Richiami di aritmetica

ESPRESSIONI ARITMETICHE

Si dice espressione aritmetica un insieme di numeri naturali legati tra loro da

segni di operazioni.

Non tutte le operazioni indicate in un’espressione devono essere sempre eseguite

nell’ordine in cui si presentano. Ad esempio, nell’espressione

5 + 3 x 7

è errato eseguire la somma 5 + 3 e poi moltiplicare il risultato per 7.

Si deve invece prima eseguire la moltiplicazione 3 x 7 e dopo sommare 5 al risultato:

5 + 3 x 7 = 5 + 21 = 26

L’ordine di precedenza delle operazioni fin qui studiate, è il seguente:

1°) elevamento a potenza

2°) moltiplicazione e divisione

3°) addizione e sottrazione

Le operazioni che hanno lo stesso grado di priorità, come moltiplicazioni e divisioni,

si devono eseguire nell’ordine in cui sono indicate.

PARENTESI

Le parentesi servono ad alterare l’ordine di priorità delle operazioni, ossia per

indicare che le operazioni vanno eseguite in un ordine diverso da quello convenuto.

Supponiamo di voler moltiplicare la somma di 5 + 4 per il numero 3. Sarebbe

sbagliato scrivere 5 + 4 x 3

perché, come sappiamo, tale scrittura sta ad indicare che si deve eseguire prima la

moltiplicazione 4 x 3 e poi sommare il risultato a 5. Per indicare la necessità di

eseguire prima l’addizione 5 + 4 e poi la moltiplicazione per 3, si usano le parentesi

scrivendo: (5 + 4) x 3

già si sa che esistono parentesi di tipo diverso: tonde, quadre, graffe. Per togliere le

parentesi da un’espressione si dovranno quindi eseguire dapprima le operazioni

contenute nelle parentesi; si scriverà al loro posto il numero che rappresenta il

risultato delle operazioni. Infine quando l’espressione non conterrà più alcuna

parentesi, si procederà rispettando l’ordine delle diverse operazioni. 3

CRITERI DI DIVISIBILITA’

• Un numero è divisibile per due, se termina per zero oppure per cifra pari;

• Un numero è divisibile per tre, oppure per nove, se lo è la somma delle sue cifre;

• Un numero è divisibile per cinque, quando termina per zero oppure per cinque;

• Un numero è divisibile per quattro se lo è il numero formato dalle sue due ultime

cifre a destra o quando le ultime due cifre sono due zeri.

Un numero si dice primo se ha per divisori solo se stesso e l’unità; un numero non

primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere espresso come prodotto

di fattori primi. Esempio: 396 2

198 2

99 3

33 3

11 11

1 .

396 = 2² x 3² x 11

**Il minimo comune multiplo di due o più numeri è il minore tra i multipli dei

numeri dati.

[Per determinare il m.c.m. di due o più numeri, questi si scompongono in fattori primi

e poi si calcola il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola

volta col massimo esponente].

Ad esempio:

dati tre numeri 24 ; 72 ; 60 ; abbiamo :

24 = 2³ x 3 ; 72 = 2³ x 3² ; 60 = 2² x 3 x 5 .

m.c.m. = 2³ x 3² x 5 = 360

FRAZIONI

Nell’insieme dei numeri naturali la divisione fra due numeri non è sempre possibile,

per far si che esista, anche se il primo non è multiplo del secondo, introduciamo i

numeri razionali.

Nella frazione a / b i numeri a e b sono detti termini della frazione e precisamente a

è il numeratore e b il denominatore. 4

OPERAZIONE CON LE FRAZIONI

1) a / 0 è un’operazione impossibile;

2) 0 / a è uguale a zero;

3) 0 / 0 è una operazione indeterminata.

Moltiplicando o dividendo i due termini di una frazione per lo stesso numero, si

ottiene una frazione equivalente alla data.

Esempio: 2/3 = (2 x 4) / (3 x 4)

-------------------

* Per sommare due o più frazioni e per sottrarle occorre che esse siano frazioni con

lo stesso denominatore (minimo comune denominatore):

a) si riducono le frazioni ai minimi termini;

b) si cerca il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni ;

c) si cerca il quoziente tra il m.c.m. e il denominatore della prima frazione;

d) si moltiplica il numeratore della prima frazione per il quoziente trovato, ottenendo

così il nuovo numeratore;

e) si ripete l’operazione per la seconda frazione.

ESEMPIO: 2/3 + 3/4 =

m.c.m. (3, 4) = 12 ➔

2/3 = 8/12 ; 3/4 = 9/12

8/12 + 9/12 = 17/12

*Dalla moltiplicazione tra due o più frazioni, si forma una frazione che ha per

numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei

denominatori.

ESEMPIO: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2

***Per dividere una frazione per un’altra, si moltiplica la prima per l’inverso della

seconda.

ESEMPIO: 2/3 : 3/4 = 2/3 · 4/3 = 8/9

***Per elevare a potenza una frazione si eleva a potenza il numeratore e il

denominatore.

ESEMPIO: ( 2/3 )² = 4/9 5

NUMERI RAZIONALI RELATIVI

Nell’insieme dei numeri naturali non è sempre possibile eseguire una sottrazione. Se

si vuole dare un senso alla differenza tra due qualsiasi numeri, ricorriamo all’insieme

dei numeri razionali relativi. −

Diremo quindi che i numeri ai quali si premette un segno + o il segno si chiamano

numeri relativi.

OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

La somma di due numeri relativi concordi (con lo stesso segno) è il numero

relativo che ha lo stesso segno dei numeri e per valore assoluto la somma dei valori

assoluti. ESEMPIO: (+3) + (+5) = +8 ; (- 3) + (- 6) = - 9 ;

La somma di due numeri relativi discordi (con segni diversi) è il numero relativo

che ha il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la

differenza dei valori assoluti dei numeri. ESEMPIO:

(+8) + (-12) = -4 ; (-7) + (+3) = -4

Si dice prodotto di due numeri relativi il numero relativo che ha per valore

assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno il + o il – secondo che i due numeri

siano concordi o discordi.

La moltiplicazione di due numeri relativi si suole indicare con un puntino tra i fattori

racchiusi tra parentesi; quando non ci sia pericolo di confusione, questa scrittura si

semplifica ulteriormente tralasciando di scrivere anche il puntino. ESEMPIO:

(+3) · (-4) = -12 o anche +3 (-4) = -12

E’ bene insistere sulla regola dei segni del prodotto, secondo la quale quando i

fattori hanno lo stesso segno, il prodotto è positivo, quando i fattori hanno segno

contrario, il prodotto è negativo. Si suole dire che:

+ per + uguale +

+ per – uguale –

– per + uguale –

– per – uguale +

Se il prodotto di due fattori è uguale a zero, almeno uno dei fattori deve essere uguale

a zero.

Due numeri si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale a +1. 6

CALCOLO LETTERALE

Spesso in matematica si fa uso delle lettere dell’alfabeto al posto

dei numeri per scrivere formule, per esprimere proprietà di

carattere generale o per generalizzare un determinato problema.

Si dice espressione algebrica letterale, o semplicemente

espressione letterale ogni scrittura che indichi operazioni da

eseguire su numeri e lettere assegnati.

MONOMI

La più semplice espressione letterale è l’espressione monomia,

detta anche monomio; si dice monomio un’espressione letterale in

cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Il fattore numerico

viene detto coefficiente del monomio, le lettere costituiscono la

parte letterale del monomio.

• Due monomi sono uguali quando hanno lo stesso coefficiente e

la stessa parte letterale.

• Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

• Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue

lettere.

OPERAZIONI CON I MONOMI

* La somma (o la differenza) tra due monomi si può effettuare

solo se i due monomi sono simili, il risultato è sempre un

monomio simile ai dati che ha per coefficiente la somma algebrica

dei coefficienti. ESEMPI

1) 2 a²b + 3 a²b = 5 a²b

2) 4 ab³- 1/2 ab³ = 7/2 ab³ (7/2 = 4 – 1/2 7

* Il prodotto di due monomi è un monomio che ha per

coefficiente il prodotto dei coefficienti e per fattori letterali il

prodotto dei fattori letterali. ESEMPI

1) 3a · (- 5 ab³) = - 15 a²b³

2) (- 1/3 a²b) · (- 3/4 ab³) = 1/4 a³b c

* Per elevare a potenza un monomio , si eleva a quella potenza

sia il coefficiente sia la parte letterale. ESEMPI

1) (- 2 a²b)³ = - 8 a b³

2) (- 2/3 a b³)² = 4/9 a b

* Affinché un monomio sia divisibile per un altro è necessario

che il dividendo contenga tutte le lettere che figurano nel divisore

elevate ciascuna a un esponente maggiore o uguale a quello che

essa ha nel divisore.

1) (3a b²) : (7ab²) = 3/7 a³

2) (- 1/2 a b³c) : (3/2 a³c) = - 1/3 a²b³

Il minimo comune multiplo di più monomi è il monomio di grado

minimo che sia divisibile contemporaneamente per tutti i monomi

dati, avente per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti.

ESEMPIO

1) Il m.c.m. fra 20 a²b³ ; 35 a²b²c ; 15 ab³c³ è : 420 a²b³c³ 8

POLINOMI

Si dice polinomio la somma algebrica di due o più monomi.

• Si dice grado di un polinomio il massimo dei gradi dei termini

monomi che lo compongono.

• Si chiama grado di un polinomio rispetto a una data lettera

l’esponente maggiore con cui compare quella lettera nel

polinomio.

* Il prodotto di due polinomi è un polinomio i cui termini si

ottengono moltiplicando ciascun termine di uno dei due polinomi

per tutti i termini dell’altro. ESEMPI

1) (a + 1/2 b) · (3a²b – 2) = 3a³b – 2a + 3/2 a²b² - b.

2) (2a + 1/3 a²b – 3ab²) · (a – 2b) = 2a² - 4ab + 1/3 a³b – 2/3

a²b² - 3a²b² + 6ab³

PRODOTTI NOTEVOLI

Nel calcolo letterale spesso si incontrano moltiplicazioni tra

particolari polinomi, i risultati hanno forme particolari facilmente

memorizzabili. Questi prodotti si dicono prodotti notevoli.

* Quadrato di un binomio

( A + B )² = A² + 2 AB + B²

• questa uguaglianza si dice:

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine,

più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, più il

quadrato del secondo monomio. 9

ESEMPI

1) ( 2a + 3b )² = 4a² + 12 ab + 9b²

2) ( 3x – 4xy)² = 9x² - 24 x²y + 16 x²y²

* Prodotto della somma per la differenza di monomi

( A + B ) ( A – B ) = A² - B²

• questa uguaglianza si dice:

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è