Riassunto esame Microeconomia, Prof. Busetto Francesca, libro consigliato Microeconomia, Varian

Capitolo 8: EQUAZIONE DI SLUTSKY

Un bene normale è sempre ordinario ma non vale il viceversa.

Un bene di Giffen è sempre inferiore ma non vale il viceversa.

L’equazione di Slutski è sempre verificata, è un’identità.

L’analisi che svilupperemo ci consentirà di stabilire delle precise relazioni tra i concetti

di bene normale e inferiore, da un lato. E i concetti di bene ordinario e di Giffen,

dall’altro.

Partiamo da una terna di parametri iniziale, p1, p2, m. '

Supponiamo che vari solo il prezzo di x1, che passa a un valore .

p 1

Quando varia il prezzo di un bene (in questo caso, se varia p1), abbiamo 2 effetti:

a) varia il rapporto di scambio di mercato, p1/p2 (inclinazione della retta di bilancio

'

p

p 1

in valore assoluto), −→

p p 2

b) varia il potere d’acquisto del consumatore, a parità di reddito monetario m.

è aumentato il potere d’acquisto della moneta a disposizione del consumatore: la

quantità di denaro rimane invariata, ma la quantità di beni presenti nel mercato si

modifica.

Supponiamo, per cominciare, che il prezzo di x1 diminuisca: p1>p’1, ∆p1=p1’-p1<0

si tratta di una variazione discreta (o finita).

EFFETTO SOSTITIZIONE—>

Primo effetto: variazione della domanda del bene per

effetto della variazione del saggio di scambio tra i due beni (varazione nel rapporto tra

i prezzi, a parità di potere d’acquisto).

Si riduce l’inclinazione della retta di bilancio in valore assoluto (si riduce cioè il saggio

al quale il consumatore può scambiare x1 con x2 sul mercato; il bene x1 è diventato

meno caro di prima rispetto al bene x2).

EFFETTO DI REDDITO—>

Secondo effetto: Variazione della domanda del bene per

effetto dell’aumento del potere d’acquisto del cosumatore (a rapporto tra i prezzi

costante).

Il reddito monetario rimane fisso al valore iniziale m, ma con lo stesso reddito

monetario il consumatore può acquistare quantità maggiori di beni.

<

’ ’

p ( )

− =∆ ¿

p p p p 0

1

1 1 1 1

variazione complessiva della domanda di

¿

’ −x =∆

x x

1 1 1

conseguente a una riduzione del prezzo

x p

1 1

Ciò è possibile scomponendo la variazione dei prezzi: in primo luogo faremo variare i

prezzi relativi aggiustando il reddito monetario in modo da tenere costante il potere

d’acquisto, successivamente fermo variare quest’ultimo munendo costanti i prezzi

relativi.

Rotazione e spostamento: quando varia il prezzo del bene 1 e il reddito rimane

invariato, la retta di bilancio ruota attorno all’asse verticale. Ciò avviene in 2 fasi:

dapprima la retta di bilancio ruota attorno al punto corrispondente alla scelta iniziale e

successivamente si sposta verso destra in direzione del nuovo paniere domandato.

1

La variazione complessiva della domanda del bene x1, Δx1, dovuta alla variazione del

suo prezzo, può essere scomposta:

- in una variazione dovuta esclusivamente alla variazione nel rapporto fra i prezzi

p1/p2 (inclinazione della retta di bilancio), a potere d’acquisto costante,

- e in una variazione dovuta esclusivamente alla variazione del potere d’acquisto (a

prezzi costanti).

In altri termini, consideriamo separatamente i due effetti della variazione in p1 sulla

domanda di x1.

Per prima cosa, vogliamo isolare l’effetto provocato sulla domanda di x1 dalla

variazione nell’inclinazione della retta di bilancio p1/p2.

Dobbiamo allora eliminare (se preferite questo termine, neutralizzare) in un primo

momento, l’effetto provocato sulla domanda di x1 dalla variazione nel potere

d’acquisto conseguente alla variazione in p1.

(Ricordate che nel caso che stiamo analizzando, il prezzo p1 è diminuito, quindi il

potere d’acquisto del consumatore è aumentato).

Come facciamo?

Aggiustiamo il reddito monetario m – lo riduciamo – in modo tale da compensare

l’aumento del potere d’acquisto dovuto alla riduzione in p1 e da lasciare quindi

inalterato il potere d’acquisto del consumatore al livello iniziale.

Cosa significa lasciare il potere d’acquisto inalterato al livello iniziale?

