Risposte dettagliate domande di teoria di Industrial plasma technologies

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Dipartimento di Ingegneria industriale

Corso di Laurea Magistrale in Electrical Engineering

INDUSTRIAL PLASMA TECHNOLOGIES

Open Questions

Studente: Luca Marchese

Anno Accademico: 2024–2025

Sartori E. Cordaro L.

Docenti:

Contents

1 Q1 – Definisci la distribuzione Maxwelliana e il suo uso; descrivi le principali quantità

macroscopiche ottenibili per media. 3

2 Q2 – Equazioni di continuità e del momento: definisci i termini nelle due equazioni di

conservazione. 4

3 Q3 – Equazione del momento: definisci l’equazione del momento semplificata e ricava il

fattore di Boltzmann per elettroni non magnetizzati. 5

4 Q4 – Definizione di plasma: fornisci i criteri quantitativi e ricava in particolare la

lunghezza di Debye. 6

5 Q5 – Definizione di plasma: fornisci i criteri quantitativi e ricava in particolare la

frequenza di plasma. 7

6 Q6 – Formazione della sheath: meccanismi di perdita di elettroni e ioni; discuti qualitati-

vamente il criterio di Bohm alla sheath edge. 8

7 Q7 – Formazione della sheath: ricava la tensione di sheath in condizioni floating e la

caratteristica corrente-tensione (sonda di Langmuir) come somma di corrente ionica ed

elettronica. 9

8 Q8 – Collisioni tra particelle: collisioni elastiche e anelastiche; eccitazione di atomi,

eccitazione e dissociazione di molecole, ionizzazione da impatto elettronico con esempi

di bilancio energetico; urti elastici con energia trasferibile. 10

9 Q9 – Collisioni: concetto di sezione d’urto e di coefficiente di rate; media su distribuzione

Maxwelliana. 11

Q10 – Interazioni particella-superficie (bassa energia): adsorbimento, desorbimento,

10 pressione di vapore; accomodamento energetico; chemiadsorbimento ed effetti catalitici

(PES). 12

11 Q11 – Interazioni particella-superficie: energia intermedia (neutralizzazione, SEE indotta

da ioni); alta energia (impiantazione e sputtering). 13

12 Q12 – Equilibrio della scarica: ruolo della potenza assorbita; costo energetico effettivo

per la formazione di una coppia elettrone-ione. 14

13 Q13 – Equilibrio della scarica: ruolo della frazione di perdita; meccanismo di confina-

mento elettronico con magneti a cusp. 14

14 Q14 – Equilibrio della scarica: ruolo della pressione e della dimensione caratteristica del

T

plasma nel determinare . 15

e

15 Q15 – Diffusione e trasporto: definisci mobilità e diffusione; condizione ambipolare e

ricava il coefficiente di diffusione ambipolare. 16

16 Q16 – Diffusione attraverso linee di campo: discuti (eventualmente ricava) la velocità

×

E B

fluida perpendicolare e i termini di drift e diamagnetico; spiega fisicamente questi

termini. 17

17 Q17 – Scariche DC: descrivi il regime di Townsend e il regime glow. 17

1

18 Q18 – Scariche DC: descrivi il regime di Townsend e il regime arco. 18

19 Q19 – Scariche AC: conducibilità complessa, scariche capacitive, meccanismi di riscalda-

mento nelle scariche capacitive. 19

20 Q20 – Scariche AC: frequenze caratteristiche e , scariche induttive, skin depth e

ω ω

pe ce

potenza assorbita. 19

2

1 Q1 – Definisci la distribuzione Maxwelliana e il suo uso; descrivi le

principali quantità macroscopiche ottenibili per media.

Inquadramento

Per molti plasmi a bassa temperatura (specie gli ioni, e spesso anche i neutrali) è ragionevole

assumere una distribuzione di velocità Maxwelliana, cioè il risultato di un equilibrio statistico

mantenuto da collisioni frequenti che randomizzano la velocità. Per gli elettroni, invece, l’ipotesi

Maxwelliana può fallire quando l’energia viene iniettata selettivamente (RF, microonde, campi

EEDF

oscillanti) o quando le perdite alle pareti “tagliano” la distribuzione: in quel caso si parla di

non Maxwelliana.

