Riassunto esame Statica, Prof. Galassi Stefano, libro consigliato Scienze delle costruzioni, Belluzzi

STATICA

Scienza che studia equilibrio dei corpi rigidi, quindi a prescindere dalle deformazioni dei corpi

equilibrio: assenza di movimento

• spost. orizz.
• spost. verticale
• rotazione attorno a un punto

C'è un rapporto CAUSA - EFFETTO:

GL=3

Su una struttura ci sono sempre carichi. Quindi: la struttura si muoverà? No, perché per impedirlo mettiamo i vincoli.

I sistemi di vettori si fanno equilibrio quando i momenti sono equivalenti e quindi sono sulla stessa retta d'azione (asse centrale).

Condizioni di equilibrio del corpo rigido nel piano

SISTEMA EQUILIBRANTE

R^(c) = - R⁽ⁿ⁾

m(o)^(c) = - m(o)⁽ⁿ⁾

R^(c) + R⁽ⁿ⁾ = 0

m(o)^(c) + m(o)⁽ⁿ⁾ = 0

Sistema di vettori nullo, che va ad azzerare tutte le forze

• R^($) = 0
• m(o)^($) = 0

EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

(equilibrio in termini di forze equilibrio in termini di momenti)

Posso scrivere R in componenti rispetto all'asse x e rispetto all'asse y

R^($) = R^($)_g

Calcolare le componenti di tutti i vettori in gioco, sia dei carichi che delle reazioni

Stessa struttura della volta scorsa

Scheda di equilibrio

• x₁ = 0
• x₂ = qe + ^qe/₂ → x₂ = ³/₂ qe
• x₃ = -^qe/₂

Il peso totale sulla trave equivalente al carico distribuito q, che per l' diventa concentrato.

Fatto il calcolo delle reazioni si fa una verifica sintetica-grafica per capire se le reazioni sono giuste.

Facciamo la verifica con il metodo grafico che R = 0 e m = 0.

Calcoliamo il risultante dei vettori q, e q_e perchè esso sarà ³/₂ verso il basso:

• q_e = ³/₂ q_e

Questo vettore trovato sta sull'asse centrale che si troverà nella parte di piano compresa tra i due vettori.

Per trovare l'asse centrale, prendo la distanza tra le due rette d'azione e lo divido in 3 parti uguali della retta centrale sta spostato verso sinistra perchè più vicino al vettore maggiore.

Considero il sistema di vettori fatto da ³/₂ q_e e ³/₂ q_e che formano una coppia di verso orario

• → ³/₂ q_e(^e/₂ e q) = ³/₂ q_e - q^e q²

Esercizio

Portale zoppo

Σ_i ξ_ix = 0

Σ_i ξ_iy = 0

Σ_i m(k) = 0

Scheda di equilibrio

X₃ è l'unica incognita

x₁ = 2ql

x₂ = qe

Verifica sintetica grafica → R = 0

m = 0

Vediamo ad occhio che R = 0 è verificata

m = 0 è verificata

Σ_if_ix = 0

Σ_if_gi = 0

Σ_im(κ) = 0

x₁ = 0

-qℓ^e + x₂ = 0

qℓ² + qℓ·^e·^e/2 - x₃ = 0

x₁ = 0

x₂ = qℓ

x₃ = 3/2 qℓ²

VERIFICA SINTETICO GRAFICA

R = 0

(qℓ²/2 - 3/2 qℓ² = 0 → m = 0

20/11/2023

Modello Strutturale

• Geometria
• Materiale
• Carichi
• Vincoli

Calcolo Reazioni dei Vincoli

Condizioni di Equilibrio

(tutti i metodi di calcolo sfruttano queste condizioni)

• R = 0
• m = 0

• R_x = 0
• R_y = 0

• ∑_if_ix = 0
• ∑_if_iy = 0
• ∑_im(_i) = 0

Procedimento Generale

• Sistema 3x3
• Interpretazione dispositivi interni
• Interpretazione della struttura
• Equazioni di equilibrio
• Incognite statiche

