Riassunto esame Meccanica delle terre, Prof. Callisto Luigi, libro consigliato Lezioni di meccanica delle terre, Luigi Callisto

MECCANICA DELLE TERRE

[9 CFU] prof. Luigi Callisto

L'ingegnere geotecnico studia l'interazione tra le costruzioni e il terreno su cui si fondano. Per studiare il comportamento meccanico si usa la meccanica del continuo. Il terreno non si può ritenere un mezzo continuo (in particolare con la presenza di pori vuoti o riempiti d'acqua), ma a grande scala è assunto come tale.

Da ricordare che il peso specifico dell'acqua è: \( \bar{\gamma}_w = 9,81 \, kN/m^3 \)

A1 - Identificazione e classificazione delle terre

• Origine delle terre e criteri di classificazione

Terre → derivano dalla degradazione della roccia madre, che viene ridotta a un insieme di particelle.

Una terra si presenta quindi come un aggregato di particelle. Le deformazioni sono dovute principalmente a una modifica della posizione relativa tra i granuli (assumendo singoli granuli rigidi e trascurabile).

Le parti solide non possono occupare tutto lo spazio → sono presenti vuoti (pori) che sono riempiti parzialmente o totalmente di acqua.

Le dimensioni delle particelle sono misurate sul diametro della sfera equivalente.

Nel definire il comportamento meccanico, si definiscono le dimensioni delle particelle che variano di molti ordini di grandezza. Si definisce il limite di visibilità a 0,1 mm (particelle di dimensioni maggiori sono visibili a occhio nudo, dimensioni minori a livello di microscopio).

Come si forma una terra? Deriva dalle fasi di alterazione della roccia madre.

• Processi fisici: (dilavamento, erosione, cicli gelo-disgelo, escursioni termiche) Riduciamo le particelle a dimensioni fino a 0,1 mm.
• Processi chimici: (soluzione, idratazione, idrati e ossidazione) Riduciamo le particelle a dimensioni inferiori a 0,1 mm.

Se le particelle così ottenute non subiscono trasporto, si forma un deposito residuale (raro). Nella maggior parte dei casi il trasporto è poi deposito in ambiente acquatico, (si potrebbe avere degrado e quindi la formazione di una roccia sedimentaria).

Le particelle diventano sempre più piccole al procedere dei processi di alterazione

• Si introduce il concetto di superficie specifica → superficie esterna S della particella per unità di peso W (S/w) proporzionale

quindi al diminuire della dimensione delle particelle la superficie specifica cresce molto rapidamente.

(particelle di piccole dimensioni più vulnerabili ai processi di alterazione chimica)

Figura A.1.2 - Andamento della superficie specifica in funzione del diametro

• Grana grossa → dimensioni superiori a 0,1 mm → interazione tra le particelle di tipo meccanico
• Grano fine → dimensioni inferiori a 0,1 mm → interazione governata dai fenomeni elettrochimici.

Inoltre a partire da dimensioni delle particelle è importante considerare lo spazio interstiziale libero (pori):

• Un sistema con maggiori vuoti risulta più deformabile di un sistema chiuso.

● Struttura dei minerali argillosi

La maggior parte dei terreni a grana fine hanno particelle di dimensione inferiori ai 2 mm → particelle argillose.

• La struttura molecolare è costituita da reticoli bidimensionali sovrapposti e in cui vi è una delle due unità fondamentali:
• Unità tetraedrea: silicio al centro e 4 ioni ossigeno
• Unità ottaedrea: alluminio o magnesio al centro e sei ossidrili

Queste unità fondamentali sono collegate da forti legami di tipo ionico, formando pacchetti elementari; i quali a loro volta originano particelle argillose con legami piuttosto deboli.

