Riassunto esame Materiali per l'aeronautica e lo spazio, Prof. D'amore Alberto, libro consigliato Scienze e ingegneria dei materiali, Shackelford

C

ecc)/volume. è la diffusività di materia. Dimensionalmente [D]=[l /t]. Nel sistema

2

D

internazionale è espressa in [m /s].

2

In condizioni monodimensionali l’equazione può essere scritta in termini scalari;

끫븪끫븪

끫롺 −끫롮

=

끫룊 끫븪끫븪

Figura 3. La prima legge di Fick definisce il flusso di materia in un punto .

Il gradiente di concentrazione è negativo (nella figura) ed il flusso è positivo (ovvero

diretto lungo la direzione positiva dell’asse x). In altre parole, in analogia con il flusso

termico nella conduzione del calore (il calore viaggia da temperature alte a temperature

basse), il flusso di materia “viaggia” da concentrazioni alte a concentrazioni basse.

Per inciso la legge della conduzione o legge di Fourier si scrive:

끫뤤 −끫롼끫붂끫뢰

=

끫뤤 끫붂끫뢰

Dove è il flusso termico conduttivo (un vettore) , K la conduttività termica è il

e

gradiente di temperatura. Nel sistema internazionale [K]=[Joule/(s*m*°C)]. La trattazione

che segue vale identicamente per la conduzione del calore (come vedremo più in là).

DIFFUSIONE NON STAZIONARIA

Il bilancio di materia

Il bilancio di massa, energia ecc. in un sistema “aperto” si scrive letteralmente in accordo

alla seguente equazione verbale:

IN-OUT= ACCUMULO + GENERAZIONE

In altre parole:

ciò che entra (IN) meno ciò che esce (OUT) dal sistema è dovuto ad un “accumulo” ed una

“generazione” (se è presente una fonte generativa nel sistema). In merito al termine di

GENERAZIONE si pensi ad un reattore chimico nel quale fanno ingresso dei reagenti e ne

escono dei prodotti in cui le composizioni delle specie coinvolte sono modificate per via

delle reazioni chimiche. Allo stesso modo si pensi al calore sviluppato da una reazione

chimica (esotermico od endotermico) che altera i flussi di energia delle correnti entranti ed

uscenti.

Nei casi che affronteremo siamo in assenza di reazioni chimiche, e di sviluppo di calore

connesso. Si tratterà, dunque, di fenomeni diffusivi

a) ISOTERMI

b) SENZA REAZIONI CHIMICHE

In tal caso l’equazione letterale prende la forma:

IN-OUT= ACCUMULO

L’efficacia concettuale dell’equazione appena scritta può essere apprezzata col seguente

esempio: si abbia una vasca di dimensioni A*h(t) nella quale “entra” una portata

volumetrica Q (t) e ne esce una Q (t) (espresse in m /s , ad esempio)

3

1 2

Q (t)

1 A

h(t) Q (t)

2

Figura 4. Il concetto di accumulo

Il bilancio di materia (si badi bene: si bilanciano le masse non le portate né i flussi) in un

∆t ∆t,

intervallo di tempo (nel quale le portate di ingresso e di uscita non cambiano, ovvero

l’intervallo di tempo, è sufficientemente piccolo che sia Q che Q possano essere ritenuti

1 2

costanti ) è: ∆V=A∆h(t)

Q (t)∆t - Q (t)∆t=

1 2

∆V=A∆h(t)

In cui è la variazione di volume.

La variazione istantanea, al tempo t, del volume della vasca sarà perciò:

끫뢢ℎ

∆ℎ

끫뢈 − 끫뢈 끫롨 =끫롨

(끫룆) (끫룆) = lim

1 2 끫뢢끫룂

∆끫룂

∆끫룂→0

Adh/dt esprime l’accumulo (cioè come sta variando l’altezza h nel tempo, visto che A è

costante). Si noti che, dimensionalmente, l’accumulo è espresso in m /s coerentemente con

3

i termini dell’equazione. Si vede che se Q (t) > Q (t) allora dh/dt>0 e la vasca aumenta il

1 2

suo livello (accumulo positivo). Se Q (t) < Q (t) la vasca si svuota perché dh/dt<0

1 2

(accumulo negativo).

