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Deformazione reale e deformazione nominale
LL=lnε ottengo che . Viene definita come deformazione reale perché fa riferimento allaL 0 >ε 0lunghezza istantanea. Se ho una sollecitazione di trazione . A parità di L ed L0 tracompressione e trazione cambia quindi solo il segno, i moduli sono uguali. Possiamo definiredLd e=la deformazione lineare nominale . In generale, in caso di deformazioni elasticheL 0(campo piccole deformazioni), è possibile trascurare la variazione di lunghezza rispetto alvalore iniziale, per cui la mia deformazione sarà nominale, poiché si fa riferimento allalunghezza iniziale e non a quella istantanea, e la deformazione lineare viene definitaL ed Lappunto deformazione nominale (o ingegneristica) e. Integrando tra ho che0L−L ∆ L0 =e= . Nel campo di piccole deformazioni quindi uso la deformazione nominale,L L0 0nel campo delle deformazioni finite devo considerare la deformazione lineare reale. NoiL ∆L L=ln −1=eε e=sappiamo
Quindi che e che da cui posso ricavare che da cui L L L0 0 0L =1+ e <=ln ( ε e, quindi la deformazione reale diventa ε 1+ e) L 0. Questa relazione mi lega la deformazione lineare reale con quella nominale. Se sono nel campo elastico utilizzo la deformazione lineare nominale (deformazione piccola: valori di eε εed pressochè identici), in caso di deformazione plastica uso ε. La deformazione reale totale sarà pari alla somma delle deformazioni parziali incrementali mentre la deformazione nominale totale è diversa dalla somma delle deformazioni nominali. Ossia i →i+1 0 → ni=0n−1∑ per le deformazioni reali e per quelle nominali. Ad esempio, posso e ≠ e+1i →i 0 →ni=0 immaginare che si debba schiacciare un pezzo cilindrico da un’altezza di 200 mm ad una di 100mm. Posso ottenere lo schiacciamento in un unico step, ponendo il pezzo sotto la pressa oppuretramite diversi passaggi: una prima deformazione (sono a Tamb quindi il materiale subisce incrudimento) seguita dal riscaldamento in un forno, faccio un trattamento per ridurre l'incrudimento, poi proseguo con una deformazione, ma non arrivo a quella desiderata per via dell'incrudimento, per cui lo rimetto nel forno, lo lascio raffreddare e lo ricomprimo arrivando all'altezza desiderata. Se considero la deformazione reale la somma ε delle di ciascun step mi fornisce l'ε ottenuta in un unico step. Se considero la deformazione nominale questa relazione non è vera. Il tecnologo che ha a che fare con le deformazioni plastiche considera solo le deformazioni e tensioni reali. Le tensioni nominali sono utili per graficare i risultati della prova di trazione e identificare il punto di inizio della strizione. 87) Deformazione volumetrica La deformazione volumetrica (dilatazione cubica) può essere descritta, facendo riferimento a un parallelepipedo.definito con una generica terna cartesiana x, y, z, dalla relazione( ) ( ) ( ) −xx 1+e y 1+ e z 1+e y z−xx y z y z∆ V [ ]0 x 0 y 0 z 0 0 0f f f 0 0 0 ( ) ( )( )= = = −1 . La lunghezza∆= 1+e 1+e 1+ ex y zV x y z x y z0 o 0 0 0 0 0del lato finale è legata alle deformazioni nominale: lo stato tensionale fa variare i lati. Nelcaso della deformazione elastica si ha lo stiramento dei legami interatomici checomporterebbe un allungamento in direzione del carico (caso trazione) a fronte di una∆sezione sostanzialmente invariata, per cui sarà >0. Nel caso di una deformazioneplastica si ipotizza di trascurare la deformazione elastica, quindi non c’è invece variazione divolume. L’ipotesi è plausibile poiché le deformazioni finite sono ben più grandi di quelleelastiche, per cui la variazione di volume introdotta dalla componente elastica è trascurabilerispetto all’effetto che producono le deformazioni
