Riassunto esame Statistica, Prof. Zenga Mariangela, libro consigliato Statistica descrittiva, G. Leti

Calcolo della mediana e spezzata di graduazione

NxMe= dove è la posizione centrale( )+1N 22 +1N 5+ 1 =175xPos(Me) MeEsempio: N=5 = = = 3 = ( )32 2Mediana con N pari =174xEsempio precedente con aggiunta di 6(ordino i valori) 170, 172, 174, 175, 180, 185In questo caso si avranno due posizioni centrali che saranno:N =x =x =174x=C  ( )( )( )C N 311 2 2N =x = =175x x= +1C  ( )( )( )C N 42 +12 2 2In questo caso, la mediana diventa il valore intermedio delle x nelle 2 posizioni centrali:+x x 174+175( ) ( )3 4Me= = =174.52 2In generale:1 ( )+x xMe= ( ) ( )N N2 +12 2 xSpezzata di graduazione: esprime come funzione di i.( )i¿x , x , … , xEsempio: ( = (5, 7, 8, 10, 11, 15)( ) ( ) ( )1 2 6 x ordinata“ e se volessi calcolare la in un punto intermedio come rappresentato nellaseconda figura?”Utilizzo la seguente formula:[ ]=x +h∗ −xx x FORMULA PER CALCOLO DI X ORDINATE CON N PARI( ) ( ) ( ) ( )i+h i i+1 iIpotizzando che si voglia trovare la x ordinata in corrispondenza a

1. 1.7: t=1.7 i=1 h=0.7
2. [ ] [ ]=x +0 -xx .7* x =65+0 . 7* 7-5 . 4= (prima moltiplichi e poi sommi)( ) ( ) ( ) ( )1 .7 1 2 1
3. Usiamo la spezzata di graduazione per trovare la mediana.Con N dispari non abbiamo problemi nel trovare la posizione centrale che sarà uguale+1Na 2Con N pari, invece, la formula precedente non darebbe un numero intero (ma con lavirgola). Per questo si utilizzerà la formula della spezzata di graduazione.+1 +1N N 1 6( )=⇒t= =3.5x i (h (i=3,= + ) N= 6 t= esempio:( )t 2 2 2 2h=0.5) [ ]=x +h* -xx x [ ]10-8= 8 + 0.5 * = 8+1= 9( ) ( ) ( )( )+1N 3 4 32(ho usato la formula della spezzata di graduazione per calcolare la mediana con N pari,questo risultato ovviamente coincide con quello trovato tramite la formula dell'"l'esempio numerico rende tutto più easy")mediana con N pari,I quartili, i decili ed i centiliI quartili: se si vogliono ordinare gli N valori ordinati in quattro

gruppi ciascuno dinumerosità pari bisogna determinare tre quartili:Ci sono tre quartili perché averne 4 nonavrebbe senso essendo il 100%. Il secondoquartile è uguale alla mediana.+1N =xQ¿ ¿QPos (  ( )1 N+11 4 4+12∗N =x =¿Q¿=Q MePos (  ( )2 N+12 4 2+13∗N =xQ¿=QPos (  ( )3 +13∗N3 4 4 +1N xQ QiIn generale Pos ( ) = * = ( )i∗N+1i i4 4DI decili , sono nove e dividono gli N valori ordinari in dieci gruppi aventi “laistessa” numerosità. Le posizioni dei decili sono fornite da:+1i∗N xD D iPos( ) = = = 1, 2, …, 9.( )i∗ N+1i i10 10 CIn alcuni casi può essere utile ricavare i centili che sono dati da:i+1i∗N =xC¿=CPos( i = 1, 2, …, 99.( )i +1i∗Ni 100 100Esempio: x= peso in kg di 10 pachhi arrivati in portineria +x x10+ 1 ( ) ( )=? i+1 i¿= =2.Q Q 75Pos ( ) 1 1 =x + ¿Q h4 1 2( )=2 +0Q .7 .75 2 . 8−2 . 7

