ro smo combinatore; il primo si ha se nel ro smo

sono presen un movente e due ceden , l’altro se sono presen due moven e un cedente

aIFFERENZI LE UTOMO ILISTICO:

Il differenziale automobilis co più diffuso è

un ruo smo che serve a ripar re la coppia

trasmessa dall’albero motore tra due ruote

motrici, permettendo anche alle due ruote

di girare a velocita angolari diverse` quando

il veicolo viaggia in curva.

In figura è rappresentato schema camente

un differenziale automobilis co di un

veicolo a trazione posteriore il cui verso di

marcia in avan e definito dal versore i di

una terna solidale al veicolo. La scatola del differenziale supporta le ruote dentate 1 e 3, collegate

rispettivamente alla ruota sinistra ed alla ruota destra. La scatola del differenziale supporta anche dei satelli

2 e viene messa in rotazione dall’albero motore (generalmente tramite una coppia ipoidale).

La relazione che esiste tra la velocità angolare della scatola del differenziale ωm e le velocita angolari ω1 e

ω3 delle due ruote motrici può essere calcolata applicando la formula di Willis. Preliminarmente osserviamo

che tutte le velocità angolari che ci interessano possono essere rappresentate da scalari con segno, essendo

direzione e verso convenzionalmente posi vo iden fica dal versore j della terna veicolo. Per prima cosa

calcoliamo il rapporto di trasmissione τ0 tra la ruota 1 e la ruota 3 del ro smo reso ordinario bloccando la

scatola del differenziale: è immediato dedurre che, viste le dimensioni uguali delle ruote dentate 1 e 3, il

moto si inverte, ovvero e τ0 =−1 .

Scriviamo adesso la formula di Willis:

In condizioni di regime (veicolo che percorre a velocità costante una curva con raggio di curvatura costante)

calcolare la relazione esistente tra la coppia trasmessa alla scatola del differenziale e le coppie sulle ruote

motrici:

nche In questo caso possiamo rappresentare i momen applica alla scatola del differenziale ed alle ruote

1 e 3 tramite scalari con segno, essendo direzione e verso convenzionalmente posi vo iden fica dal versore

j della terna veicolo. Per risolvere questo problema dobbiamo aggiungere l’ipotesi che nel differenziale non

ci sia dissipazione di potenza. Scriviamo l’equazione di equilibrio sta co del differenziale rispetto alla

rotazione attorno a j e l’equazione di equilibrio tra le potenze entran nel differenziale:

Mm + M1 + M3 = 0

Mmωm + M1ω1 + M3ω3 = 0 ,

dove M1 ed M3 sono le coppie applicate dai semiassi sulle ruote 1 e 3, opposte quindi rispettivamente alle

coppie trasmesse dai semiassi alle ruote motrici (MSX = −M1, MaX = −M3).

Ricaviamo Mm dalla prima equazione e sos tuiamolo nella seconda, tenendo presente che ωm =:

aall’equazione precedente deriva che anche le coppie trasmesse dai semiassi alle ruote motrici, sempre

nell’ipotesi che non ci sia dissipazione di potenza nel differenziale, sono uguali e pari alla metà della coppia

trasmessa dall’albero motore alla scatola del differenziale:

Nel caso in cui una delle ruote sia perfettamente aderente alla pavimentazione e l’altra completamente

libera di slittare, ipo zzando il veicolo fermo, la ruota completamente libera di slittare (per fissare le idee

ipo zziamo sia la sinistra) non puo trasmettere momento alla pavimentazione, ovvero: MSX = −M1 = 0

aovendo essere vale anche MaX = −M3 = 0 e Mm = 0. La ruota destra (perfettamente

aderente) rimarrà ferma mentre la sinistra girerà ad una velocità doppia rispetto a quella della` scatola del

differenziale.

Il candidato illustri nel dettaglio le equazioni cardinali della dinamica (equazioni di Newton - Eulero) per un

meccanismo composto da corpi rigidi. Il candidato spieghi il significato dei vari termini che compaiono nelle

equazioni ed evidenzi quali sono le incognite del problema in relazione alle equazioni disponibili.

Le azioni esterne sono dovute o alla presenza di elemen di forza o a campi

di moto esterni, al contrario d