Se le due correnti sono di pari entità abbiamo un sistema “stazionario”.

II LEGGE DI FICK : CASO MONODIMENSIONALE, STATO NON STAZIONARIO

Ora, nel caso descritto la variabile tempo-dipendente era l’altezza della vasca, attraverso la

quale si computa l’accumulo del volume nel tempo.

Nel nostro caso la variabile che si accumula è la materia riferita al volume sul quale

effettuiamo il bilancio. Dunque si effettua un semplice bilancio di materia come già

descritto e secondo lo schema riportato in Figura 5. Si suppone, come illustrato, un

gradiente di concentrazione tale da indurre un flusso nella direzione x.

∆V=

Il bilancio di materia, confinato ad un elemento generico volume A∆X (dove A è la

superficie di attraversamento ortogonale al flusso), si effettua trasferendo in termini

matematici il concetto fisico espresso dalla equazione letterale (in assenza di reazioni

chimiche).

Figura 5. Flusso di materia in transitorio ∆V

Dunque, la massa entrante (IN) nel volume di controllo generico, confinato tra X e

∆t

X+∆X , alla ascissa x nel tempo è:

끫뢴 끫롺 끫롨∆끫룆

=

끫룊 끫룊 ∆V, ∆t,

La massa uscente (OUT) da nel tempo alla ascissa x+∆x è:

끫뢴 끫롺 끫롨∆끫룆

=

끫룊+∆끫룊 끫룊+∆끫룊

Si ricordi che il flusso, è il rapporto tra la entità che si trasferisce (la materia, in questo

J,

caso), il tempo e la superficie di attraversamento. ∆V=

Dunque, l’accumulo di materia nel volume di riferimento A∆X è la differenza tra la

materia che entra e quella che esce:

끫롺 끫롨∆끫룆 − 끫롺 끫롨∆끫룆 끫롨∆끫룆 − 끫롺 끫롨∆끫룆)=−∆끫롺끫롨∆끫룆

∆끫뢴 끫뢴 = = -(끫롺

-끫뢴

= ∆ ∆ ∆

끫룊 끫룊 끫룊+ 끫룊 끫룊+ 끫룊 끫룊

끫룊 끫룊+

La differenza tra la materia entrante e quella uscente si traduce in un accumulo nel volume

∆V che, per definizione, corrisponde ad una variazione di concentrazione :

∆끫뢴 ∆끫롺끫롺∆끫룂 ∆끫롺

∆끫롬 ∆끫룆

= =− = -

∆끫뢒 끫롺∆끫룊 ∆끫룊 ∆끫룆,

Si può dunque affermare che la variazione media, nel tempo della concentrazione nel

volume (finito) di controllo è:

∆끫롺

∆끫롬 −

= ∆끫븪

∆끫룆

Per ottenere dal bilancio generico (arbitrario) ciò che vogliamo, ovvero la descrizione

puntuale del profilo di concentrazione possiamo scrivere:

∆끫븪 ∆끫롺

− � �

lim = lim

∆끫룂 ∆끫룊

∆끫룂→0 끫룊→0

Stiamo dicendo che è proprio l’arbitrarietà della scelta del volume di controllo che ci

consente di applicare l’operatore di limite.

Ovvero, per definizione di limite del rapporto incrementale:

끫븪끫븪 끫븪끫롺

− II legge di Fick

=

끫븪끫룂 끫븪끫룊

L’equazione rappresenta la nella prima forma.

seconda legge Fick

Ricordiamo la nel caso monodimensionale

prima legge di Fick

끫븪끫롬

끫롺 −끫롮

= 끫븪끫븪

e inseriamola nella equazione che rappresenta la nella prima forma.

seconda legge Fick

Si ottiene: 끫븪끫롬

끫븪

끫븪끫롬 − �−끫롮 �

= 끫븪끫븪

끫븪끫븪

끫븪끫룆

Se, come è lecito ritenere, nella maggior parte dei casi, la diffusività (o coefficiente di

diffusione,) D, non dipende da x, e se siamo in condizioni isoterme, l’equazione diventa:

