Riassunto esame Matematica 1, Prof. D'onofrio Luigi, libro consigliato Esercitazioni di Matematica Parte I, Marcellini-Sbordone

LEZIONE 21/09/2020

- Come rappresentare un punto di una sulla retta.

O -> origine

-> verso di percorrenza

U -> unità di misura

{...} -> numeri reali (R)

113 -> numeri razionali (Q)

Vi è una corrispondenza tra i numeri reali ed una retta non una retta numerale perché dobbiamo importato in origine, verso di percorrenza e unità di misura.

PIANO CARTESIANO

- 2 rette incidenti con angolo 90°

- O -> origine

Il punto P è univocamente determinato da (x; y)

Retta delle x - Asse delle ascisse

• Retta delle ordinate

Disegna i punti a caso

• A (3,5)
• B (-2,1)
• C (-2,-4)
• D (5,-2)

P (x₁, y₁)

Q (x₂, y₂)

M (^x₁+x₂⁄₂, ^y₁+y₂⁄₂)

• Dati i punti P (5,7) e Q (1,2) trova M
• Sapendo che M = (^x₁+x₂⁄₂, ^y₁+y₂⁄₂)
• Q = sapendo che M (-1,1) e P (3,1) trova Q

Distanza tra 2 punti

P (x₁, y₁)

Q (x₂, y₂)

• d² = p² + q²
• Formula distanza
• Applica nel disegno costruisci bozz
• Per utilizzare la misura dei segmenti costrui gli cateti

d ² = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

Retta passante per 2 punti

Tra tanti si distingue in discero geometrico

P (x₁, y₁)

Q (x₂, y₂)

(x)

• x₂-x₁
• y₂-y₁

• Il denominatore non deve essere 0 da zero
• X₂/x₁ oppure y₂/y₁

Formula che una sola per le rette oblique

Fascio di rette passanti per un punto P(x₀, y₀)

Forma esplicita

a(x-x₀) + b(y-y₀) = c

Ex P(2, -1)

x - 2 + 4 = 0

x - y - 4 = 0

• Forma esplicita: y = m(x-x₀) + y₀

Distanza di un punto da una retta

k = ax₀ + by₀ + c = 0

dist(P₀, n):

della x₀(a + b) mod (a² + b²)^1/2

S: y = mx + n

dist(P, s): |mx₀ - y₀ + n| / sqrt(m² + 1)^mod

Esercizio

• Per qual valore di M la retta di equazione y = mx + 1
• Passa per il punto A(1, -4)
• y = mx + 1
• y = (-2/3)x + 1
• y = -2

• x = 0, y = 0
• x = 2, y = -3
• x = 4, y = -6
• x = 6, y = -9

Teorema (da dimostrare o negare)

Con la dimostrazione per assurdo possiamo negare la tesi, quindi si dovrà dire che

Quando n² è un numero pari, n è un numero pari.

Se n² è pari allora anche n è pari, cioè n = 2k

n² = 2kmn = 2kmn = 2k

Quando un numero è compreso, sulla retta si indica con un pallino nero.

log_a b ⋅ log_c a

log_a c

log_a a = 1

log_a x = lnx = logaritmo naturale

log_c x = logx = logaritmo decimale

LEZIONE DEL 19/10/2020

Funzioni

Dati due insiemi A, B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme A uno e un solo elemento dell'insieme B.

Una funzione si indica con f, dove A è un elemento detto x di A ed y si chiama immagine di x ed appartiene all'insieme B.

L'insieme A viene chiamato Dominio di f.

Il sottoinsieme di B formato da tutte le immagini di tutti gli elementi del Dominio si chiama Codominio di f (im).

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva se:

• a
• b
• c
• d

A

B

1

3

Funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell'insieme B è immagine di almeno un elemento dell'insieme A.

L'insieme A, in questo esempio:

• a
• b
• c
• d

Il Codominio, l'insieme B è:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

A

B

Il Codominio di f: y

Funzione non iniettiva

La funzione non è injectiva

Funzione non suriettiva

La funzione non è suriettiva

Funzione suriettiva

La funzione non è suriettiva

- Funzione Esponenziale

φ(x) = a^x

Fissato a > 0

Esaminiamo la funzione esponenziale in 3 casi:

I caso a > 1

II caso 0 < a < 1

III caso a = 1

I caso (a > 1)

φ(x) = a^x

Qualsiasi valore non nullo alza x il risultato sarà sempre

Equazione della retta y = 0

Campo di esistenza R

L’immagine è R+

Questa funzione non è iniettiva

I caso (a > 1)

φ(x) = 2^x

ρ(R+) = ]0, +∞[

0 - est. inferiore ma non minimo

1 - non è est. superiore

Restringendo il dominio della funzione cos x tra [0, π]

Nell'intervallo [0,π] la funzione è strett. decrescente, quindi è iniett., essendo anche suriett., essa sarà

simmet. quindi invertibile.

P (0,1)

Funzione inversa cos x → arccos x

arccos [ -1, 1 ] → [0, π]

Data: C.E. -1 ≤ x ≤ 1

arccos x = y ⇔ y ε [0, π]

Grandezza x [ -1, 1 ]

Max: = 1 (punto di Max - 4)

Min: = 0 (punto di Min - 4)

Grandezza sin x ≥ 0

x ε [0,1]

Max: = 0 (punto di Max - 4)

Min: = -1 (punto di Min -4)

Funzione Valore Assoluto

|x| = ^{x se x ≥ 0} -x se x < 0

|x| + |x-K| con x ≠ variabile

suddividiamo C.E. x < K

p y = x → p (x,k) v y → x

q y = - x → q (v,K) v → x

Se suddivido manice che k < 0 allora |x| < k

|sin x| ≤ 1

t |cos x| ≥ 1

-1 ≤ x ≤ 1

Lezione del 18/11/2020

Supponiamo che X⊆R. Allora si definisce Intorno di x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente x₀

{a,b} : a<x<b : x∈R

Supponiamo di avere un numero 5.0

I₀=5. x∈I → x=5→ x∈(x₀−, x₀+)

∈R:₊

x₀−<x<x₀+ con >0

Considerando sempre X⊆R:

1. Intorno sinistro

x₀−<x₀

Intorno destro

x₀; x₀+

Intorno dell'intero 5.0:

È un intervallo aperto ]a,0[ : x∈R | x>a

Intorno sinistro:

È un intervallo aperto ]0,a[ : x∈R | x<a

Dato un insieme A⊆R ed un punto x₀∈R,

Diciamo che x₀ è un punto di accumulazione per l'insieme A

se per ogni intorno di x₀ l'intersezione dell'intorno con A contiene punti diversi da x₀

∀I intorno di x₀ A∩(I−{x₀}) ≠ ∅

Dato un insieme A⊆R ed un punto x₀,

Diciamo che x₀ è un punto isolato se non è un punto di accumulazione

∃I intorno di x₀ A∩(I−{x₀})=∅

A=[3,5]

x₀=4

I=[3.2,4.8[

[3,7]∩(3.2;4.8\{4.8}) ≠ ∅

=[3.2;4.8[;∪[4.8;6,4\{5]≠ ∅

A=[3,5]

x₀=5

I=[3.6;5,5[

[3;5]∩[3.5;5,5[

;3.5,5[≠ ∅