Distribuzione Maxwelliana

In 3D: 3/2 2

mv

m −

( ) =

f n exp

v T T

2πk 2k

B B

n m T k

densità numerica; massa; temperatura; costante di Boltzmann;

Significato dei simboli: B

∥ ∥

=

v .

v 12 2

=

E mv

La distribuzione in energia cinetica (utile per collisioni con soglia) è ricavabile e

mette in evidenza che la “coda” ad alta energia è esponenzialmente rara ma spesso determinante

per processi inelastici.

Momenti e quantità macroscopiche f

Le grandezze fluidodinamiche si ottengono come momenti di :

1

Z Z

3 3

= = v

n f d v, f d

u v

n

1 3

Z 2 3

− ⟨ ⟩

= ( ) =

p m f d v, E k T

v u B

3 2

p

dove è la pressione scalare (ipotesi isotropa).

Flusso a parete

Per una Maxwelliana isotropa, il flusso di particelle verso una superficie è:

1

Γ ⟨ ⟩

= n v

4

q T

8k

⟨ ⟩ =

v

con per Maxwelliana. Il fattore 1/4 nasce dall’integrazione angolare sulle velocità

B

πm

dirette verso la parete.

Perché serve nel corso

• il flusso a parete entra nei bilanci (loss fraction, potenza persa, tempi di

Trasporto e perdite:

confinamento). ⟨ ⟩ f

• i rate coefficient richiedono la media su (domanda 9).

Collisioni: σv

• la corrente elettronica in sonda nasce da elettroni Maxwelliani (domanda 7).

Sheath/sonde: 3

Cose che il prof può chiedere

• Quando e perché gli elettroni non sono Maxwelliani? Come cambia un rate di ionizzazione se

cambia la coda?

• Come giustifichi fisicamente il fattore 1/4 nel flusso a parete?

• Differenza tra temperatura (parametro statistico) e temperatura del gas nei plasmi non termici

≫ T

(T ).

e g

2 Q2 – Equazioni di continuità e del momento: definisci i termini nelle

due equazioni di conservazione.

Inquadramento

Le equazioni di continuità e del momento sono le leggi di conservazione scritte in forma fluida

(momenti dell’equazione cinetica di Boltzmann). Nel plasma industriale sono utili per collegare:

n, p

densità velocità media campi pressione e collisioni con neutrali (attrito).

u, E, B,

Equazione di continuità

s:

Per una specie ∂n s ∇ ·

+ ( ) =

n S

u

s s s

∂t +

n S

densità; velocità media; sorgente volumetrica (ionizzazione , ricombinazione

Simboli: u

s s s

− , dissociazione, produzione a parete, ecc.).

+ =

variazione locale divergenza del flusso produzione netta. In stazionario:

Interpretazione:

∇ · ( ) =

n S .

u

s s s

Equazione del momento

∂u s Π

· ∇ × − ∇ − ∇ · − −

+ = ( + ) ( )

m n q n p m n

u u E u B u u

ν

s s s s s s s s s s s m,s s g

∂t | {z }

attrito con gas

Significato dei termini:

• variazione temporale e convettiva della quantità di moto.

Inerzia: ×

q n q n

• accelera lungo curva la traiettoria.

Forza elettromagnetica: E E; u B

s s s s

−∇ p

• spinge da zone di alta a bassa pressione.

Pressione: s Π

−∇ ·

• (spesso trascurata nelle semplificazioni base).

Tensione viscosa: s

• termine di attrito con frequenza .

Collisioni (momentum transfer): ν

m

Regimi tipici

• spesso inerzia trascurabile nel bulk (massa piccola), ma non sempre in RF ad alta

Elettroni:

frequenza; governa conducibilità.

ν

m

• inerzia importante in sheath e accelerazione verso pareti; nel bulk possono essere più

Ioni:

collisivi. 4

Collegamenti

Queste equazioni sono la base per: −∇ −

p en

• Relazione di Boltzmann (Q3) come bilancio tra e E.

e e

• Mobilità/diffusione (Q15) e drifts (Q16) includendo o trascurando termini.

• Conducibilità complessa (Q19) inserendo la forzante oscillante e .

ν

m

3 Q3 – Equazione del momento: definisci l’equazione del momento

semplificata e ricava il fattore di Boltzmann per elettroni non magne-

tizzati.