2

끫븪끫븪 끫븪 끫븪

D

= 2

끫븪끫룂 끫뢢끫룊

L’equazione appena ottenuta è la In matematica, tale formalismo viene

II legge di Fick.

chiamato appunto “legge della diffusione” pur applicandosi a problemi di natura diversa

(conduzione del calore, conduzione elettrica).

https://www.youtube.com/watch?v=D4PjirN8TiQ (diffusione di medicinali)

CASO STAZIONARIO

Se il flusso di massa entrante e quello uscente sono uguali non c’è accumulo per cui

끫븪끫븪 끫븪끫븪

끫롺(끫븪)끫롨 끫롺(끫븪 −D � −끫롮 �

= + dX)A = =

끫븪끫룊 끫븪끫룊

끫룊 끫룊+끫뢢끫룊

siamo in condizioni di “flusso stazionario”, cioè indipendente dal tempo, il che equivale a

dire che la concentrazione varia con ma non con

x t:

끫븪끫븪 ,

끫룆끫룆끫뢺끫룆끫뢴끫뢲끫룆끫룆 e dunque la concentrazione varia linearmente con oppure è

ovvero = x

끫븪끫룊 끫븪끫븪

costante con (se in tale, ultimo caso siamo in equilibrio, cioè la concentrazione è

= 0):

x 끫븪끫룊

uniforme con In altre parole lo stato stazionario implica che nessuna variabile dipenda

x.

dal tempo, ovvero , nella II legge di Fick è:

2

끫븪끫븪 끫븪 끫븪

= 0= D 2

끫븪끫룂 끫뢢끫룊

Con le conseguenze già menzionate. E perciò la concentrazione C è una funzione “lineare”

con x.

Soluzione analitica della II legge di Fick: il concetto di lastra semi-infinita.

La II legge di Fick ha infinite soluzioni che dipendono dalle condizioni al contorno ed

iniziali del problema. Quando siano valide le seguenti condizioni al contorno è

disponibile una soluzione analitica:

끫룆 ≤ 끫룆 ⋁끫뢖 ∶ 끫롬 끫롬

A ) , dove C è la concentrazione della specie che diffonde nello

; = 0

끫룊 끫뢸

0

spazio X, nota ed uniforme, prima del trattamento

→

끫롪) 끫룆 끫룆 끫뢖 끫뢖끫뢺 ∶ 끫롬 끫롬 dove Cs è la concentrazione che al tempo t=t si

> ; = = ; o

0 끫룊 끫룀

realizza sulla superficie del materiale mantenendosi costante per t>t .

0

→

끫롬) 끫룆 ≥ 끫룆 끫뢖 → ∞: 끫롬 끫롬 : la perturbazione prodotta dalla variazione istantanea

; = ;

0 끫룊 끫뢸

della concentrazione sulla superficie si propaga ma non a distanza infinita.

Questa terza condizione al contorno definisce “la lastra semi-infinita”. Fisicamente

questa condizione matematica inoppugnabile può essere usata tenendo conto che essa è

istantaneamente valida anche a valori finiti della ascissa X. Infatti la soluzione analitica

dell’equazione della diffusione con le condizioni al contorno ed iniziali A,B,C è

끫룊

끫븪 −끫븪

끫룊 끫뢸 − 끫룆끫뢺끫룀 �

�

= 1 2√끫롮끫룂

끫븪 −끫븪

끫룀 0 끫롬

dove è la concentrazione in superficie, che si instaura al tempo t=0 e si mantiene

끫룀 끫롬

costante a t> 0 , e è la concentrazione “interna”al materiale, nota per ipotesi, supposta

0 끫롬

uniforme con x al tempo t<0. è la soluzione cercata che è ovviamente funzione del

끫룊 끫룊

tempo e dello spazio. “Erf” è la funzione degli errori che ha “argomento” . Questa

2√끫롮끫룂

funzione è tabellata o d