Significa che, se ai prezzi iniziali p1 e p2, impiegando tutto il reddito m, il consumatore

poteva acquistare il paniere ottimale X*= (x1*, x2*), la variazione compensativa del

reddito monetario deve essere tale che, alla nuova coppia di prezzi (p1’, p2)

(ricordatevi che p2 resta fisso, cambia la coppia e quindi il rapporto fra i prezzi), con il

nuovo reddito – che indichiamo con m’ – il consumatore può ancora acquistare X*.

Ve lo dico in altro modo:

In corrispondenza della terna iniziale p1, p2, m, il consumatore sceglie X*.

Il prezzo di x1 si riduce da p1 a p1’. Il potere d’acquisto aumenta.

Aggiustiamo il reddito portandolo da m a m’ - lo riduciamo - in modo tale che il

consumatore possa ancora acquistare X* ai nuovi prezzi p1’, p2, impiegando tutto il

reddito m’. Vediamo cosa succede dal punto di vista grafico.

La retta di bilancio iniziale è quella rossa associata ai

parametri iniziali p1, p2, m. X* è il paniere ottimale iniziale su

quella retta.

Quando il prezzo di x1 passa a p1’, otteniamo la retta finale

nera continua, associata ai parametri p1’, p2, m. Il punto di

ottimo su quella retta è X’= (x1’, x2’).

Compiere quell’operazione di aggiustamento del reddito che ci consente di mantenere

il potere

d’acquisto del consumatore costante equivale a considerare una retta di bilancio

associata ai parametri p1’, p2, m’, che ha la stessa inclinazione della retta finale nera

(p1’/p2) e passa per il punto X*. Nella figura è la retta azzurra.

2

La retta azzurra è ottenuta facendo ruotare la retta rossa iniziale intorno al punto di

ottimo iniziale X* in modo tale che assuma inclinazione p1’/p2. Il reddito su quella

retta corrisponde a m’ (vedremo successivamente come si determina).

Il potere d’acquisto del consumatore viete tenuto inalterato al livello iniziale.

In corrispondenza della retta azzurra, il punto di ottimo del consumatore non è più X*.

Il

consumatore si sposta in )

X °=( x 1 ° , x 2 °

x1* è x1(p1, p2, m)

X1° è x1(p1’, p2, m’) (sto usando la funzione di domanda di x1).

Quindi

x1(p1’, p2, m’) - x1(p1, p2, m)

rappresenta la variazione nella domanda di x1 dovuta esclusivamente alla variazione

nel rapporto fra i prezzi, mentre il potere d’acquisto del consumatore è tenuto

costante al livello iniziale. Chiamiamo questa variazione EFFETTO DI

s

SOSTITUZIONE e la indichiamo con ∆ x .

1

Allora, abbiamo isolato l’effetto sulla domanda di x1 dovuto alla variazione nel

rapporto fra i prezzi da p1/p2 a p1’/p2, a potere d’acquisto costante.

Adesso consideriamo l’effetto sulla domanda di x1 dovuto esclusivamente alla

variazione nel potere d’acquisto del consumatore (tenendo i prezzi fissi a p1’, p2).

Avevamo eliminato l’effetto sulla domanda dovuto alla variazione nel potere

d’acquisto conseguente alla riduzione in p1 facendo variare il reddito di Δm=m’-m

(avevamo ridotto il reddito da m a m’).

Ora consideriamo la variazione con segno opposto, - Δm =m-m’: riportiamo cioè il

reddito da m’ a m (con i prezzi fissi a p1’, p2) e vediamo come varia di conseguenza la

domanda di x1.

Da un punto di vista grafico, consideriamo lo spostamento della retta di bilancio dalla

posizione della retta azzurra alla posizione della nera continua, la retta finale,

associata ai parametri p1’, p2, m. (Se preferite, possiamo dire che la retta azzurra

subisce una traslazione parallelamente a sé stessa fino alla nera continua).

Il punto di ottimo del consumatore sulla retta nera continua è X’ (x1’ è x1(p1’, p2,

m)).

x1(p1’, p2, m) - x1(p1’, p2, m’)

rappresenta la variazione nella domanda di x1 dovuta alla variazione del potere

d’acquisto del

consumatore (con p1’, p2 fissi). Chiamiamo tale variazione EFFETTO DI REDDITO e

n

la indichiamo con ∆ x .

1

In definitiva, lo spostamento della retta di bilancio dalla rossa alla nera continua (lo

stesso che è

rappresentato nella prima figura di questo file) può essere scomposto in una rotazione

della retta iniziale (la rossa) intorno al punto X* fino a che essa assume inclinazione

p1’/p2, e in uno spostamento (dalla retta azzurra alla nera continua) dovuta

all’aumento del potere d’acquisto del consumatore.