plastiche: deformazioni in cui una variazione in direzione del carico è accompagnata da altre per effetto Poisson in direzione ∆=0 ∆ ≠ 0 normale. Se sto parlando di deformazioni plastiche, se d deformazioni elastiche. Nel caso di deformazioni finite, ossia in campo plastico, trascuriamo la componente elastica della deformazione, per cui da cui x y z = 1+e 1+e 1+e. Applicando il ln ad entrambi i membri avremo che x y z = ln(1+e) ln(1+e) ln(1+e), che si può scrivere come ossia x y z + ε = 0ε ε. In termini di direzioni principali di deformazione l'equazione di continuità x y z + ε ε ε diventa . Di conseguenza in una lavorazione per deformazione plastica per definire lo stato di deformazione basterà definire due componenti della deformazione perché ∆= 1+e 1+e1+ela terza la si ricava da questa relazione. In campo elastico invece, x y z,trascurando i prodotti tra le deformazioni, essendo valori di ordine inferiore rispetto alledeformazioni stesse e ricordandoci che in campo elastico i valori di deformazione reale e+ +∆=ε ε ε εnominale sono simili, si ottiene che . Indicando come il valore medio dellax y z m + +εε ε ∆x y zdeformazione lineare, questo sarà legato alla dilatazione cubica .= =ε m 3 388) Criterio di von Mises e criterio di Tresca e tensione equivalente[I criteri di scorrimento, o criteri di crisi, sono relazioni essenzialmente empiriche confermateda osservazioni sperimentali. Lo stato di sollecitazione biassiale o triassiale viene tramitequeste ricondotto ad uno monoassiale che abbia lo stesso effetto di quello complesso,introducendo il concetto di tensione equivalente. L’esigenza nasce dal fatto chenormalmente il comportamento dei materiali viene
studiato con semplici prove di laboratorio, che hanno generalmente stati tensionali semplici e riproducibili (es: prova di trazione, tensione diversa da zero solo in direzione di applicazione del carico, deformazione nei tre assi per effetto Poisson). I criteri maggiormente accettati sono Von Mises e Tresca.
Secondo Von Mises (teoria dell'energia di distorsione) lo scorrimento del materiale avviene quando il secondo invariante del tensore delle tensioni raggiunge un valore critico:
σ12 + σ22 + σ32 + 2τ2 + 2τ2 + 2τ2 = kσ2
Nel caso di tensione monoassiale:
σ1 = σ2 = σ3 = σ
σ2 = 3σ2
La tensione di snervamento, nel caso di taglio puro, ossia τ = 0, è quindi:
σ0 = 0,577τ = 0,577σ
La tensione equivalente secondo Von Mises
è√0 031 √ [ ]2 2 2( ) ( ) ( )= −σ + −σ + −σσ σ σ σ . Analogamente, possiamo usare il criterio di Trescae 1 2 2 3 3 1√ 2(teoria della massima tensione tangenziale), che ci dice che lo scorrimento cristallino, ossiala deformazione plastica inizia quando la massima delle deformazioni tangenziali raggiunge−σσ 1 3 σun valore critico dove le sono la massima e minima tensione= =kτ max 2 −σσ σ −σ =σ1 3 0 σprincipale. In caso di trazione monoassiale da cui . In caso= = =kτ 1 3 0max 2 2−σ −(−τ )σ τ1 3 0 0=−σ =τσdi taglio puro, dove si avrà che . La tensione di= = =τ =kτ1 3 0 max 02 2 σ 0=τ =¿ksnervamento in torsione è quindi pari alla metà di quella in trazione: . La0 2=σ −σσtensione equivalente secondoTresca è . La tensione equivalente è stata ricavae 1 3σdalla per ciascun criterio sostituendola ad una generica tensione definita tensione0equivalente. In caso di generica terna sarebbero state presenti anche le componentitangenziali di tensione. 89) Deformazione equivalenteLa deformazione equivalente è una tensione monoassiale che si ottiene applicando unopportuno criterio partendo da uno stato di deformazione triassiale complesso, ricondottoquindi ad uno monoassiale equivalente. Sfruttando Von Mises, in particolare l’analogia con ilsecondo invariante del deviatore delle tensioni che definisce la tensione equivalente,l’incremento di deformazione equivalente viene così definito√ √2 2√ [ ]2 2 2( ) ( ) ( )= -d + -d + -d dove è stato scelto in modo che, per unod ε d ε ε d ε ε d ε εe 1 2 2 3 3 13 3=¿ ¿d ε d εstatodi tensione monoassiale, risulti che ε1 + ε2 + ε3 = 0. L'equazione di continuità, in termini infinitesimali, ossia δε1 + δε2 + δε3 = 0, dalla quale ricavo che δε1 + δε2 + δε3 = 0. Sviluppando il termine tra parentesi δε1 + δε2 + δε3 si ottiene: δε1 + δε2 + δε3 = -2δε1 + δε2 + δε3. Supponendo che i rapporti tra gli incrementi di deformazione rimangano costanti, essi saranno validi anche per i loro valori finiti. Considerazioni analoghePossono essere fatte con buona approssimazione relativamente alla velocità di deformazione equivalente, parametro importante per valutare i carichi necessari per eseguire la deformazione, sempre secondo Von Mises.
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