Obiettivo

Partendo dall’equazione del momento elettronica, in condizioni adatte, si ottiene una relazione

n relazione di Boltzmann.

chiusa tra densità elettronica e potenziale elettrico la È un risultato

ϕ:

e

centrale perché collega campi, distribuzione di carica, Debye screening e sheath.

Equazione del momento semplificata (elettroni non magnetizzati)

Parto da:

∂u e · ∇ − − ∇ −

+ =

m n en p m n

u u E u

ν

e e e e e e e e m,e e

∂t

Per ottenere la Boltzmann relation si assumono:

• regime quasi stazionario nel bulk (inerzia trascurabile),

• corrente elettronica piccola (o, equivalentemente, trasporto dominato dall’equilibrio pressione–

campo), isotermi

• elettroni (T circa costante spazialmente nel bulk considerato),

e B

• elettroni non magnetizzati (oppure campo trascurabile per la direzione considerata).

Allora: − − ∇

= en p

0 E

e e

Chiusura con pressione ideale

=

p n k T

Assumo :

e e e

B − − ∇

= en k T n

0 E

e e e

B

−∇

=

Con E ϕ: ∇ e

n e

∇ ∇ ⇒ ∇

= =

k T n en ϕ ϕ

e e e

B n k T

e e

B

Integro: −

( )

e ϕ ϕ

0

( ) =

n n exp

ϕ

e e0 k T

e

B

Spesso si scrive:

eϕ

=

n n exp

e 0 k T

e

B

n

assorbendo in .

ϕ

0 0 5

Significato fisico

Gli elettroni (leggeri e mobili) si redistribuiscono quasi istantaneamente per bilanciare la forza

elettrica con la “spinta” di pressione: una variazione di potenziale viene schermata tramite

∆ϕ

variazione di densità elettronica. La dipendenza esponenziale implica che anche piccoli

k T n

(dell’ordine di /e) producono variazioni significative di .

e e

B

Limiti di validità (domanda tipica)

Non vale se: nk T),

• EEDF fortemente non Maxwelliana (pressione non è B

• forti correnti o gradienti (il termine di attrito e/o inerzia non è trascurabile),

T

• non uniforme,

e

• forte magnetizzazione con anisotropia di trasporto.

Collegamenti

( )

n

• Inserendo in Poisson si ricava Debye length (Q4).

ϕ

e

In sheath la Boltzmann relation spesso descrive gli elettroni, mentre gli ioni richiedono dinamica

• (Q6–Q7).

Q4 – Definizione di plasma: fornisci i criteri quantitativi e ricava in

4 particolare la lunghezza di Debye.

Criteri quantitativi per definire un plasma

plasma

Un gas ionizzato è detto quando presenta comportamento collettivo e schermaggio elettro-

statico. I criteri quantitativi classici sono:

∑

≈

n Z n

1. (la densità di carica netta è piccola fuori da sheath/strati

Quasi-neutralità nel bulk: e s i,s

s

sottili). ≫

L

2. (così il bulk è schermato e quasi

Dimensione caratteristica grande rispetto a Debye: λ D

neutro). 4π 3

≫ =

N N n

3. 1, con (validità del trattamento

Molte particelle in una sfera di Debye: λ

e

D D D

3

continuo/medio). ⇒

Poisson + relazione di Boltzmann schermaggio

Considero una piccola perturbazione di potenziale generata da una carica test. Poisson:

ϕ

ρ

2

∇ − −

= = ( )

e n n

,

ϕ ρ e

i

ε 0

≃ n

Assumo ioni quasi uniformi (n ) e elettroni Boltzmann:

0

i

eϕ

=

n n exp

e 0 k T

e

B

eϕ ≪

Per 1 linearizzo:

k T

e

B 2

eϕ n eϕ n e

0 0

≃ ⇒ ≃ − − −

+ =

n n e n n

1 ρ ϕ

e 0 0 0

k T k T k T

e e e

B B B

6

Inserendo in Poisson: 2

n e

1 0

2

∇ =

ϕ ϕ

k T

ε e

0 B

Definisco: s k T

ε e

0 B

=

λ D 2

n e

0

e ottengo: ϕ

2

∇ =

ϕ 2

λ D

La soluzione per una carica puntiforme è di tipo Yukawa:

− r/&