In termini analitici, la variazione complessiva nella domanda di x1 conseguente alla

s

variazione nel suo prezzo, Δx1, è data dalla somma dell’effetto di sostituzione, ∆ x ,

1

n

e dell’effetto di reddito, ∆ x 1

s n

=∆ +∆

∆ x x x

1 1 1

l’Identità di Slutski

Questa è . Vale sempre. Infatti:

3 ( ) ( )

’ s n ’

( ) ( ) ( )

=x −x =∆ + =x −x +[ −x ( )]

∆ x p , p ,m p , p , m x ∆ x p , p , m’ p , p , m x p ‘ , p , m p ’ , p , m’

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

Vi spiegherò ora come si calcolano Δm, la variazione compensativa del reddito, e m’,

vi parlo del segno di effetto di sostituzione e effetto di reddito e vi introduco la Legge

della domanda e gli altri risultati che vi ho anticipato sulle relazioni fra i concetti di

bene normale e bene inferiore, da un lato, e bene ordinario e bene di Giffen, dall’altro

Come si determina la variazione compensativa del reddito, Δm=m’-m, e

conseguentemente m’.

Riprendiamo la figura introdotta nel file precedente

La retta di bilancio iniziale è quella rossa, associata ai parametri iniziali p1, p2, m.

X*=(x1*, x2*) è il paniere ottimale iniziale, su quella retta.

I valori ottimali iniziali, x1*, x2*, associati ai parametri p1, p2, m, soddisfano quindi

l’equazione:

¿ ¿

+ =m

p x p x

1) 1 1 2 2

Per costruzione, x1*, x2* si trovano anche sulla retta nera tratteggiata, associata ai

parametri p1’, p2, m’.

Quindi soddisfano anche l’equazione:

¿ ¿

+ =m’

p’ x p x

2) 1 1 2 2

Sottraendo la 1) dalla 2), otteniamo: p’

¿

1

¿ 1− p ¿

¿

¿ ¿

p x

Quindi ∆� = �′ − � = ∆ 1 1

Questa è la variazione compensativa del reddito, quella che permette di mantenere il

potere d’acquisto del consumatore inalterato al livello iniziale.

E allora: ¿ +m

∆ p x

�′ = 1 1

Questo è il valore del reddito (corrispondente alla retta nera tratteggiata), in

corrispondenza del quale il potere d’acquisto del consumatore è inalterato al livello

iniziale.

Vedete che ∆� ha sempre lo stesso segno di ∆�1. Abbiamo visto che, se p1

diminuisce, il potere d’acquisto del consumatore aumenta, quindi dobbiamo ridurre il

reddito per mantenere il potere d’acquisto al livello iniziale. In questo caso ∆�1 e ∆�

sono entrambi minori di zero.

4

Se p1 aumenta, a parità degli altri parametri, il potere d’acquisto del consumatore

diminuisce, quindi dobbiamo aumentare il reddito per mantenere il potere d’acquisto

al livello iniziale. In questo caso ∆�1 e ∆� sono entrambi maggiori di zero.

il segno dell’effetto di sostituzione.

s

L’effetto di sostituzione Δ ha sempre segno opposto al segno della variazione

x 1

del prezzo ∆�1.

Argomentiamo questo punto in termini grafici.

Consideriamo la figura seguente:

La figura riflette il caso che stiamo analizzando, quello in cui il prezzo

di x1 diminuisce.

L’effetto di sostituzione ha segno opposto al segno di ∆�1 se il punto

di ottimo sulla retta tratteggiata, l’Xo della figura precedente, si

trova sul segmento alla destra del punto di ottimo iniziale e quindi

x1° si trova alla destra di x1* sull’asse delle ascisse.

Se, al contrario, X° si trovasse sul segmento alla sinistra di X* (x1° sarebbe alla

sinistra di x1*), X° sarebbe all’interno dell’insieme di bilancio iniziale. Si genera allora

una contraddizione logica: il consumatore sceglie un paniere che avrebbe potuto

acquistare in corrispondenza della terna di parametri iniziale e che aveva scartato in

favore di X*. La contraddizione è quindi con la premessa che X* sia il paniere ottimale

iniziale e con l’ipotesi di razionalità stessa del consumatore.

Di conseguenza, x1° non può che stare alla destra di x1* e l’effetto di sostituzione non

può che avere di conseguenza segno opposto al segno della variazione del prezzo (un

ragionamento del tutto analogo si applica ovviamente nel caso in cui p1 invece che

diminuire aumenti).

segno dell’effetto di reddito.

L’effetto di reddito ha segno opposto al segno di ∆�� se il bene è normale.

L’effetto di reddito ha lo stesso segno di ∆�� se il bene è inferiore.

Abbiamo visto che ∆� ha sempre lo stesso segno di ∆�1. ∆� = �′ − � è la variazione

che otteniamo quando portiamo il reddito da m a m’.