2.7+0.075 = 2.77 1 iQ 2∗10+1Me= = ? Pos ( = 5 , h=0.5 ) ¿= =5.5 ¿2 Q 2 2( )=3.2+0.5Q 3.3−3.2 3.2+0.05= 3.25 2 3∗10+1=? ¿= =8.25Q Q i=8Pos ( ( , h=0.25 )3 3 4( )=4+0.25Q 4.15−4 4+0.0375= 4.0375 3 38∗11=? ¿= =4.18C C i=Pos ( ( 4 , h= 0.18)38 38 100( )=3.2+C 0.18 3.2−3.2 3.2+0= 3.238In questo caso anche logicamente si poteva arrivare al risultato che doveva esserex e x i=4.18) ecompreso tra (essendo ovvero: 3.2 3.2( ) ( )4 5La mediana nel caso di distribuzione di frequenzaCarattere qualitativo su scala ordinale MeB: Posizioni:n F: frequenze frequenzej j Pos(Me)=modalità assolute cumulateb n n da 1 a +1N1 1 1 n 21+nb n n nda2 2 1 2 1+1Fa 2 Esempio:… … … … N 151b n n =Nk k k spettatori diN uno spettacolox giudizio sullo spettacolo +1NPosizionix n F Pos(Me)= =j j j 2Scadent 46 46 1° - 46°e 151+1 =76Mediocr 38 84 47° - 84° 2e Mediana=

“mediocre”

Buono 52 136 85° - 136

Ottimo 15 151 137° - 151°

151

Carattere quantitativo discreto non in classe

• Posizioni: : frequenzex n : Ffrequenzej j jcumulatemodalità assolutex n F F1 –1 1 1 1−Fx n F F +12 2 2 1 2… … … … Esempio:x n F F +1 -k k k k−1 N=25N studentix n° fratelli

 25+ 1 =13MePos( ) =Posizionix n F 2j j j0 11 11 1 – 11 =1xMe = ( )131 6 17 12 – 172 7 24 18 - 244 1 25 2525Commento: il primo 50% della popolazione di studenti ha dichiarato di avere al più 1fratello.+3∗N 1 3∗25+1= = =19Q .5 i=( 19 , h= 0.5 )3 4 4Siccome sia 19 che 20 hanno lo stesso valore non c’è bisogno di calcolare la spezzatadi graduazione.= 2Q ( il primo 75% della popolazione ordinata ha dichiarato di avere al più 2 3fratelli ) 25+ 1=? ¿ =1=15.6D D DPos ( = 6 * 6 6 6495∗25+1 ( ) ( )=3+h −x =2+x x 0.7 4−2 . 4= =24.7C  ( ) ( ) (

42=4x¿=32.32CPos(  ( )32 32.32Carattteri quantitativi continui

Esempio: N=65 (spedizioni) x= peso (in kg)

Classi n a f F Posizionij j j j

150 |-- 4 15 4 15 1 – 15 Me=?=3.754 Pos(Me)=4 |-- 10 30 6 5 45 16 – 4510 |-- 20 20 10 2 65 46 – 656565+ 1 =332 ∈Me 4 |-- 1030= =5f j 6voglio distribuire egualmente le cinque unità presenti all’interno di ogni intervallounitario (4-5, 5-6, …)come faccio? (a dividere in cinque “pezzettini” ogni intervallo unitario)6∗1 =0.230:6=1:x x= 30Ora che ho “scorporato” la seconda classe calcolando il valore di ogni “intervallino”,sapendo che la posizione della mediana è pari a 33, mi basterà moltiplicare il valore diogni intervallino per il numero di posizioni mancanti per arrivare al valore dellamediana.Perciò sommo la prima classe che mi servirà intera più le parti mancanti per arrivare a33, ovvero 18, moltiplicande per il loro

valore.4+(18 * 0.2) = 7.6 ∈Me

Questo risultato ci dice che la mediana appartiene al mini-intervallo: 7.4 |--7.6 : Me= 7.5

In questo caso viene preso il valore centrale, perciò

Teoricamente: t (posizione mediana).

Devo individuare la classe dove cade la posizione

Simbologia:

• +¿ : estremo superiore della classe
• ¿l j−¿ : estremo inferiore della classe
• ¿l jn : frequenza assoluta della classe
• j+¿ −¿ : ampiezza della classe
• ¿ ¿=la lj j jF : frequenza cumulata della classe precedente
• j−1a j : ampiezza “intervallino” in cui cade una singola unità
• jt - F : posizioni mancanti
• j−1Devo determinare il valore del percentile( )−F ∗at −1j j−¿+1. n j¿l j( )∗at−F a1−1j j j−¿+ − 12. ( - ci serve per posizionare l’unità in mezzon 2 n 2j j¿l jall’intervallino)la formula definitva