Metodo EQ. Ausiliarie

• Sconnessione
• 1 solo corpo n = 1
• 3 + G_s = G_L
• Reazioni dei vincoli esterni G_ve

Studio caratteristiche di sollecitazione (sforzi interni)

Forza normale

positiva se provoca trazione (quindi tende ad allungare il corpo)

Sforzo di taglio

positivo se provoca rotazione oraria

Momento flettente

⊕ se allunga le fibre a destra del verso di percorrenza

Convenzione da utilizzare

Tratto AB (0 ≤ x ≤ l)

• ∑ f_ix = - ⁵/₈ qe + qx + T(x) = 0

• ∑ f_iy = N(x) = 0

• ∑ m_s1 = - ⁵/₈ qe∙l∙x - qx ∙^x/₂ + M(x) = 0

T(x) = -qx + ⁵/₈ qe Funzione lineare

N(x) = 0 Funzione costante

M(x) = -qx²/₂ + ⁵/₈ qex Funzione parabolica

Tratto BD (0 ≤ x ≤ l)

• ∑ f_ix = - ⁵/₈ qe + q + N(x) = 0

• ∑ f_iy = -qx - T(x) = 0

• ∑ m_s2 = - ⁵/₈ qe∙l∙t + qe∙l∙^x/₂ + qx∙^x/₂ + M(x) = 0

N(x) = - ³/₈ qe Funzione costante

T(x) = - q Funzione lineare

M(x) = -qx² + q² Funzione parabolica

C

F = 9q l

Gνe = 3? Sì

Posso procedere con i calcoli

METODO ANALITICO

x₃ √2 / 2

45° x₃

x₃ √2 / 2

x₁

x₃

x₁

x₃ √2

• ∑ f_jx: x₂ - x₃ = 0 → x₂ = 9q ℓ/2
• ∑ f_iy: x₁ - 9q ℓ + x₃ = 0 → x₁ = 9q ℓ/2
• ∑ mix: -9q ℓ/2 ℓ/2 + x₃ ℓ = 0 → x₃ = 9q ℓ/2

Possiamo ragionare in entrambi i modi: il 2° è più comodo così nelle eq. non compare √2 ma solo x₃ (perché considero le componenti x e y in quanto sono uguali perché ho 45°)

Verifichiamo:

√2 /2 9ql

x₃ √2 /2 9ql

le reazioni sono corrette.

• R = 0
• m = 0

METODO GRAFICO

qℓ √2 â

q ℓ √2 /2

qℓ √2

qℓ √2 /2

45°

S

h

a.c.

F = 9q ℓ

invece che il vettore qℓ considero il sistema di vettori rosa, ossia B e sue componenti rispetto alle rette d'azione

N(x+dx) = N(x) + d N(x)

T(x+dx) = T(x) + d T(x)

M(x+dx) = M(x) + d M(x)

Abbiamo espresso N.T.M della sezione x₁ in funzione della sezione x

Σ i f_ix + N(x) + q_n dx + N(x) + d N(x) = 0

d N(x)_/dx = - q_n

1^a eq. di equilibrio indefinita

Σ i f_iy = T(x) - qt dx - T(x) - d T(x) = 0

T(x) = - qt dx

d T(x)_/dx = -qt

2^a eq. di equilibrio indefinita

Σ i m_i(G) = -T(x)_. dx_/2 - M(x)-(T(x_.) dx_/2 - T(x_.) d t dx_/2 ...

- M(x_.) + d M(x) = 0

-T(x)_. dx + d M(x)_. T(x)_. dx

Ci dice che M_MAX dove T = 0

d M(x)_/dx = T(x)

3^a eq. di equilibrio indefinita

1^° La derivata dello sforzo normale rispetto all’asse x della trave è uguale al carico assiale cambiato di segno

2^° La derivata del Taglio rispetto all’asse x della trave è uguale al carico tagliante cambiato di segno

3^° La derivata del momento rispetto all’asse x della trave è uguale alla funzione taglio

Confronto 2^° e 3^°. Sostituisco nella 2^°

d_/dx d M(x)_/dx = - qt

d²M(x)_/dx² = -qt

Equione diretto tra la funzione momento e il carico tagliante