La particella è elettricamente neutra ma:

• Cariche positive concentrate verso l’interno
• Cariche negative distribuite sulla superficie

Si crea uno sbilanciamento di carica, che tende a orientare le molecole d’acqua:

• La particella esterna rivestita di strati d’acqua legati alla particella (acqua adsorbita); è una parte integrante della particella stessa (meno permea nei pori)

Dimensione e limiti di consistenza sono proprietà intrinseche di un terreno e quindi non variano per effetto di un processo di carico

• Si modificano invece la posizione relativa tra particelle (variabile di stato)

Lo stato del materiale si classifica diversamente per terreni a grana grossa/fine:

Per terreni a grana grossa si confronta l’indice dei vuoti corrente e con gli indici dei vuoti di riferimento e_max e e_min

e = emin e_min < e_D<en2ax

^max e_max = 0^{Dr (densità relativa)} = E_max - e

²             e_max - e_min

Per i terreni a grano fine la classificazione dello stato si basa al confronto tra il contenuto d’acqua corrente w e quello di riferimento (ovvero i limiti di Atterberg) w_p e w_l

_{solido      plastico                wl - w}

  —————————>                _{Indice di consistenza}

1. ^w-W _p
2. ^w_Ip

Poichè tipicamente i terreni a grana fine rientrano in I_p, vorrà dire che nella maggior parte dei casi I_c varia tra 0 e 1

In simboli: ∇·∇h = 0 ovvero ∇²h = 0

il laplaciano della funzione h è nullo

Per esteso ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y² + ∂²h/∂z² = 0

l'equazione di Laplace (o di governo!) poichè governa il moto di filtrazione

in condizioni tridimensionali

Soluzione dell'equazione di Laplace

L'equazione di Laplace è differenziale nell'incognita h (x, y, z) e va risolta con delle condizioni al contorno

La risoluzione fornisce la distribuzione spaziale di h in tutto il dominio di filtrazione, da cui ottengo la distribuzione

delle pressioni interstiziali.

Dalla soluzione ricavo due famiglie di superfici o curve:

• isopiezie: luogo di punti a carico idraulico costante
• linee di flusso: tangenti in ogni punto al vettore velocità di filtrazione; sono le traiettorie del moto equivalente

Se le condizioni sono idrostatiche (V = 0) le derivate spaziali del carico sono ovunque nulle e quindi il carico è

costante nello spazio

(caso dentro al serbatoio)

Figura A2.8 - Distribuzione del carico idraulico e delle pressioni interstiziali in un deposito di terreno nel caso di

condizioni idrostatiche.

Moto monodimensionale

(asse x = direzione filtrazione)

d²h/dx² = 0

(non ho moto nelle altre due direzioni)

Quando h varia linearmente con z h(z) = A + Bz

(ho un'equazione lineare)

dove A e B dipendono delle condizioni al contorno

Quindi con questo metodo l'equazione di Laplace diventa:

_{h1 – 2ho + h3}/_Δx² + _{h4 – 2ho + h2}/_Δz² = 0

Se scelgo una griglia in cui Δx = Δz (lo chiamo Δ)

_{h1 – 2ho + h3}/_Δ² + _{h4 – 2ho + h2}/_Δ² = 0

quindi -4h_o + h₁ + h₃ + h₄ + h₂ = 0

h_o = (h₁ + h₂ + h₃ + h₄)/4

il valore di h_o risulta pari alla media dei valori di h nei nodi adiacenti

Posso scrivere l'equazione di continuità in O attraverso le portate q che transitano nei tubi fittizi corrispondenti alle aree di influenza:

somma delle portate entranti (q_2-o + q_3-o) eguaglia la somma delle portate uscenti (q_o-4 + q_o-1)

q_2-o + q_3-o = q_o-4 + q_o-1

e utilizzando Darcy:

k^*_{ho – h2}/_Δx Δz + k^*_{h3 – ho}/_Δx Δz = k^*_{ho – h4}/_Δx Δz + k^*_{ho – h1}/_Δx Δz

Se voglio trovare il carico su un contorno impermeabile, l'ampiezza del tubo di flusso parallelo al contorno si va a dimezzare

Quindi i valori di h in ciascun nodo si ottengono risolvendo un sistema lineare algebrico

In ciascuno dei nodi scrivo una corrispondente equazione lineare; ai nodi appartenenti a contorni a carico idraulico noto assegno direttamente i valori di h

Su Excel il calcolo è fatto con la risorsa obiettivo