L’effetto di reddito è

n ( )

=x −x (

∆ x p ‘ , p , m p ’ , p , m’)

1 1 1 2 1 1 2

Si vede chiaramente dalla sua espressione che l’effetto di reddito è la variazione nella

domanda che si ottiene quando portiamo il reddito da m’ a m e i prezzi restano fissi.

n

Quindi è la variazione nella domanda associata a −∆� = � − �′.

∆ x 1

Allora, se il bene è normale, e la domanda varia nella stessa direzione del reddito,

n dovrà avere lo stesso segno di −∆�, di conseguenza segno opposto a ∆� e

∆ x 1

segno opposto a posto a ∆�1 (che ha sempre lo stesso segno di ∆�). n

Se il bene è inferiore, e la domanda varia in direzione opposta al reddito, dovrà

∆ x 1

avere segno opposto a −∆�, di conseguenza lo stesso segno di ∆� e lo stesso segno

di ∆�1 (che ha sempre lo stesso segno di ∆�).

5

Dimostriamo allora la Legge della domanda:

Legge della domanda: se la domanda di un bene aumenta all’aumentare del

reddito, la domanda di quel bene dovrà diminuire all'aumentare del suo prezzo.

È una conseguenza diretta dell’equazione Slutsky: se la domanda aumenta

all’aumentare del reddito, siamo in presenza di un bene normale. Perciò l’effetto di

sostituzione è l’effetto di reddito si rafforzano a vicenda m ed un aumento del prezzo

ridurrà inequivocabilmente la domanda.

Un bene normale è sempre un bene ordinario.

La premessa (l’ipotesi iniziale) è: il bene è normale. L’implicazione è: il bene è

ordinario.

Si dimostra utilizzando l’Identità di Slutsky:

s n

=∆ +∆

∆ x x x

1 1 1

Si parte ovviamente dalla premessa: il bene è normale. Se il bene è normale, l’effetto

di reddito

n ∆ p

ha segno opposto a

∆ x 1

1 s ∆ p

L’effetto di sostituzione ha sempre ha sempre segno opposto a

∆ x 1

1

s n ∆ p

hanno entrambe segno opposto a

∆ x e ∆ x 1

1 1

∆ x ∆ p .

Quindi avrà anch’essa segno opposto a Ma questo significa che il bene è

1 1

ordinario, come

volevamo dimostrare, perché se Δx1 e ∆�1 hanno segno opposto ovviamente la

domanda varia in

direzione opposta al prezzo.

Dimostriamo che non vale il viceversa.

Un bene ordinario non è necessariamente un bene normale.

Partiamo dalla premessa: il bene è ordinario. Se il bene è ordinario, Δx1 avrà segno

opposto a ∆�1.

L’effetto di sostituzione Δx1s ha sempre segno opposto a ∆�1.

Questi segni di Δx1 e Δx1s implicano che anche Δx1n abbia segno opposto a ∆�1 e il

bene sia normale?

No, non necessariamente. Δx1n può avere segno opposto a ∆�1 e il bene in questo

n

caso è normale. Ma può avere anche lo stesso segno di ∆�1, e in questo caso il

∆ x 1

bene è inferiore. Questo secondo caso può verificarsi se, in valore assoluto, l’effetto di

sostituzione è maggiore dell’effetto di reddito in valore assoluto, ossia se l’effetto di

sostituzione è più intenso dell’effetto di reddito.

Diciamo in questo caso che l’effetto di sostituzione domina l’effetto di reddito:

| |

| | | |

s n

> ¿ ∨¿

∆ x ∆ x .

1 1

Dimostriamo ora che un bene di Giffen è sempre un bene inferiore.

Si usa sempre l’identità di Slutsky.

La premessa è: il bene è di Giffen. Se il bene è d Giffen Δx1 ha lo stesso segno di ∆�1.

L’effetto di sostituzione ha sempre segno opposto a ∆�1.

6

Conseguentemente, l’effetto di reddito non può che avere lo stesso segno di ∆�1 e

| |

| | | |

n s

quindi il bene non può che essere inferiore (vale in questo caso ∥ e si

> ¿ ∨¿

∆ x ∆ x .

1 1

dice che l’effetto di reddito domina l’effetto di sostituzione).

Dimostriamo che non vale il viceversa: Un bene inferiore non è necessariamente un

bene di Giffen.

Partiamo dalla premessa: il bene è inferiore, e quindi l’effetto di reddito ha lo stesso

segno di ∆�1.

L’effetto di sostituzione ha sempre segno opposto a ∆�1.

Questi segni di effetto di reddito e effetto di sostituzione implicano n